Пространство-время ОТО

[arseniiv]

Munin в сообщении #1392852 писал(а):

Вообще-то они нафиг не нужны, можно только поля использовать.

Ну хотя бы для обучения? Я говорил к тому же про классические.

-- Вт май 14, 2019 03:24:25 --

Munin в сообщении #1392852 писал(а):

У вас потрясающий талант объяснять совершенно непонятно (для новичка) с таким видом, что это банальности

Да, я просто хочу сразу всё и притом не совсем уж без описания, что это такое в точности, а это невозможно. Вот и результат.

Про матричный язык ещё можно рассказывать о смысле транспонирования матрицы оператора и т. п..

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

Скажем, для Земли этот потенциал максимален на поверхности, а с глубиной сходит к нулю.

Пожалуйста, так как вы ТС, к вам вопрос. Нарисуйте график зависимости гравитационного потенциала от расстояния от центра для Земли, считая Землю шаром радиусом 6400 километров с однородной плотностью вещества в этом шаре, такой, что на поверхности ускорение свободного падения равно $9.81 \text{м}/\text{с}^2$. Для решения этой задачи вам достаточно владеть ньютоновким законом всемирного тяготения, в ОТО выходить не нужно.

[sergey zhukov]

Виноват, не подумал. Перепутал силу с потенциалом. Конечно, потенциал внутри Земли продолжает расти по параболе. Внутри Земли $F\sim r$, так что:

$F(r)=mg\frac{r}{R}$

$\varphi_0=-gR$

$\varphi(r)=-\frac{1}{m}\int\limits_{R}^{r}Fdr+\varphi_0=-(\frac{g}{2R}(R^2-r^2)+gR)$

epros в сообщении #1392847 писал(а):

Но это всего лишь означает, что Вы её на самом деле за линейку не считаете, а в качестве линейки у Вас принято что-то другое.

Стало быть, задача заключается в том, чтобы построить такие координаты, в которых измерение длины одной и той же линейки во всех точках кривого пространства дает один и тот же результат?

arseniiv в сообщении #1392848 писал(а):

Не знаю, насколько это важно физике, но математически это простая процедура

Наверное, это не так уж сложно, но я не могу понять не само это поднятие и опускание, а в чем разница между верхними и нижними индексами? Зачем их два типа введено?

Нашел статью из БСЭ, где сказано так:
Тензоры в прямоугольных координатах:
Величина, которая в каждой точке $3$-мерного пространства задается $3^k$ числами, $P_{i_1...i_i}$ $(i_r=1,2,3)$ которые при замене системы координат $(x_1,x_2,x_3)$ системой $(x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime)$ заменяются числами $P_{j_1...j_i}^\prime$ так, что $P_{j_1...j_i}^\prime =\alpha_{i_1}^{j_1}\alpha_{i_2}^{j_2}\dots\alpha_{i_i}^{j_i} P_{i_1...i_i}$, где $\alpha_i^j=\cos(x_j,x_i^\prime)$, называется тензорной величиной, а определяющая ее система чисел - тензором в прямоугольных координатах.
Хорошее определение, но я не совсем понимаю правила математической записи. Например, $P_{i_1...i_i}$ $(i_r=1,2,3)$ - это треугольная таблица размером $i$? Что значит примечание $(i_r=1,2,3)$? В выражении для преобразования $P$ все косинусы перемножаются друг на друга? Но в этом случае все новые компоненты тензора получатся меньше старых. Или это нужно понимать, как сложение?

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1393018 писал(а):

Наверное, это не так уж сложно, но я не могу понять не само это поднятие и опускание, а в чем разница между верхними и нижними индексами? Зачем их два типа введено?

