Небольшое эссе к знатокам теории относительности.

[epros]

Mister-X, почитав то, что Вы написали в этой теме, я тоже не понял в чём проблема. Геометрия четырёхмерия - это то, что независимо от позиции наблюдателя, а система отсчёта в этом четырёхмерии - это то, что определяется произвольным образом в зависимости от позиции наблюдателя. В рамках СТО геометрия полагается псевдо-евклидовой, с сигнатурой метрики (-1,+3), а системы отсчёта как правило предполагаются инерциальными, т.е. с ортонормированным базисом. Что здесь не так?

[Mister-X]

Munin писал:

Цитата:

А я не вижу в этом разницы. Галилеев базис в пространстве Минковского есть ортонормированный базис в псевдоевклидовом пространстве. Поясните, где вы умудряетесь находить разницу между Минковским и псевдоевклидовым пространством, если это по определению одно и то же?

Под пространством Минковского я понимаю пространство, с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора равны галилеевым. Разумеется выбором подходящей системы координат мы в принцине могли бы их сделать неканоническими, но это не имеет отношения к физической ситуации в такой системе отсчета. Это свойство самих координат, а не метрики. Псевдоэвклидова геометрия могла бы означать геометрию плоского пространства-времени локально всегда гомеоморфной геометрии Минковского, что на физическом языке означало бы возможность всегда локально ввести в однородном пространстве систему отсчета движущуюся равномерно и прямолинейно, ибо именно для таких систем сформулирована СТО и для таких же систем априори построено пространство Минковского. Иначе говоря произвольная неинерциальная (релятивистская) система отсчета локально в пространстве и во времени будет выглядить как инерциальная и тогда геометрия Минковского для нее выполняется автоматически. Однако и здесь есть изъян.

VladTK писал:

Цитата:

Не понял, какие метрические коэффициенты зависят от скорости? Переход между ИСО осуществляется преобразованиями Лоренца, относительно которых метрический тензор пространства-времени Минковского форм-инвариантен. В чем проблема?

Спиноза и Гегель нас научили историческому взгляду на физические проблемы, поэтому давайте рассуждать так: когда Минковский формулировал математический аппарат основ СТО ничего не было известно о возможной динамике метрики. Ясно, что он предположил поэтому, что четвертая координата должна равноправно входить с остальными тремя, предположил, но не доказывал по понятной причине. Однако нам сейчас известно, что матрица пространства - динамическая структура и такое равноправие в координатах может быть связано только со свойством g00. Однако не существует конформного преобразования метрики Минковского в эвклидову метрику. Но классическая теория Ньютона требует, чтобы мы рассматривали время как единственную независимую переменную. Пространство и время объединяются в единый 4-мерный континуум только на скоростях порядка скорости света. В этом смысле СТО не удовлетворяет принципу соответствия. Однако преобразования Лоренца при v/c ~ 0 переходят в преобразования галилея, которые не будут оставлять интервал инвариантным пока мы не положим g00=0, а это означает, что и g00 должна в принципе зависеть от такого отношения.

Добавлено спустя 22 минуты 30 секунд:

From epros

Цитата:

Геометрия четырёхмерия - это то, что независимо от позиции наблюдателя, а система отсчёта в этом четырёхмерии - это то, что определяется произвольным образом в зависимости от позиции наблюдателя.

Answer: Такие позиции наблюдателя становятся эквивалентными в инерциальных системах отсчета, так что независимую от позиции наблюдателя геометрию мы больше не можем фиксировать однозначно. Если метрика является не кронекеровской константой, а скажем функцией скорости движущихся инерциальных систем, сможете ли вы это определить исходя только из рассмотрения таких систем? Обе ситуации для метрики будут отражать одну и ту же физическую ситуацию, в которой процессы протекают по-разному во времени в разных инерциальных системах движущихся одна относительно другой.

[epros]

Mister-X писал(а):

Такие позиции наблюдателя становятся эквивалентными в инерциальных системах отсчета,

Расшифруйте плиззз.

Mister-X писал(а):

так что независимую от позиции наблюдателя геометрию мы больше не можем фиксировать однозначно.

Обоснуйте плиззз.

Mister-X писал(а):

Если метрика является не кронекеровской константой, а скажем функцией скорости движущихся инерциальных систем

Расшифруйте плиззз.

