2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение02.10.2008, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Mister-X, почитав то, что Вы написали в этой теме, я тоже не понял в чём проблема. Геометрия четырёхмерия - это то, что независимо от позиции наблюдателя, а система отсчёта в этом четырёхмерии - это то, что определяется произвольным образом в зависимости от позиции наблюдателя. В рамках СТО геометрия полагается псевдо-евклидовой, с сигнатурой метрики (-1,+3), а системы отсчёта как правило предполагаются инерциальными, т.е. с ортонормированным базисом. Что здесь не так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 15:23 


01/10/08
45
Munin писал:
Цитата:
А я не вижу в этом разницы. Галилеев базис в пространстве Минковского есть ортонормированный базис в псевдоевклидовом пространстве. Поясните, где вы умудряетесь находить разницу между Минковским и псевдоевклидовым пространством, если это по определению одно и то же?

Под пространством Минковского я понимаю пространство, с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора равны галилеевым. Разумеется выбором подходящей системы координат мы в принцине могли бы их сделать неканоническими, но это не имеет отношения к физической ситуации в такой системе отсчета. Это свойство самих координат, а не метрики. Псевдоэвклидова геометрия могла бы означать геометрию плоского пространства-времени локально всегда гомеоморфной геометрии Минковского, что на физическом языке означало бы возможность всегда локально ввести в однородном пространстве систему отсчета движущуюся равномерно и прямолинейно, ибо именно для таких систем сформулирована СТО и для таких же систем априори построено пространство Минковского. Иначе говоря произвольная неинерциальная (релятивистская) система отсчета локально в пространстве и во времени будет выглядить как инерциальная и тогда геометрия Минковского для нее выполняется автоматически. Однако и здесь есть изъян.

VladTK писал:
Цитата:
Не понял, какие метрические коэффициенты зависят от скорости? Переход между ИСО осуществляется преобразованиями Лоренца, относительно которых метрический тензор пространства-времени Минковского форм-инвариантен. В чем проблема?

Спиноза и Гегель нас научили историческому взгляду на физические проблемы, поэтому давайте рассуждать так: когда Минковский формулировал математический аппарат основ СТО ничего не было известно о возможной динамике метрики. Ясно, что он предположил поэтому, что четвертая координата должна равноправно входить с остальными тремя, предположил, но не доказывал по понятной причине. Однако нам сейчас известно, что матрица пространства - динамическая структура и такое равноправие в координатах может быть связано только со свойством g00. Однако не существует конформного преобразования метрики Минковского в эвклидову метрику. Но классическая теория Ньютона требует, чтобы мы рассматривали время как единственную независимую переменную. Пространство и время объединяются в единый 4-мерный континуум только на скоростях порядка скорости света. В этом смысле СТО не удовлетворяет принципу соответствия. Однако преобразования Лоренца при v/c ~ 0 переходят в преобразования галилея, которые не будут оставлять интервал инвариантным пока мы не положим g00=0, а это означает, что и g00 должна в принципе зависеть от такого отношения.

Добавлено спустя 22 минуты 30 секунд:

From epros
Цитата:
Геометрия четырёхмерия - это то, что независимо от позиции наблюдателя, а система отсчёта в этом четырёхмерии - это то, что определяется произвольным образом в зависимости от позиции наблюдателя.


Answer: Такие позиции наблюдателя становятся эквивалентными в инерциальных системах отсчета, так что независимую от позиции наблюдателя геометрию мы больше не можем фиксировать однозначно. Если метрика является не кронекеровской константой, а скажем функцией скорости движущихся инерциальных систем, сможете ли вы это определить исходя только из рассмотрения таких систем? Обе ситуации для метрики будут отражать одну и ту же физическую ситуацию, в которой процессы протекают по-разному во времени в разных инерциальных системах движущихся одна относительно другой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Mister-X писал(а):
Такие позиции наблюдателя становятся эквивалентными в инерциальных системах отсчета,

Расшифруйте плиззз.

Mister-X писал(а):
так что независимую от позиции наблюдателя геометрию мы больше не можем фиксировать однозначно.

Обоснуйте плиззз.

Mister-X писал(а):
Если метрика является не кронекеровской константой, а скажем функцией скорости движущихся инерциальных систем

Расшифруйте плиззз.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 17:18 


01/10/08
45
Подробная расшифровка дается мной в самом начале на странице 1. Не буду же я заполнять страницы одними и теми же текстами, скучно станет. Если что-то конкретно смущает, то конкретно укажите, чтобы я понял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148006 писал(а):
Под пространством Минковского я понимаю пространство, с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора равны галилеевым.

