2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение04.10.2008, 09:01 
Аватара пользователя


05/06/08
413
Mister-X в сообщении #148285 писал(а):
От 1 до \infty.

Мде. И это в посте, где вы тщились доказать что-то про (3+1) мерность Минковского...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.10.2008, 18:02 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Munin писал(а):
Да, я транспонирование не там поставил.

не важно где ставить, это зависит от направлению вращения
(замечание Mister-X про учебник-молебник верное, только чур без обид :wink: )
Munin писал(а):
А обратная возникает для матриц преобразований (операторов):

чем отличается матрица квадратичной формы от линейного оператора :lol:
(проверка аксиом вас приятно удивит ;) )
Munin писал(а):
На тензорном языке квадратичные и билинейные формы - дважды ковариантные тензоры, а преобразования - один раз контра- и один раз ковариантные.

ну и что ? у вас 2 дуальных пространсытва - 2 типа индексов, причем зесь транспонитование и обратная матрица? все работает как и всегда. Тензоры - полилинеиные формы (функционалы) по векторам обоих пространств

и так, берем ручки и записываем:
транспонированная матрица (оператор) описывает вращение (сохранение нормы) (пример метрический тензор)
обратная - общий вид лин преоброзований.

кстати "физический (физикоклассический желательно)" тензор третьего и более ранга, что за зверь такой ???? (пример интерисует)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.10.2008, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AlexNew в сообщении #148394 писал(а):
не важно где ставить, это зависит от направлению вращения
(замечание Mister-X про учебник-молебник верное, только чур без обид

Неверное, я вообще учебника не открывал, всё по памяти (из-за этого и путаюсь по мелочам). Направление всё-таки надо учитывать. И активность-пассивность надо учитывать.

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):
чем отличается матрица квадратичной формы от линейного оператора
(проверка аксиом вас приятно удивит )

Как минимум, законом преобразования. Рассматривайте форму не как матрицу, а как геометрический объект.

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):
у вас 2 дуальных пространсытва - 2 типа индексов, причем зесь транспонитование и обратная матрица?

Произнесите вместо "транспонирование" - "сопряжение", а вместо "обратная матрица" - "обратное преобразование", станет яснее. Могу специально для вас формулы с $\mathrm{T}$ на $\dagger$ переписать :-)

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):
и так, берем ручки и записываем:
транспонированная матрица (оператор) описывает вращение (сохранение нормы)

Увы, вращение описывает не транспонированная матрица, а ортогональная, которая определяется как обратная своей транспонированной $O^{\mathrm{T}}O=E\equiv1.$

AlexNew в сообщении #148394 писал(а):
кстати "физический (физикоклассический желательно)" тензор третьего и более ранга, что за зверь такой ???? (пример интерисует)

В кристаллофизике такие бегают. Например, есть какой-нибудь тензорный коэффициент, механический, электрический, оптический или ещё какой-то. И есть физическое влияние одних свойств на другие, например, пьезоэффект. Приближённо и часто в феноменологии - линейное. Вот и получаются тензоры 4, 6 и т. п. рангов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.10.2008, 22:22 


01/10/08
45
Munin писал(а):
В каких случаях она применима, а в каких неприменима, этому я посвятил предыдущее своё сообщение. Жаль, что вы его не читали, иначе бы знали, что формула не только общепринята, но и очевидна.

Только для ортонормированного базиса, когда \[
U
\] ортогональная матрица, если \[
B
\] билинейная форма.
Munin писал(а):
Вы идиот или как? Я просил вывод другого соотношения, которое у вас было раньше: \[
g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma 
\]. Кстати, ваш "вывод" - это простая путаница

Да, виновен, было дело.
Munin писал(а):
Mister-X писал(а):
И вообще, если что, мы перемножаем квадратные невырожденные матрицы, а не прямоугольные, чтобы их зачем-то было транспонировать.

То есть вы вообще не в курсе, зачем квадратные матрицы транспонируют?

Да, в курсе. Только поздно.

Munin писал(а):
Скучно. Я вам пытаюсь объяснить, где ваша ошибка, а оказывается, что вы и более базовыми знаниями не обладаете, чтобы эти объяснения понять. Скоро выяснится, что вы и правил арифметики не знаете. С таким набором знаний не про галилеевы системы отсчёта рассуждать.