[Mister-X]

Подробная расшифровка дается мной в самом начале на странице 1. Не буду же я заполнять страницы одними и теми же текстами, скучно станет. Если что-то конкретно смущает, то конкретно укажите, чтобы я понял.

[Munin]

Mister-X в сообщении #148006 писал(а):

Под пространством Минковского я понимаю пространство, с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора равны галилеевым.

То есть вы решили подменить смысл слова? Пространство Минковского - это не просто пространство с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора галилеевы. Такое пространство называется локально плоским. А пространство Минковского устроено как плоское не только локально, но и глобально. Постарайтесь теперь перевести свои возражения на общепринятый язык, без подмены терминов.

Да, если что: глобальная тривиальность пространства-времени в СТО - постулат, причём хорошо известный.

Mister-X в сообщении #148006 писал(а):

Но классическая теория Ньютона требует, чтобы мы рассматривали время как единственную независимую переменную.

К счастью, теория поля в СТО этого уже не требует.

Mister-X в сообщении #148006 писал(а):

Однако преобразования Лоренца при v/c ~ 0 переходят в преобразования галилея, которые не будут оставлять интервал инвариантным пока мы не положим g00=0, а это означает, что и g00 должна в принципе зависеть от такого отношения.

К счастью, нарушение инвариантности интервала - того же порядка, что и различия между преобразованиями Лоренца и Галилея, - первого по v/c.

[Mister-X]

Я так полагаю, что нарушение инвариантности интервала будет того же порядка, что и различия между преобразованиями Лоренца и Галилея при V<<C только если сама метрика будет иметь подобное разложение по V/C. Однако если она галилеева то такое разложение никаким образом не влиляет на g00. Хотелось бы знать как вы находите нарушение инвариантности интервала 1-го порядка по V/C.

Добавлено спустя 14 минут 12 секунд:

P.S.
Хотелось бы предотвратить возможную неверную реакцию на все мои "возражения". Я не разу не оговорился, что считаю СТО в каком-то плане неверной или т.п. И по поводу глобальной плоской структуры не имею никаких возражений. Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем. Поэтому геометрию таких систем можно представить как геометрию Минковского, но можно как более общую псевдоэвклидову геометрию, метрика которой зависит не от координат, а от скорости движущихся систем координат. Это возможно сделать на основании принципа относительности.

[Munin]

Берём галилееву метрику в начальной системе отсчёта $g=\mathop{\mathrm{diag}}(1,-1,-1,-1),$ и кособочим её преобразованием Галилея, получаем (индексы 2, 3 выкинуты для компактности):
$g'=\left(\begin{array}{cc}1-v^2&v\\v&-1\end{array}\right)=g+\left(\begin{array}{cc}-v^2&v\\v&0\end{array}\right).$
От разницы можно взять норму, и получить
$\|g'-g\|=\frac{v^2}{2}(1+\sqrt{4+v^2}).$
Для разницы между преобразованиями Лоренца и Галилея имеем:
$\Lambda-\Gamma=\left(\begin{array}{cc}\gamma&\gamma v\\ \gamma v&\gamma\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1&0\\v&1\end{array}\right)\approx\left(\begin{array}{cc}v^2/2&v\\v^3/2&v^2/2\end{array}\right),$
и
$\|\Lambda-\Gamma\|=\frac{v^2}{2}(1+\sqrt{2}).$
Насчёт первого я поторопился, второй, как видите, однако всё равно одинаковый и там и там.

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Mister-X в сообщении #148062 писал(а):

Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем.

Ну, тут вы ошиблись, и вам помогут разобраться. Моя реакция вначале была неверной, но теперь я, благодаря вам, поправился.

[Someone]

Mister-X в сообщении #148062 писал(а):

Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем.

Дайте, пожалуйста, Ваше определение инерциальной системы отсчёта.

[Mister-X]

To Munin:

Цитата:

Ну, тут вы ошиблись, и вам помогут разобраться

На это-то я и рассчитываю.

Цитата:

Берём галилееву метрику...