А, ну это потому что векторы, живущие в некотором $V$, и ковекторы, живущие в $V^*$ изначально никак друг в друга не переводятся. Ковектор $f$ — это линейная функция $f\colon V\to\mathbb R$, ещё говорят 1-форма. Мы кстати и дальше можем навешивать звёздочки: коковектор $\xi$, живущий в $V^{**}$ — линейная функция $\xi\colon V^*\to\mathbb R$, и мы даже можем каждому вектору $\mathbf v$ сопоставить коковектор $\xi$ такой, что $\xi(f) = f(\mathbf v)$. Эта функция и правда линейная и даёт в результате скаляр, так что порядок. Однако в конечномерном случае верно и обратное: каждый коковектор получается вот так вот из какого-нибудь вектора, даже единственного, и потому $V^{**}\cong V$ (изоморфны) и их можно считать одним и тем же.

Теперь, когда мы рассматриваем только какое-то одно конечномерное $V$, все интересующие тензорные величины живут в пространствах вроде $V\otimes V\otimes V^*\otimes V\otimes V^*\otimes V^*$, составленных тензорным умножением из множителей $V$ и $V^*$. Больше звёздочек тут не появится, а меньше будет слишком скудно. Каждому слагаемому в индексной записи, как я уже писал в том потоке сознания выше, соответствует индекс, и если оно $V$, верхний, а если $V^*$ — нижний. Мы не можем их сделать одного типа, потому что потеряем информацию, кто откуда.

И несмотря на то, что в тех же ОТО или СТО всегда в наличии скалярное произведение, чтобы индексы наконец-то можно было начать смешивать, отличать их всё равно оказывается полезным, потому что многие величины могут быть определены, даже если выкинуть скалярное произведение, или, например, оно входит в определение, но достаточно скромно, чтобы можно было осмыслить одни индексы результата как «ну точно верхние», а другие как «точно нижние».

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1393018 писал(а):

Стало быть, задача заключается в том, чтобы построить такие координаты, в которых измерение длины одной и той же линейки во всех точках кривого пространства дает один и тот же результат?

Стало быть, задача заключается в том, чтобы понять, что координаты тут ни при чём. Измерение длины вдоль линии вычисляется как $\int_\ell\sqrt{g_{ij}dx^i dx^j},$ и эта величина при любых заменах координат остаётся одной и той же: там, где $dx^i$ увеличивается, там соответствующие компоненты метрического тензора уменьшаются.

И аналогично про много других более сложных тем, по которым вы тут писали всякую ерунду.

sergey zhukov в сообщении #1393018 писал(а):

Нашел статью из БСЭ

Учиться лучше по учебникам. А статья из БСЭ здесь примерно столь же уместна, как надписи на заборе. Например, здесь мягко говоря враньё.

[arseniiv]

Да, кстати, раз уж начал об индексах, разница в их типах ещё обозначает разницу в преобразовании соответствующих координат, если начать индексы понимать конкретно и как это появилось исторически, а не абстрактно, как в принципе у меня там. Именно из-за разницы в преобразовании возникли слова ковариантный и контравариантный.

Все преобразования индексная запись тоже позволяет вывести механически: пусть векторы старого базиса зовутся $\mathbf e_1,\ldots$, векторы нового $\mathbf e_{1'},\ldots$ (хитрая нумерация, но дальше будет понятно, зачем), и получаются они как $\mathbf e_{i'} = A^i{}_{i'} \mathbf e_i$, где $A$ — матрица перехода, строки её нумеруются индексами $1,\ldots$, а столбцы индексами $1',\ldots$, и раз тут у нас конкретные индексы, надо не забыть про соглашение о суммировании (здесь вставить неявную сумму по разным значениям $i$).

Возьмём теперь произвольный вектор $\mathbf v$, для его координат имеем определение $\mathbf v = \mathbf e_i v^i = \mathbf e_{i'} v^{i'}$. Подставим одно в другое: $\mathbf e_{i'} v^{i'} = A^i{}_{i'}\mathbf e_i v^{i'}$, из чего $v^i = A^i{}_{i'} v^{i'}$, или $v^{i'} = (A^{-1})^{i'}{}_i v^i$. В принципе мы могли бы просто угадать предпоследнее равенство, условившись сворачивать вместе только индексы одинаковой штрихованности.

