Пространство-время ОТО

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1392024 писал(а):

Сегодня услышал, что первая квадратичная форма - это и есть метрический тензор. Так ли это?

Ну вот, сегодня же Вам посчастливилось услышать, что это не так. Начиная с того, квадратичные формы не нумеруются.

sergey zhukov в сообщении #1392024 писал(а):

Тензор я всегда представляю в виде жесткого пучка векторов заданной длины, углы между которыми тоже фиксированы

Категорически неверно.

[Eule_A]

Geen в сообщении #1392038 писал(а):

квадратичные формы не нумеруются

В дифференциальной геометрии есть первая, вторая и третья квадратичные формы. Посмотрите, например, у Рашевского.

[Geen]

Eule_A в сообщении #1392044 писал(а):

Geen в сообщении #1392038 писал(а):

квадратичные формы не нумеруются

В дифференциальной геометрии есть первая, вторая и третья квадратичные формы. Посмотрите, например, у Рашевского.

Вот, как мне кажется, слово "фундаментальная" - существенно и методически (при отсутствии у "реципиента" знаний о том, что такое "квадратичная форма") правильно

[Eule_A]

Geen в сообщении #1392045 писал(а):

Вот, как мне кажется, слово "фундаментальная" - существенно и методически (при отсутствии у "реципиента" знаний о том, что такое "квадратичная форма") правильно

Что не отменяет некорректности отрицания существования термина, которое имело место выше. В остальном - Ваше право на собственное мнение...

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1392024 писал(а):

Тензор я всегда представляю в виде жесткого пучка векторов заданной длины, углы между которыми тоже фиксированы. Почти как один вектор, только тут еще сохранение углов добавляется. Матрица тензора – это просто совокупность проекций всех этих векторов на любую систему координат. Эти проекции просто так построчно сверху вниз и записаны. Количество строк в матрице тензора – это число его векторов. Число столбцов – это число векторов в системе координат, на которую он проецируется.

Не, упорядоченный набор $n$ векторов $(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n)$ — это, конечно, «тензор», но в том лишь смысле, что его можно понимать как линейное отображение из координатного пространства $\mathbb R^n$ в интересующее векторное, переводящее столбец $[a_1\;\cdots\;a_n]^t$ в вектор $a_1\mathbf v_1+\ldots+a_n\mathbf v_n$, а само отображение можно понимать как элемент пространства $V\otimes(\mathbb R^n)^*$. Элемент произвольного тензорного произведения так не воплотить.

-- Чт май 09, 2019 22:49:56 --

Впрочем, некоторые тензоры действительно можно представлять штуками, отдалённо похожими на набор векторов. Например $n$ раз контравариантный тензор, антисимметричный по любой паре аргументов, можно представить (не всякий; но всякий можно разложить на представимые) в виде параллелотопчика, натянутого на $n$ каких-то векторов, но такого, что мы можем менять их, оставляя объём и ориентацию этого параллелотопа теми же. С такими ориентированными объёмами можно геометрически наглядно совершать операции (например, сворачивать с линейной формой и получать такой объём меньшей размерности).

[sergey zhukov]

Кажется, я понял, в чем была моя ошибка. Для определенности далее будем говорить о двумерной поверхности.
Тензор вообще я всегда представляю на примере тензора напряженного состояния из сопромата. Тензор напряжения описывает состояние напряжения в точке тела. Это состояние есть характеристика тела, оно привязано к нему и существует без координат. В трех измерениях напряженное состояние тела можно представить в виде трех перпендикулярных векторов главных нормальных напряжений, в направлении которых тензор напряжения имеет диагональный вид. Значит, напряженное состояние тела задает на нем всюду ортогональные координаты, в которых тензор напряжения имеет всюду диагональный вид. Эти координаты я считаю в этом теле выделенными. По аналогии с этим я представлял, что метрический тензор описывает некоторое метрическое состояние точки поверхности, которое есть внутреннее состояние этой поверхности и привязано к ней. Оно тоже существует еще до введения координат, тоже может быть описано главными нормальными компонентами, и определяет ортогональные выделенные координаты, в которых этот тензор всюду диагонален.
Но теперь я понимаю, что:

1. Метрический тензор без координат не существует и не является внутренним свойством поверхности, т.к. он является внутренним свойством самих координат;

2. Любая координатная сетка на криволинейных плоскостях локально в точке неизбежно выглядит, как косоугольная неравномасштабная система координат на касательной плоскости. Это просто свойство криволинейной поверхности. Невозможно построить на криволинейной поверхности координатную сетку такую, чтобы локально она везде была и ортогональной и равномасштабной. Поэтому в окрестности любой точки криволинейной поверхности, где геометрию можно считать плоской, нам предлагается вместо прямоугольных равномасштабных координат использовать косоугольные неравномасштабные координаты. Метрический тензор просто содержит параметры, описывающие такую систему координат: угол между осями и масштабы вдоль каждой оси. Используя эти параметры, можно правильно подсчитывать расстояние в этой системе координат. Можно сказать, что отклонение метрического тензора от единичного просто показывает степень “косоугольности и неравномасштабности” координат в данной точке;

3. На криволинейной поверхности можно нарисовать координатную сетку такую, что в ней метрический тензор всюду диагонален. Это просто любая ортогональная система координат, которых можно построить множество. Поэтому метрический тензор не является внутренним свойством поверхности, он диагонален в любых ортогональных координатах, на что бы они ни были наложены;

4. Если на плоскости использовать неортогональные и неравномасштабные координаты, то уже здесь метрический тензор нигде не будет единичным. Поэтому отличие метрического тензора от единичного означает ничто другое, как отклонение координат от равномасштабных и прямоугольных. Это вовсе никак не характеризует кривизну поверхности. Такого отклонения и на плоскости несложно добиться. Главное отличие этих случаев в том, что на плоскости среди прочих есть координаты, в которых метрический тензор везде единичен, а на криволинейной поверхности таких координат нет.

Суммируя, можно сказать, что метрический тензор в каждой точке координат определяет угол между осями и их масштаб безотносительно к тому, на какую поверхность наложены эти координаты.


-- 10.05.2019, 15:53 --

Цитата:

Элемент произвольного тензорного произведения так не воплотить.

Все, что я знаю о тензорах, сводится к следующему:

1. Первоначально был использован видимо в механике сплошных сред, откуда получил название "Напряженный". Я всегда представляю себе тензор напряжений из сопромата. Тензор в этом случае - это просто и есть напряженное состояние, которое сводится к пучку трех ортогональных векторов в точке. Это состояние полностью описывается тремя векторами главных нормальных напряжений;

2. Тензор отображает проекцию напряженного состояния на произвольную систему координат. Тот же тензор напряжений показывает проекции трех главных нормальных напряжений на произвольную систему координат. Тензор построен так:первая строчка - координаты вектора первого главного нормального напряжения, вторая - второго, третья - третьего;

3. Вращение координат не влияет на напряженный элемент, но приводит к смене проекций всех его главных напряжений на вращающуюся координатную систему. Все числа в матрице тензора меняются, но напряженное состояние - нет. В частности, определитель матрицы тензора напряжений, равный объему куба на этих векторах, не меняется. Скалярное произведение каждой строки самой на себя, равное длине каждого вектора главных напряжений, не меняется;

4. По диагонали тензора напряжений стоят величины самих напряжений, если произвольные оси координат совпадают с направлениями главных напряжений. Это прямо следует из строения матрицы тензора;

5. Тензор - это состояние в точке, описываемое несколькими векторами.