Извините меня, но эти преобразования не точны. Берем матрицу

\[ \Gamma = (a_i _j ) \]

ясно, что она определена с точностью до величин 1-го порядка по V/c. Тогда преобразования координат записываются как
x'^i = a^i _j x^j. У вас они эквивалентны двум преобразованиям типа галилеевых

\[ x'^0 = x^0 \]

с точностью до

\[ \frac{{V^2 }} {{c^2 }}x^0 \]

, (*)

\[ x' = Vx^0 - x \]

.
Но это не может быть преобразованием Галилея, так как сама матрица

\[ \Gamma \]

определена до V/c включительно и предполагается, что в первом порядке малости

\[ g_{00} = 1 \]

. Имеем

\[ a_{00} = 1 - \frac{{V^2 }} {{c^2 }} \]

согласно (*), то есть

\[ \begin{gathered} t' = t - \frac{V} {{c^2 }}x, \hfill \\ x' = Vx^0 - x \hfill \\ \end{gathered} \]

. Эти приближенно-галилеевы преобразования, как можно проверить, с той же точностью до V/c переводят 4-мерный интервал в себя, и никак не относятся к галилеевым преобразованиям 3-мерного интервала, поскольку даже в 1-ом порядке по V/c, t' зависит от координаты x.
Добавлено спустя 19 минут 32 секунды:

Someone писал мне:

Цитата:

Дайте, пожалуйста, Ваше определение инерциальной системы отсчёта.

Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу. На русском языке это означает, что все инерциальные системы отсчета полностью равноправны и нет никакого смысла их физически различать, ибо кинематическая скорость - величина относительная.

[Munin]

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Извините меня, но эти преобразования не точны. Берем матрицу Г=(aij); ясно, что она существует с точностью до величин 1-го порядка по V/c.

Как раз высказывания типа "она существует (?!?) с точностью до..." - не точны. А вот норму матрицы посчитать можно.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Но это невозможно, так как сама матрица (aij) определена до V/c включительно и предполагает, что в первом порядке малости g00=1 - V^2/c^2 = 1.

Как это матрица что-то может предполагать? Матрица - просто линейное преобразование, она не зависит от метрики. Кроме того, матрица преобразований Галилея общеизвестна, и не вам её подменять на что-то другое.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Эти приближенно-галилеевы преобразования, как можно проверить, с той же точностью до V/c переводят 4-мерный интервал в себя, и никак не относятся к галилеевым преобразованиям 3-мерного интервала,

Я боюсь, вы просто путаете галилеевы системы отсчёта и преобразования Галилея. Здесь не слишком-то удачная терминология в ЛЛ-2, поскольку свойство галилеевости системы отсчёта инвариантно относительно преобразований Лоренца, а не Галилея.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Галилеевы матрицы можно получить

"Галилеевых матриц" на свете не бывает.

[Mister-X]

Munin мне писал:

Цитата:

К счастью, теория поля в СТО этого уже не требует

Отвечаю: то есть вам в принципе до фени, что принцип соответствия не работает.

Цитата:

Пространство Минковского - это не просто пространство с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора галилеевы. Такое пространство называется локально плоским. А пространство Минковского устроено как плоское не только локально, но и глобально. Постарайтесь теперь перевести свои возражения на общепринятый язык, без подмены терминов.

Отвечаю: разумеется можно привести и общеизвестные нам с вами истины...я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином. В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине, что это будет - нонсенс, ибо оно само является только локальным гомеоморфизмом. Но это никак не приведет к нарушению свойств глобальной "плоскостности" пространства.

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

P.S. Попробуйте это опровергнуть.

[Someone]

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу.

Стоп-стоп-стоп! Во-первых, форминвариантность уравнений - не физическое, а математическое свойство; во-вторых, мне это сильно не нравится.

Я ожидал чего-нибудь в таком роде: система координат, в которой пространственные базисные векторы ортонормированы, а синхронизация часов выполняется по правилу Эйнштейна. Отсюда следует и вид метрики, и преобразования Лоренца.

Попробуйте сформулировать ещё раз, что Вы имеете в виду.

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине, что это будет - нонсенс, ибо оно само является только локальным гомеоморфизмом.

Пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой по определению этого пространства. Путать же пространство с локальным гомеоморфизмом категорически не рекомендуется.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином

Нет. "Вопрос" был в том, чтобы Вы понимали и использовали общепринятые термины стандартным способом, а не несли отсебятину. Если же Вы имеете в виду что-нибудь нестандартное, то нужно использовать другой термин, чтобы не вводить людей в заблуждение.