Аналогично можно получить для ковекторных координат $f_{i'} = f_i A^i{}_{i'}$ (я пишу сворачиваемые индексы рядом только для сохранения мнемоники с умножениями матриц, столбцов и строк — вообще можно переставлять множители в такой записи как угодно в пределах произведения, как будто это обычные числа). Теперь можно заметить, что выражение для координат $f$ похоже на выражение для базисных векторов — там по крайней мере используется та же $A$, чтобы получить штрихованное из нештрихованного, а вот для координат вектора используется $A^{-1}$. Потому нижние индексы назвали ковариантными — они преобразуются «согласно», а верхние контравариантными — они «в обратном направлении» (если брать ту же $A$, мы будем получать из штрихованных нештрихованные).

Это конечно есть в учебниках, но в учебниках нечасто есть мнемоническое обозначение для элементов матрицы $A$. Можно также заметить, что если преобразовать штрихованный индекс в координатах самой $A$ на нештрихованный: $A^i{}_j = A^i{}_{k'} (A^{-1})^{k'}{}_j$, мы по определению $A^{-1}$ увидим, что это (единичная) матрица единичного оператора $\delta^i{}_j$. Это не просто так: матрица перехода и есть матрица единичного оператора, записанная в двух базисах сразу: первый индекс в одном, второй в другом. Так в принципе можно записывать какой угодно тензор, но пользы ни для теории, ни для практики в этом нет; однако хотя бы обзор с этого угла позволяет наконец понять (тем, кто был неспокоен), кто же такая эта матрица поворота и «чья» она.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1393018 писал(а):

Стало быть, задача заключается в том, чтобы построить такие координаты, в которых измерение длины одной и той же линейки во всех точках кривого пространства дает один и тот же результат?

Повторяю ещё раз (уже в третий): Точки пространства и расстояния между ними существуют независимо от выбора координат.

Если Вы почему-то хотите построить именно Декартовы координаты, то Вы должны строить их таким образом, чтобы компоненты метрического тензора записались единичной матрицей. Вообще, для любого положительно определённого дважды ковариантного тензора можно выбрать такие координаты, что в заданной точке его компоненты запишутся единичной матрицей.

sergey zhukov в сообщении #1393018 писал(а):

Наверное, это не так уж сложно, но я не могу понять не само это поднятие и опускание, а в чем разница между верхними и нижними индексами? Зачем их два типа введено?

Попробую ответить проще, чем arseniiv.

Дело в том, что малый направленный отрезок описывается контравариантным вектором, а градиент скалярной функции - ковариантным вектором. У них разные формулы преобразования в другие координаты.

[warlock66613]

epros в сообщении #1393071 писал(а):

Попробую ответить проще, чем arseniiv.

Попробую ответить ещё проще. Пусть у нас есть неортогоальные координаты на плоскости и вектор в них:

Тогда для получения его координат нам надо спроецировать его на координатные оси. Но это можно сделать двумя способами: а) можно опустить перпендиндуляр на каждую ось, б) можно провести прямые, параллельные осям. Вот так и получается, что вектор имеет два разных набора координат, и только в декартовом случае - когда метрический тензор выражается единичной матрицей - они совпадают.

[Geen]

warlock66613 в сообщении #1393077 писал(а):

Но это можно сделать двумя способами

Мне кажется, это плохой способ - это не один и тот же "вектор" с двумя типами координат, а разные объекты (а если ещё аксиальные вектора вспомнить...)
И такой способ возможно и порождает домыслы про "пучки векторов".

Опять же, "проектирование" требует скалярного произведения, а тензоры могут вводиться без него.

