счетность множества действительных чисел

[ewert]

MaximKat писал(а):

http://abris.zx6.ru/?p=87 тут еще смешнее
автор доказывает отсутствие иррациональных чисел, основываясь на определениях предела и сходимости взятых из.... толкового словаря!!!

У меня не хватило терпения найти эти определения -- меня убила следующая "теорема":

Число $r$ может быть пределом последовательности $R$ рациональных чисел лишь в том случае, если $r$ принадлежит $R$.

Хотя нет, ещё прочитал строчкой ниже про последовательность $(-1)^n$ -- и тут уж окончательно отрубился.

[tolstopuz]

ewert писал(а):

Число $r$ может быть пределом последовательности $R$ рациональных чисел лишь в том случае, если $r$ принадлежит $R$.

А строчкой ниже, в формальной записи этого перла, вообще стоит знак равносильности

[MaximKat]

ewert в сообщении #137591 писал(а):

У меня не хватило терпения найти эти определения -- меня убила следующая "теорема":

вот-вот, прямо там, чуть выше

[ewert]

Насчёт предела -- нашёл и заценил.

А насчёт минус единицы в степени эн -- нет, это надо всё же цитировать, причём полностью. Оно того стоит:

Цитата:

Пример 1. Пусть последовательность $\mathcal R$ рациональных чисел определяется равенством $r_n=(-1)^n$. Надо установить, действительно ли $\mathcal R$, как это принято считать, является бесконеченой последовательностью.

Заметим, что поскольку в данном случае наблюдается соотношение

$-1\leq r_n\leq+1$

и $-1\;,+1\in\mathcal R$, то $\mathcal R$ имеет начальный предел, равный $-1$, и конечный предел, равный $+1$. Поэтому на самом деле рассматриваемая последовательность представляет собой отнюдь не бесконечную, а одну и ту же бесконечно повторяющуюся, но конечную последовательность $\mathcal R=(-1,+1)$, которой соответствует отрезок $[-1,+1]$ числовой оси.

[А.Связной]

Цитата:

ZVS
…А потому нельзя начать считать вообще..

Дедуктивное «все» больше чем индуктивное «бесконечно». Если мы берем все - ни останется ничего и считать этого не надо, если берем бесконечно – что-то может остаться и придется посчитать, чтобы убедится в полноте индукции. Для бесконечных подсчетов убедится не получится – можно только поверить.

Цитата:

ewert:
Ну попытайтесь таким способом доказать, что множество алгебраических чисел (с бесконечными и даже непериодическими последовательностями цифр) -- несчётно.

Доказать таким образом, что множество алгебраических чисел несчетно нельзя – потому что изначально не предполагается, что ВСЕ возможные перестановки бесконечной последовательности цифр образуют алгебраические числа.

Цитата:

Someone
Враки - Ваше утверждение о том, что в доказательстве Кантора каким-то образом используется какой-нибудь конкретный способ записи натуральных чисел.

Философский вопрос. Мне бы не хотелось его развивать, тем не менее, выскажу свое мнение.
Кантор явно пытался использовать в своем доказательстве конкретный способ записи действительных чисел – в отличие от натуральных, они всегда должны представлять собой по форме условно бесконечное количество цифр или любых других «закорючек» (условно потому что бесконечное количество «закорючек» выписать нельзя). То, что в доказательстве не указан явно способ записи натуральных чисел, позволяет нам записывать их и как конечное и как условно бесконечное количество цифр.
Однако, при любом способе записи натуральных чисел (а вообще без записи не обойтись – пусть даже в голове – форма неизбежна) неизменным останется то, что все комбинации цифр(закорючек, выбранных для записи), изначально (дедуктивно) считаются соответствующими некоторым действительным числам, в то время, как некоторые из комбинаций цифр(закорючек), представляющих натуральные числа изначально (дедуктивно) считаются не соответствующими ни одному натуральному числу. Далее предлагается индуктивно «проследовать» до бесконечности и убедится в этом. При этом, при отправлении вам говорят, что индукция будет полной, но не смотря на это, вы, к сожалению, все равно не доберетесь до (реальной) последовательности цифр, которые бы не соответствовали какому-либо натуральному числу (возможно, потому что она бесконечна – за пределами этой «полной» индукции), а вот до бесконечной последовательности цифр, определяющей действительное число, которое не соответствует ни одному натуральному числу, добираться не надо – она ведь уже здесь (условно конечно). Нужно только принять это за реальность и поверить в нее.
Еще раз хотелось бы задать вопрос: Если перед вами условно бесконечная произвольная последовательность цифр после запятой (которую Кантор явно использовал в своем доказательстве), нужно ли доказывать, что это число непременно действительное (а, например, не алгебраическое) или это принимается за аксиому (теорему, которая уже где-то доказана) ?

[ewert]

А.Связной писал(а):

Еще раз хотелось бы задать вопрос: Если перед вами условно бесконечная произвольная последовательность цифр после запятой (которую Кантор явно использовал в своем доказательстве), нужно ли доказывать, что это число непременно действительное (а, например, не алгебраическое) или это принимается за аксиому (теорему, которая уже где-то доказана) ?