Почему же тензор нельзя представлять, как пучок векторов? Вот даже метрический тензор есть состояние координатной сетки в каждой ее точке. Этот тензор внутри этой сетки может быть представлен несколькими ортогональными векторами, показывающими степень растяжения/сжатия этой сетки вдоль некоторых главных направлений, в результате чего она и становится косоугольной. Эти главные направления внутри этой криволинейной сетки можно нарисовать. Следовательно метрический тензор есть просто пучок ортогональных векторов, определяющих в каждой точке прямоугольной системы координат степень ее растяжения/сжатия вдоль этих векторов. Это тензор деформации прямоугольной координатной сетки. Если главные направления деформации совпадают с направлениями осей сетки, то получим ортогональную криволинейную систему координат, которую я считаю в некотором роде выделенной. А если главные направления деформации не совпадают с направлениями осей сетки, то после деформации получим косоугольную систему координат, которая все равно эквивалентна веделенной в смысле метрики. Вообще все системы координат, полученные из прямоугольной сетки при помощи одного и того же тензора деформации, являются эквивалентными в смысле метрики. Выделенной же я просто называю ортогональную систему, а косоугольные считаю проекцией ортогональной.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Скалярное произведение каждой строки самой на себя, равное длине каждого вектора главных напряжений, не меняется;

Докажите это.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Тензор вообще я всегда представляю на примере тензора напряженного состояния из сопромата.

Это неправильно. Тензор - намного более широкое понятие.

Прежде всего, у тензора есть ранг (или валентность). Это не то же самое, что ранг матрицы, а омонимичное слово с другим смыслом. "На пальцах", тензор 2-го ранга можно изобразить табличкой чисел (матрицей), и эта табличка располагается на плоскости - "двумерна". Аналогично, тензор 0-го ранга изображается одним числом, тензор 1-го ранга - строчкой или столбцом чисел - "одномерными", а тензор 3-го ранга - кубиком чисел - то есть уже "трёхмерным" набором чисел. Более серьёзно, ранг задаётся двумя числами - числом "верхних" и "нижних" индексов.
Тензор напряжений и тензор деформаций - это тензоры 2-го ранга, более точно ранга $(0,2).$
Метрический тензор - это тензор 2-го ранга, более точно ранга $(0,2).$
Символы Кристоффеля - это уже объект тензорного ранга $(1,2).$
Тензор Римана - это тензор 4-го ранга. Обычно он записывается в виде тензора ранга $(1,3)$ или $(0,4).$

Кроме ранга (валентности), у тензора также есть свойства симметрии. Подразумеваются не свойства симметрии в пространстве (хотя есть и такие), а свойства симметрии по отношению к перестановкам индексов. Например, для тензора 2-го ранга, он бывает:
- произвольным, общего вида;
- симметричным (симметрическим), то есть со свойством $T_{ij}=T_{ji}$;

- симметричный тензор 2-го ранга может быть шаровым (изотропным), если $T_{ij}=T\delta_{ij},$ или бесследовым, если $T_{ii}=0$; произвольный симметричный тензор 2-го ранга может быть разложен на шаровую и бесследовую часть;

- антисимметричным (антисимметрическим, кососимметричным, кососимметрическим), если он обладает свойством $T_{ij}=-T_{ji}.$
Для тензоров более высоких рангов, возникают более сложные свойства симметрии, например, симметричность или антисимметричность по какой-то паре индексов.
Тензор напряжений и тензор деформаций - это симметричные тензоры 2-го ранга: $\sigma_{ij}=\sigma_{ji},\quad\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}.$
Метрический тензор - это симметричный тензор 2-го ранга: $g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}.$
Символы Кристоффеля имеют такую симметрию: $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}.$
Тензор Римана симметричен по одним, и антисимметричен по другим парам индексов: $R_{\lambda\mu\nu\sigma}=-R_{\mu\lambda\nu\sigma}=R_{\nu\sigma\lambda\mu}=-R_{\lambda\mu\sigma\nu},$ и кроме того, есть сложное соотношение $R_{\lambda\mu\nu\sigma}+R_{\lambda\nu\sigma\mu}+R_{\lambda\sigma\mu\nu}=0.$

К сожалению, ваше знакомство с тензорами не дало вам даже примера произвольных и антисимметричных тензоров 2-го ранга.