[Jnrty]

[mod="Jnrty"]Mister-X! Прочтите темы http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic11877.html, http://dxdy.ru/topic183.html, после чего первым делом перепишите формулы в своём сообщении http://dxdy.ru/post148118.html#148118 (кнопка ) с учётом принятых на форуме правил, а в дальнейшем правильно оформляйте цитаты. В противном случае тема отправится в "Карантин" до исправления.[/mod]

[Mister-X]

Цитата:

Как это матрица что-то может предполагать? Матрица - просто линейное преобразование, она не зависит от метрики. Кроме того, матрица преобразований Галилея общеизвестна, и не вам её подменять на что-то другое...и т.д.

Забавно. Только я ничего не подменял, а уточнил ваши преобразования. Вы сами ввели g00=1 - V^2/c^2. Матрица которую вы привели соответствует не 3-мерным преобразованиям Галилея, а преобразованиям Лоренца при V<<c. В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала, а применять их к эвклидовой метрике в теории Ньютона лишено смысла. Преобразования Лоренца только в нулевом порядке не затрагивают времени и только в этом случае тождественны преобразованиям Галилея. Эвклидова метрика получается при g00=0 и предположении о независимости времени. Только здесь действуют преобразования Галилея.

Кстати ничего там я не путал, вас просто не оставляет равнодушным используемая мной иногда терминология. А норма у вас должна быть равна нулю.

[Munin]

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

Отвечаю: то есть вам в принципе до фени, что принцип соответствия не работает.

Работает. Вы же указываете на фундаментальные свойства теорий, а принцип соответствия оперирует не ими, а предельными переходами.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином.

Видите ли, вы себя позиционируете либо как серьёзного человека, либо как неуча, лопочущего что-то непонятное. Если первое, то вы пользуетесь терминами в их общепринятом смысле, в случае двусмысленности уточняете, хотя двусмысленных терминов не так уж и много. Если второе, то вы можете понимать под словами (уже не терминами) что хотите, и заставляете окружающих угадывать и приспосабливаться к вашей речи как к иностранному языку. Но при этом содержательность того, что вы произносите, стремится к нулю.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине

По той причине, что вы - Минковский, и вам лучше знать, чем кому бы то ни было, так, что ли? Простите, но определения есть определения. Можете ввести своё пространство Mister'а-X, и обсуждать его свойства сколько угодно, но пространством Минковского оно по умолчанию не будет. То же и с понятием инерциальной системы отсчёта: оно определено иначе, и вы вправе обсуждать только "системы отсчёта, инерциальные по Mister'у-X", если желаете определять их иначе.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

В силу же личного убеждения... пространство Минковского... само является только локальным гомеоморфизмом.

Это нонсенс, ибо пространство Минковского - это пространство, а не гомеоморфизм.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):

P.S. Попробуйте это опровергнуть.

Определения не доказывают и не опровергают, их вводят и им следуют.

Добавлено спустя 10 минут:

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

Забавно. Только я ничего не подменял, а уточнил ваши преобразования.

Их некуда уточнять, они и так точные.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

Вы сами ввели g00=1 - V^2/c^2.

Я не ввёл этого коэффициента, а посчитал его. Полагал, что для вашего уровня понятно, как. С учётом того, что вы корректируете мои представления о вашем уровне, приведу:
$ds^2=dt'^2-dx'^2=dt^2-(dx-v\,dt)^2=(1-v^2)dt^2-dx^2+2v\,dx\,dt.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

Матрица которую вы привели соответствует не 3-мерным преобразованиям Галилея, а преобразованиям Лоренца при V<<c.

Нет, преобразованиям Галилея. $x'=x-vt,\quad t'=t$ - это преобразования Галилея. Преобразования Лоренца при $v\ll1$ имеют вид $x'=x-vt,\quad t'=t-vx.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала

Если бы это было так, $g_{00}$ было бы строго равно $1.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

Эвклидова метрика получается при g00=0 и предположении о независимости времени. Только здесь действуют преобразования Галилея.

Нет, только здесь преобразования Галилея действуют как ортогональные над метрикой. А вообще они действуют где угодно.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

Кстати ничего там я не путал, вас просто не оставляет равнодушным используемая мной иногда терминология.

Ну-ну.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):

А норма у вас должна быть равна нулю.

Посчитайте сами.