Ошибки вполне ясны. Спасибо за помощь.
Кстати, я отредактировал предыдущие сообщения, содержащие недостойные высказывания в ваш адрес. Приношу извинения за такую бестактность.
У меня вопрос: при транспонировании матрица преобразований \[
\Lambda 
\] не меняется, то есть должна быть симметричной. Это совместимо с ортогональностью?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.10.2008, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148437 писал(а):
Только для ортонормированного базиса, когда $U$ ортогональная матрица, если $B$ билинейная форма.

Вот-вот, а для неортогональной верно не ваше $B'=U^{-1}BU,$ а $B'=U^{\mathrm{T}}BU.$

Mister-X в сообщении #148437 писал(а):
Да, виновен, было дело.
Да, в курсе. Только поздно.
Ошибки вполне ясны. Спасибо за помощь.
Кстати, я отредактировал предыдущие сообщения, содержащие недостойные высказывания в ваш адрес. Приношу извинения за такую бестактность.

И вправду поздно: я вам больше не верю, всё время буду ожидать аналогичных взбрыков. Так что, как вы говорили, buon viaggio.

Mister-X в сообщении #148437 писал(а):
У меня вопрос: при транспонировании матрица преобразований $\Lambda$ не меняется, то есть должна быть симметричной. Это совместимо с ортогональностью?

Здесь момент тонкий, здесь заканчивается до сих пор гладкая аналогия между матрицами и операторами-тензорами. А именно, в псевдоевклидовом пространстве свойства транспонированной матрицы наследуются операцией взятия сопряжённого преобразования, то есть задействующей метрику, через правило поднятия и опускания индексов. В нормированном базисе это правило есть умножение на $(+1,-1,-1,-1)$ (так надо поступить и с индексом строк, и с индексом столбцов), то есть сопряжение матрицы есть
$$a^\dagger=\left(\begin{array}{cccc}a_{00}&-a_{10}&-a_{20}&-a_{30}\\-a_{01}&a_{11}&a_{21}&a_{31}\\-a_{02}&a_{12}&a_{22}&a_{32}\\-a_{03}&a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right).$$
Применительно к преобразованиям Лоренца это даёт:
$$\Lambda^\dagger=\left(\begin{array}{cc}\gamma&-\gamma v\\-\gamma v&\gamma\end{array}\right),$$
так что
$$\Lambda^\dagger\Lambda=\gamma^2\left(\begin{array}{cc}1-v^2&0\\0&1-v^2\end{array}\right)=1.$$
Вуаля: при "транспонировании" (сопряжении) матрица $\Lambda$ изменилась, и при этом в точности выполнилась ортогональнось. Заодно и физический смысл на месте: транспонированная ортогональная матрица осуществляет вращение в пространстве на противоположный угол, а матрица Лоренца - буст на противоположную скорость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 00:40 


01/10/08
45
Merci bien. Теперь все ясно, это как при эрмитовом сопряжении, только матрица не унитарна, а ортогональна, в силу вещественности пространства. Не обратил внимание на то, что пространство не эвклидово (Ce's la vie!).
Зато, что-то с матрицей 3-мерных преобразований не клеется (не затрагивающих время). Если базис всегда ортонормирован, то его матрицы
\[
\begin{gathered}
  g' = g, \hfill \\
  \Gamma ^T  = \Gamma ^{ - 1}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]. При этом \[
\begin{gathered}
  x = x'\Gamma , \hfill \\
  x' = x\Gamma ^{ - 1}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]. Если \[
\Gamma 
\] матрица вращений \[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 0  \\
   {\sin \theta } & {\cos \theta } & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\

 \end{array} } \right)
\], то очевидно \[
\Gamma ^T  = \Gamma ^{ - 1} 
\] и метрика не меняется при преобразовании координат туда и обратно. А как эту матрицу записать для галилеевых преобразований не тригонометрически, считая \[
t
\] параметром?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148468 писал(а):
А как эту матрицу записать для галилеевых преобразований не тригонометрически, считая $t$ параметром?