[sergey zhukov]

Ок, всем спасибо. Я думаю, мне нужно пока оставить тему про отвлеченные понятия и пощупать что-то более осязаемое.
На самом деле все это меня интересовало для того, чтобы лучше понять, о чем говорит метрика Шварцшильда.
Я понимаю ее так:

Метрика пространства-времени массивной точки в плоском срезе в полярных координатах, в которых наблюдатель неподвижен и бесконечно удален от центра, выглядит так:

$$dS^2=(1-\frac{r_s}{r})dt^2-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}dr^2$$

Радиус-вектор понимается, как расстояние до массивной точки, вычисленное из периметра круговой орбиты в предположении, что пространство плоское.
Т.к. это координаты, в которых наблюдатель неподвижен, то они имеют смысл только в области, где это возможно. За границей $r<r_s$ это невозможно, поэтому продолжить эти координаты внутрь сферы $r<r_s$ нельзя.

Перепишем уравнение для метрики так:

$$dt^2_\infty=\frac{dt^2_0}{1-\frac{r_s}{r}}+\frac{dr^2}{(1-\frac{r_s}{r})^2}$$

Здесь $dt_\infty$ - собственное время бесконечно удаленного наблюдателя, $dt_0$ - собственное время пробной частицы. Если $dr=0$, то пробная частица вблизи центральной массы неподвижна (требуется постоянная реактивная тяга) и получается чистое гравитационное замедление времени. Если $dt_0=0$, то получается траектория светового луча, движение которого выглядит для удаленного наблюдателя, как движение светового луча в среде с возрастающим к центру коэффициентом преломления.
Если массивная пробная частица, влиянием которой на метрику можно пренебречь, движется в поле центральной массы свободно, то ее траектория определяется условием максимизации интеграла собственного времени пробной частицы в поле заданной метрики.
Ее можно построить последовательно, задав $dt_\infty=\operatorname{const}$, выбрав начальные условия (исходную точку и направление движения пробной частицы) и делая каждый следующий шаг $dr$ так, чтобы максимизировать $dt$.

Это более-менее правильно?

[epros]

Да, warlock66613, сама по себе идея представить один и тот же вектор и как контравариантный, и как ковариантный - неудачная. Это два разных объекта, которые без метрики сопоставить никак не получится. Так что операция опускания или поднимания индекса - не формальность. Она не переводит вектор в самого себя, у которого якобы просто координаты определяются чуть иначе (посредством проведения "нормалей к осям"). На самом деле ковектор - совсем другой объект.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Это более-менее правильно?

Это вы откуда-то списали, и почти без ошибок. Хуже другое: вы это списали без понимания.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Радиус-вектор понимается, как расстояние до массивной точки, вычисленное из периметра круговой орбиты в предположении, что пространство плоское.

Никакой круговой орбиты. Из чисто пространственной окружности.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Если массивная пробная частица, влиянием которой на метрику можно пренебречь, движется в поле центральной массы свободно, то ее траектория определяется условием максимизации интеграла собственного времени пробной частицы в поле заданной метрики.
Ее можно построить последовательно, задав $dt_\infty=\operatorname{const}$, выбрав начальные условия (исходную точку и направление движения пробной частицы) и делая каждый следующий шаг $dr$ так, чтобы максимизировать $dt$.

Нет, максимизация интеграла означает вариационную задачу, а дальше вы решаете задачу Коши. Задача Коши получается другая, не "так, чтобы максимизировать $dt$". Должно получиться дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа

-- 15.05.2019 13:44:30 --

warlock66613
Я вас поддержу. Geen и epros возражают на ваше сообщение, но они не видят стоящей педагогической задачи. Вы правы, именно так "на пальцах" и надо начинать. Уточнения потом.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

$$dS^2=(1-\frac{r_s}{r})dt^2-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}dr^2$$

Радиус-вектор понимается, как расстояние до массивной точки, вычисленное из периметра круговой орбиты в предположении, что пространство плоское.

$r$ - это просто координата. Она выбрана так, чтобы площадь сферы была равна $4 \pi r^2$. Это никоим образом никакое не расстояние. Сингулярность называть "массивной точкой" тоже странно.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Т.к. это координаты, в которых наблюдатель неподвижен, то они имеют смысл только в области, где это возможно. За границей $r<r_s$ это невозможно, поэтому продолжить эти координаты внутрь сферы $r<r_s$ нельзя.