[realeugene]

Munin в сообщении #1392514 писал(а):

Символы Кристоффеля имеют такую симметрию: $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}.$

В описании тензоров они лишние, так как не тензоры.

sergey zhukov
Симфолы Кристоффеля не тензоры, потому что представления тензоров в виде матриц чисел в заданных координатах преобразуются при заменах координат строго определённым образом, а символы Кристоффеля преобрзуются иначе. В результате, выбором подходящих координат ненулевые символы Кристоффеля в некоторой точке можно обратить в нуль, а с тензорами это невозможно.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

По аналогии с этим я представлял, что метрический тензор описывает некоторое метрическое состояние точки поверхности...
Но теперь я понимаю, что...

Здесь у вас та проблема, что вы мыслите по отношению к поверхности. Вы не можете отвлечься от того, как эта поверхность вложена в 3-мерное пространство. А метрика (метрический тензор) - это свойство внутренней геометрии.

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Почему же тензор нельзя представлять, как пучок векторов?

Ну вот потому что нельзя. Это более сложный объект. Более того: для каждого ранга (и типа симметрии) это свой более сложный объект.

Даже симметричный тензор ранга $(0,2),$ каковыми являются тензоры напряжений и деформаций, принято представлять не пучком векторов, а эллипсоидом.

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Это тензор деформации прямоугольной координатной сетки. Если главные направления деформации совпадают с направлениями осей сетки, то получим ортогональную криволинейную систему координат, которую я считаю в некотором роде выделенной.

Здесь вы совершаете ещё одну ошибку начинающего: вы мыслите координатную систему на многообразии как полученную некоторой деформацией из прямоугольной системы координат. Это встречается в технике, где есть "истинное" плоское трёхмерное пространство с прямоугольными координатами, а косоугольные координаты всего лишь маскируют этот факт. Но не так в римановой геометрии и ОТО. Там практически все многообразия имеют кривизну, то есть в принципе не имеют никаких предпочтительных выделенных прямоугольных систем координат. Какую бы систему координат вы ни начали на них наносить, она где-то будет косоугольной. Интуитивно можно представить себе сферу (глобус), и невозможность покрыть его прямоугольной сеткой координат.

-- 12.05.2019 13:56:08 --

realeugene в сообщении #1392516 писал(а):

В описании тензоров они лишние, так как не тензоры.

Поскольку речь об ОТО, они не лишние. Кроме того, по отношению к преобразованиям координат в точке они ведут себя как тензоры.

Ваше желание помешать - мешает. Если бы вы конструктивно помогали разговору, это было бы лучше.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Этот тензор внутри этой сетки может быть представлен несколькими ортогональными векторами, показывающими степень растяжения/сжатия этой сетки вдоль некоторых главных направлений

Такое представление применимо только к симметричным тензорам ранга $(1, 1)$.

-- 12.05.2019, 14:08 --

Munin в сообщении #1392517 писал(а):

Кроме того, по отношению к преобразованиям координат в точке они ведут себя как тензоры.

Munin
Идите читать ЛЛ2, а именно, разбираться с формулой замены координат для символов Кристоффеля $(85,15)$ и пояснительным текстом после неё. Там русским языком написано, что символы Кристоффеля ведут себя как тензоры только по отношению к линейным преобразованиям координат. Но произвольными преобразованиями координат их можно обратить в нуль в произвольной точке. Кстати, это очень важно для принципа эквивалентности. Упоминать их в общем обзоре тензоров, когда до ковариантного дифференцирования как до Луны - это совершенно бесполезно и может быть только вредно, если их называть тензорами.

[Munin]

realeugene
Я так и сказал. И вообще выше по теме сказал, что это не тензоры. И никогда не называл их тензорами.
Именно что до ковариантного дифференцирования как до луны. И поэтому то, что вы упоминаете, пока значения не имеет. (Потом - будет иметь.)

[realeugene]

Munin в сообщении #1392525 писал(а):

Я так и сказал.

Нет! Вы написали "преобразование координат в точке". На самом деле, это вообще бессмыслица, так как координаты преобразуются функционально только в некоторой области, но не в точке. По определению.