А вот никак. Я сразу сказал. Преобразование Галилея не есть однородное линейное преобразование 3-пространства, оно всегда затрагивает время. В 4-пространстве всё очевидно ($t$ на первом месте):
$$\Gamma=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\v_x&1&0&0\\v_y&0&1&0\\v_z&0&0&1\end{array}\right).$$
При этом вводить 4-мерный метрический тензор не обязательно, если вас это смущает. $\Gamma^{-1}=\Gamma(-\mathbf{v})$ играет роль сопряжённого преобразования в галилеевской механике, но очевидно, что при этих преобразованиях не сохраняется норма 4-векторов, так что галилеевская механика не 4-инвариантна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 01:38 


01/10/08
45
Странно, что на это не обратили серьезного внимания до создания СТО. Невозможность ввести матрицу преобразований от одной системы отсчета к другой непосредственна связана с интерпретацией t как параметра. Если бы не этот антагонизм, я бы с вами, пожалуй, еще поспорил, но теперь это уже идиотизм. Я был абсолютно уверен, что такая матрица должна существовать в силу принципа соответствия. Если бы только не закон преобразования n-форм!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 04:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148475 писал(а):
Странно, что на это не обратили серьезного внимания до создания СТО.

А тогда не было понятно геометричности механики, столь прозрачно, как это понятно сегодня. И геометрия тогда не была столь развита, чтобы анализировать пространства типа пространства-времени галилеевой механики.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 08:43 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Munin писал(а):
А именно, в псевдоевклидовом пространстве свойства транспонированной матрицы наследуются операцией взятия сопряжённого преобразования, то есть задействующей метрику, через правило поднятия и опускания индексов.

Наверное вы под сопряжением понимаете учет метрики? не транспонирование и комплексное сопряжение, а действие метрического тензора? тоесть "метрическое" сопряжение а не комплексное? хмммм... (чешу затылок)
кстати если $$\Lambda действительная, то
$$\Lambda^\dagger\Lambda=1.$$ верна только для транспонитования $$(\dagger) = (T)$$ (легко доказать)
если $$\Lambda комплексная то можно поигратся, а именно взять комплексное сопряжение, метрику в эту матрицу не засунуть, она останется внешней по отношению к вращениям.

Munin писал(а):
В кристаллофизике такие бегают. Например, есть какой-нибудь тензорный коэффициент, механический, электрический, оптический или ещё какой-то. И есть физическое влияние одних свойств на другие, например, пьезоэффект. Приближённо и часто в феноменологии - линейное. Вот и получаются тензоры 4, 6 и т. п. рангов.

обычно тензор - это оператор деиствующий на вектор, поэтому второй ранг, если ранг больше тензор действует на другой тензор, не помню таких мудреных законов физики ;(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 12:04 


12/09/08

2262
AlexNew в сообщении #148494 писал(а):
обычно тензор - это оператор деиствующий на вектор
Тензор — это линейный оператор, действующий на $n$ векторов и в результате дающий $m$ векторов. Под «нулем» векторов понимается скаляр. Тензор кривизны, к примеру, действует на 3-х векторах, и в результате дает 1, Собственно вектор (тоже тензор) действует на скаляре и дает самого себя, умноженного на этот скаляр.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 12:28 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Цитата:
Тензор — это линейный оператор, действующий на векторов и в результате дающий векторов...

это всем хорошо итак известно...
вопрос был про пример тензора ранга >= 3 :wink:
Тензор кривизны -не интересно , хочется что нибудь поближе к реальности. Интерисуют именно физические а не метофизические тензоры :)
что нибудь из области "потрогать руками".
тут это офтопк поэтому наверное не стоит сильно обсуждать этот вопрос

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 12:57 


12/09/08

2262
AlexNew в сообщении #148538 писал(а):
Тензор кривизны -не интересно , хочется что нибудь поближе к реальности. Интерисуют именно физические а не метофизические тензоры
Куда уж ближе? Берете вектор, двигаете его по периметру бесконечно малого прямоугольника, заданного еще двумя векторами, получаете вектор-результат. По-моему, физичнее некуда :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 13:02 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
нет, физический тензор это такой, про который есть какой нибудь физический закон, про кривизну я только ОТО знаю

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 16:32 


01/10/08
45
Как на счет симметричного тензора 6-польного момента системы зарядов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group