То есть вы решили подменить смысл слова? Пространство Минковского - это не просто пространство с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора галилеевы. Такое пространство называется локально плоским. А пространство Минковского устроено как плоское не только локально, но и глобально. Постарайтесь теперь перевести свои возражения на общепринятый язык, без подмены терминов.

Да, если что: глобальная тривиальность пространства-времени в СТО - постулат, причём хорошо известный.

Mister-X в сообщении #148006 писал(а):
Но классическая теория Ньютона требует, чтобы мы рассматривали время как единственную независимую переменную.

К счастью, теория поля в СТО этого уже не требует.

Mister-X в сообщении #148006 писал(а):
Однако преобразования Лоренца при v/c ~ 0 переходят в преобразования галилея, которые не будут оставлять интервал инвариантным пока мы не положим g00=0, а это означает, что и g00 должна в принципе зависеть от такого отношения.

К счастью, нарушение инвариантности интервала - того же порядка, что и различия между преобразованиями Лоренца и Галилея, - первого по v/c.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 18:18 


01/10/08
45
Я так полагаю, что нарушение инвариантности интервала будет того же порядка, что и различия между преобразованиями Лоренца и Галилея при V<<C только если сама метрика будет иметь подобное разложение по V/C. Однако если она галилеева то такое разложение никаким образом не влиляет на g00. Хотелось бы знать как вы находите нарушение инвариантности интервала 1-го порядка по V/C.

Добавлено спустя 14 минут 12 секунд:

P.S.
Хотелось бы предотвратить возможную неверную реакцию на все мои "возражения". Я не разу не оговорился, что считаю СТО в каком-то плане неверной или т.п. И по поводу глобальной плоской структуры не имею никаких возражений. Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем. Поэтому геометрию таких систем можно представить как геометрию Минковского, но можно как более общую псевдоэвклидову геометрию, метрика которой зависит не от координат, а от скорости движущихся систем координат. Это возможно сделать на основании принципа относительности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Берём галилееву метрику в начальной системе отсчёта $g=\mathop{\mathrm{diag}}(1,-1,-1,-1),$ и кособочим её преобразованием Галилея, получаем (индексы 2, 3 выкинуты для компактности):
$g'=\left(\begin{array}{cc}1-v^2&v\\v&-1\end{array}\right)=g+\left(\begin{array}{cc}-v^2&v\\v&0\end{array}\right).$
От разницы можно взять норму, и получить
$\|g'-g\|=\frac{v^2}{2}(1+\sqrt{4+v^2}).$
Для разницы между преобразованиями Лоренца и Галилея имеем:
$\Lambda-\Gamma=\left(\begin{array}{cc}\gamma&\gamma v\\ \gamma v&\gamma\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1&0\\v&1\end{array}\right)\approx\left(\begin{array}{cc}v^2/2&v\\v^3/2&v^2/2\end{array}\right),$
и
$\|\Lambda-\Gamma\|=\frac{v^2}{2}(1+\sqrt{2}).$
Насчёт первого я поторопился, второй, как видите, однако всё равно одинаковый и там и там.

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Mister-X в сообщении #148062 писал(а):
Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем.

Ну, тут вы ошиблись, и вам помогут разобраться. Моя реакция вначале была неверной, но теперь я, благодаря вам, поправился.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Mister-X в сообщении #148062 писал(а):
Мной скорректирована позиция о невозможности однозначного определения метрики в рамках только инерциальных систем.


Дайте, пожалуйста, Ваше определение инерциальной системы отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 23:47 


01/10/08
45
To Munin:
Цитата:
Ну, тут вы ошиблись, и вам помогут разобраться

На это-то я и рассчитываю.
Цитата:
Берём галилееву метрику...