Во-первых, непонятно, о каком наблюдателе Вы говорите. Во-вторых, координаты Шварцшильда можно задать и под горизонтом. Правда они имеют разрыв на горизонте. А под горизонтом временнОй координатой становится $r$.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Перепишем уравнение для метрики так:

$$dt^2_\infty=\frac{dt^2_0}{1-\frac{r_s}{r}}+\frac{dr^2}{(1-\frac{r_s}{r})^2}$$

Здесь $dt_\infty$ - собственное время бесконечно удаленного наблюдателя, $dt_0$ - собственное время пробной частицы.

Это какая-то бессмыслица. Зачем выражать дифференциал одной координаты через интервал и дифференциал второй координаты? Да, координата $t$ совпадает со временем бесконечно удалёного неподвижного наблюдателя. Остальные выводы непонятны.

-- Ср май 15, 2019 14:55:00 --

Munin в сообщении #1393109 писал(а):

warlock66613
Я вас поддержу. Geen и epros возражают на ваше сообщение, но они не видят стоящей педагогической задачи. Вы правы, именно так "на пальцах" и надо начинать. Уточнения потом.

По-моему, этот пример как раз педагогически вреден. Нельзя превратить вектор (направленный отрезок) в ковектор посредством альтернативного способа определения его координат.

[Munin]

epros в сообщении #1393111 писал(а):

Во-первых, непонятно, о каком наблюдателе Вы говорите.

Иногда про координату Шварцшильда $t$ на бесконечности говорят как про время наблюдателя в бесконечно удалённой точке, неподвижного относительно чёрной дыры. В попсе всякой.

epros в сообщении #1393111 писал(а):

Нельзя превратить вектор (направленный отрезок) в ковектор посредством альтернативного способа определения его координат.

Чего нельзя, того нельзя, и того warlock66613 и не делает. Вы вновь блистаете умением читать не то, что написано, а то, что возникает у вас в голове.

-- 15.05.2019 14:04:57 --

Разумеется, на чертеже warlock66613 и скалярное произведение есть, и ортогональность есть, и проектирование есть, и метрика есть. И в этом случае вектор и ковектор - не два разных объекта, а один и тот же объект, поскольку задан изоморфизм.

И разумеется, в какой-то момент надо сказать о более сложном случае, когда метрики и скалярного произведения нет. Но может быть, это даже за рамками ОТО.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Это более-менее правильно?

это катастрофа...

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

в плоском срезе в полярных координатах

Что означает эта фраза? Что такое "плоский срез", срез чего, откуда он взялся и зачем нужен?
И почему "полярные координаты"? - мы рассматриваем сферически-симметричное пространство и поэтому берём сферические координаты.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

Радиус-вектор понимается, как расстояние до массивной точки, вычисленное из периметра круговой орбиты в предположении, что пространство плоское.

Вот если бы Вы выписали метрику правильно, включая слагаемое $r^2d\Omega^2$, то и было бы понятно, что радиальная координата (а вовсе не какой-то "радиус-вектор") определена как длина окружности делённая на два пи. И без всяких "круговых орбит" и неправильных "расстояний" и левых "предположений".
И радиальная координата (как и любая другая) вообще не означает какое-то расстояние. Координаты помечают точки пространства-времени и не более того.

sergey zhukov в сообщении #1393103 писал(а):

в которых наблюдатель неподвижен и бесконечно удален от центра

?? Что такое "наблюдатель", откуда он взялся и зачем? Когда всё что нам осталось, это определить временную координату. А она может определяться из совершенно разных требований, например:
1) что бы траектории "входящих" или "исходящих" радиальных световых лучей записывались как прямые (в наших координатах)
2) что бы сечение ПВ поверхностью $t=const$ имело евклидову метрику
3) для "метрики Шварцшильда" требуется: а) отсутствие "перекрёстного" члена (вида $f(t,r)drdt$) и, по возможности, б) что бы метрика на бесконечности переходила в "Минковского"