Словосочетание "действительное (а, например, не алгебраическое)" бессмысленно -- алгебраические числа являются частным случаем действительных.

Если вещественными числами по определению считаются бесконечные дроби, то доказывать это, естественно, не надо. Если в качестве определения вещественных чисел берётся что-то другое, то тогда представимость их дробями есть теорема. Общеизвестная.

[AD]

Цитата:

автор доказывает отсутствие иррациональных чисел, основываясь на определениях предела и сходимости взятых из.... толкового словаря!!!

Может, запретим уже в толковых словарях писать научные понятия? И в больших советских энциклопедиях тоже ... Авось, меньше умников станет.

[Бодигрим]

М-да, почитал я этот abris.zx6.ru... Вот что бывает, когда математическое образование является несистематическим. Автор говорит на псевдо-математическом языке о псевдо-математических вещах.

[Someone]

А.Связной в сообщении #137599 писал(а):

Однако, при любом способе записи натуральных чисел (а вообще без записи не обойтись – пусть даже в голове – форма неизбежна) неизменным останется то, что все комбинации цифр(закорючек, выбранных для записи), изначально (дедуктивно) считаются соответствующими некоторым действительным числам, в то время, как некоторые из комбинаций цифр(закорючек), представляющих натуральные числа изначально (дедуктивно) считаются не соответствующими ни одному натуральному числу.

Бред. Совершенно невразумительный.

[Captious]

ewert писал(а):

Вот Вы тут накатали:

Captious писал(а):

Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы.

Ну и какое это имеет отношение к счётности/несчётности?

Самое прямое, г-н ... хороший.

ewert писал(а):

и действительно ли отсюда мн-во рациональных чисел несчётно(ибо ... ?

ewert писал(а):

(ибо к ним сиё глубокомысленное рассуждение точно не относится)

Вот тут я с вами полностью солидарен: сие ( ваше!) "глубокомысленное" рассуждение не относится не только ко множ-ву Q, но и вообще к теме несчетности множ-ва!
P.S. Ещё раз убедительно прошу: не делайте меня "соавтором" ваших сочинялок и глюков. Пишите исключительно от своего имени: мне показалось( привиделось), что .... Ну и т.д. и т.п. в том же духе...
-------------------------------------------------------------

Someone писал(а):

Вот интересно, Вы это якобы "геометрическое" доказательство сами придумали?

Разумеется, нет. Оно взято из "Лекций по дополнительным главам математического анализа" В. И. Соболева. А что?
P.S. Могу вам посоветовать то, что говорил выше г-ну ewert.
Просто надо признать как факт, что это не ваша тема и выше своей головы не прыгнешь - вот и всё...
Понимаете ли , г-н "профессионал"... Человека, который действительно хочет разобраться в каком-либо вопросе видно сразу.
Пусть он порой выражается коряво, путанно и витиевато, но в отличие от подобных вам "переподавателей истин" из учебников, у него наблюдается работа собственных извилин...

[Brukvalub]

Captious в сообщении #137640 писал(а):

Разумеется, нет. Оно взято из "Лекций по дополнительным главам математического анализа" В. И. Соболева. А что?

Captious в сообщении #137640 писал(а):

в отличие от подобных вам "переподавателей истин" из учебников, у него наблюдается работа собственных извилин...

Тролль уже сам себе противоречит даже в простейшем, во как заврался! Сначала он переписывает в форум куски общеизвестных доказательств из учебников, и потом тут же обвиняет других в том, что они эти учебники читали!

[ewert]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Вот интересно, Вы это якобы "геометрическое" доказательство сами придумали?

Разумеется, нет. Оно взято из "Лекций по дополнительным главам математического анализа" В. И. Соболева. А что?

А что клеветать не надо. В.И.Соболев -- человек весьма разумный. И уж троичные дроби за геометрию он бы никак не принял.

[А.Связной]

Цитата:

ewert
Словосочетание "действительное (а, например, не алгебраическое)" бессмысленно...

Если отвлечься от содержания, то "или" может быть и исключающим - тогда смысл есть, хотя я конечно имел в виду то, что вы сказали, просто перемудрил.

Цитата:

...алгебраические числа являются частным случаем действительных.

Тогда, что представляет собой множество действительных чисел, не являющихся алгебраическими ? Я насчет его счетности.

Цитата:

Someone
Враки...Бред...

Простите, можно выражаться яснее.

[Brukvalub]

А.Связной в сообщении #137650 писал(а):

что представляет собой множество действительных чисел, не являющихся алгебраическими ? Я насчет его счетности.

Это множество несчетно.

[ewert]

А.Связной писал(а):

Тогда, что представляет собой множество действительных чисел, не являющихся алгебраическими ? Я насчет его счетности.

(разверну Brukvalub'а) Поскольку мн-во действительных чисел несчётно, алгебраических же -- счётно, то интересующее Вас множество тоже несчётно.