Извините меня, но эти преобразования не точны. Берем матрицу \[
\Gamma  = (a_i _j )
\] ясно, что она определена с точностью до величин 1-го порядка по V/c. Тогда преобразования координат записываются как
x'^i  = a^i _j x^j. У вас они эквивалентны двум преобразованиям типа галилеевых
\[
x'^0  = x^0 
\] с точностью до \[
\frac{{V^2 }}
{{c^2 }}x^0 
\], (*)
\[
x' = Vx^0  - x
\].
Но это не может быть преобразованием Галилея, так как сама матрица \[
\Gamma 
\] определена до V/c включительно и предполагается, что в первом порядке малости \[
g_{00}  = 1
\]. Имеем
\[
a_{00}  = 1 - \frac{{V^2 }}
{{c^2 }}
\] согласно (*), то есть
\[
\begin{gathered}
  t' = t - \frac{V}
{{c^2 }}x, \hfill \\
  x' = Vx^0  - x \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]. Эти приближенно-галилеевы преобразования, как можно проверить, с той же точностью до V/c переводят 4-мерный интервал в себя, и никак не относятся к галилеевым преобразованиям 3-мерного интервала, поскольку даже в 1-ом порядке по V/c, t' зависит от координаты x.
Добавлено спустя 19 минут 32 секунды:

Someone писал мне:
Цитата:
Дайте, пожалуйста, Ваше определение инерциальной системы отсчёта.


Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу. На русском языке это означает, что все инерциальные системы отсчета полностью равноправны и нет никакого смысла их физически различать, ибо кинематическая скорость - величина относительная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148118 писал(а):
Извините меня, но эти преобразования не точны. Берем матрицу Г=(aij); ясно, что она существует с точностью до величин 1-го порядка по V/c.

Как раз высказывания типа "она существует (?!?) с точностью до..." - не точны. А вот норму матрицы посчитать можно.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):
Но это невозможно, так как сама матрица (aij) определена до V/c включительно и предполагает, что в первом порядке малости g00=1 - V^2/c^2 = 1.

Как это матрица что-то может предполагать? Матрица - просто линейное преобразование, она не зависит от метрики. Кроме того, матрица преобразований Галилея общеизвестна, и не вам её подменять на что-то другое.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):
Эти приближенно-галилеевы преобразования, как можно проверить, с той же точностью до V/c переводят 4-мерный интервал в себя, и никак не относятся к галилеевым преобразованиям 3-мерного интервала,

Я боюсь, вы просто путаете галилеевы системы отсчёта и преобразования Галилея. Здесь не слишком-то удачная терминология в ЛЛ-2, поскольку свойство галилеевости системы отсчёта инвариантно относительно преобразований Лоренца, а не Галилея.

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):
Галилеевы матрицы можно получить

"Галилеевых матриц" на свете не бывает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:09 


01/10/08
45
Munin мне писал:
Цитата:
К счастью, теория поля в СТО этого уже не требует

Отвечаю: то есть вам в принципе до фени, что принцип соответствия не работает.

Цитата:
Пространство Минковского - это не просто пространство с такой геометрией, что всюду значения метрического тензора галилеевы. Такое пространство называется локально плоским. А пространство Минковского устроено как плоское не только локально, но и глобально. Постарайтесь теперь перевести свои возражения на общепринятый язык, без подмены терминов.

Отвечаю: разумеется можно привести и общеизвестные нам с вами истины...я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином. В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине, что это будет - нонсенс, ибо оно само является только локальным гомеоморфизмом. Но это никак не приведет к нарушению свойств глобальной "плоскостности" пространства.

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

P.S. Попробуйте это опровергнуть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Mister-X в сообщении #148118 писал(а):
Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу.


Стоп-стоп-стоп! Во-первых, форминвариантность уравнений - не физическое, а математическое свойство; во-вторых, мне это сильно не нравится.

Я ожидал чего-нибудь в таком роде: система координат, в которой пространственные базисные векторы ортонормированы, а синхронизация часов выполняется по правилу Эйнштейна. Отсюда следует и вид метрики, и преобразования Лоренца.

Попробуйте сформулировать ещё раз, что Вы имеете в виду.

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине, что это будет - нонсенс, ибо оно само является только локальным гомеоморфизмом.


Пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой по определению этого пространства. Путать же пространство с локальным гомеоморфизмом категорически не рекомендуется.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином


Нет. "Вопрос" был в том, чтобы Вы понимали и использовали общепринятые термины стандартным способом, а не несли отсебятину. Если же Вы имеете в виду что-нибудь нестандартное, то нужно использовать другой термин, чтобы не вводить людей в заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:39 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
[mod="Jnrty"]Mister-X! Прочтите темы http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic11877.html, http://dxdy.ru/topic183.html, после чего первым делом перепишите формулы в своём сообщении http://dxdy.ru/post148118.html#148118 (кнопка Изображение) с учётом принятых на форуме правил, а в дальнейшем правильно оформляйте цитаты. В противном случае тема отправится в "Карантин" до исправления.[/mod]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:39 


01/10/08
45
Цитата:
Как это матрица что-то может предполагать? Матрица - просто линейное преобразование, она не зависит от метрики. Кроме того, матрица преобразований Галилея общеизвестна, и не вам её подменять на что-то другое...и т.д.


Забавно. Только я ничего не подменял, а уточнил ваши преобразования. Вы сами ввели g00=1 - V^2/c^2. Матрица которую вы привели соответствует не 3-мерным преобразованиям Галилея, а преобразованиям Лоренца при V<<c. В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала, а применять их к эвклидовой метрике в теории Ньютона лишено смысла. Преобразования Лоренца только в нулевом порядке не затрагивают времени и только в этом случае тождественны преобразованиям Галилея. Эвклидова метрика получается при g00=0 и предположении о независимости времени. Только здесь действуют преобразования Галилея.

Кстати ничего там я не путал, вас просто не оставляет равнодушным используемая мной иногда терминология. А норма у вас должна быть равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.10.2008, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
Отвечаю: то есть вам в принципе до фени, что принцип соответствия не работает.

Работает. Вы же указываете на фундаментальные свойства теорий, а принцип соответствия оперирует не ими, а предельными переходами.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
я думал вопрос состоит в том, что я понимаю под этим термином.

Видите ли, вы себя позиционируете либо как серьёзного человека, либо как неуча, лопочущего что-то непонятное. Если первое, то вы пользуетесь терминами в их общепринятом смысле, в случае двусмысленности уточняете, хотя двусмысленных терминов не так уж и много. Если второе, то вы можете понимать под словами (уже не терминами) что хотите, и заставляете окружающих угадывать и приспосабливаться к вашей речи как к иностранному языку. Но при этом содержательность того, что вы произносите, стремится к нулю.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
В силу же личного убеждения не могу вам сказать, что пространство Минковского обладает глобальной галилеевой метрикой, по той причине

По той причине, что вы - Минковский, и вам лучше знать, чем кому бы то ни было, так, что ли? Простите, но определения есть определения. Можете ввести своё пространство Mister'а-X, и обсуждать его свойства сколько угодно, но пространством Минковского оно по умолчанию не будет. То же и с понятием инерциальной системы отсчёта: оно определено иначе, и вы вправе обсуждать только "системы отсчёта, инерциальные по Mister'у-X", если желаете определять их иначе.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
В силу же личного убеждения... пространство Минковского... само является только локальным гомеоморфизмом.

Это нонсенс, ибо пространство Минковского - это пространство, а не гомеоморфизм.

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
P.S. Попробуйте это опровергнуть.

Определения не доказывают и не опровергают, их вводят и им следуют.

Добавлено спустя 10 минут:

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
Забавно. Только я ничего не подменял, а уточнил ваши преобразования.

Их некуда уточнять, они и так точные.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
Вы сами ввели g00=1 - V^2/c^2.

Я не ввёл этого коэффициента, а посчитал его. Полагал, что для вашего уровня понятно, как. С учётом того, что вы корректируете мои представления о вашем уровне, приведу:
$ds^2=dt'^2-dx'^2=dt^2-(dx-v\,dt)^2=(1-v^2)dt^2-dx^2+2v\,dx\,dt.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
Матрица которую вы привели соответствует не 3-мерным преобразованиям Галилея, а преобразованиям Лоренца при V<<c.

Нет, преобразованиям Галилея. $x'=x-vt,\quad t'=t$ - это преобразования Галилея. Преобразования Лоренца при $v\ll1$ имеют вид $x'=x-vt,\quad t'=t-vx.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала

Если бы это было так, $g_{00}$ было бы строго равно $1.$

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
Эвклидова метрика получается при g00=0 и предположении о независимости времени. Только здесь действуют преобразования Галилея.

Нет, только здесь преобразования Галилея действуют как ортогональные над метрикой. А вообще они действуют где угодно.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
Кстати ничего там я не путал, вас просто не оставляет равнодушным используемая мной иногда терминология.

Ну-ну.

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
А норма у вас должна быть равна нулю.

Посчитайте сами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group