Гипотеза Римана

[shwedka]

Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

[vicvolf]

shwedka в сообщении #1342386 писал(а):

Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

Спасибо за ссылку. Я бы сказал, что попытка, далеко выходящая за доказательство автора.

[Ktina]

shwedka в сообщении #1342386 писал(а):

Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

(Оффтоп)

Оказывается, немецкие умлауты успешно прижились и в английском языке

[Skipper]

shwedka в сообщении #1342386 писал(а):

Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/ ... ahs-proof/

Какие перспективы у этой попытки? Может что то новое докажут (менее значимое чем ГР )

[vicvolf]

Аргументы Атии в лучшем случае неполны. Очень маловероятно, что это доказательство ГР.
Я уже писал, что препринт не является формой представления результатов серьезной работы. Тем более он содержит ссылки на неопубликованные работы, которые не известны широкому кругу читателей. И действительно в докладе автор меняет доказательство и говорит о недоказанной в работе "выпуклости" критической полосы. Этот вопрос кстати подробно изучается в ссылке, предложенной shwedka. Естественно доклад также не является формой представления результатов такой работы. Это должна быть опубликованная статья, хотя бы в Архиве.
Мне кажется, что автор специально делает это. Он хочет собрать замечания, на различные варианты доказательства и потом попытаться их устранить. Если это попытка будет удачной, то он опубликуется. Если нет, то автор вообще не опубликует доказательство ГР.

[Skipper]

Литтлвуд доказал ,
что разность функции $\pi(N)$ и интегрального логарифма - меняет знак бесконечное количество раз.
(в зависимости от растущего параметра).
Но первое число , больше которого начинаются т.н. "литтвудовы нарушения", очень большое (изначально оно называлось
"число Скьюза", потом было уменьшено). Т.е. до доказательства Литтвуда, некоторые считали, что т.к. неравенство
$\pi(N) < Li(N) $ выполняется для всех известных чисел, то возможно, так оно всегда и происходит (для всех чисел).

Некоторые приводят этот аргумент, как факт в пользу того что и ГР может быть неверна.

Если рассмотреть дзета-функцию, как функцию от $(1/2) + it $ , где $t$ - действительная переменная,
то можно видеть её график. Функция принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение.

График такой функции был бы - некая 1-мерная кривая в 3-мерном пространстве. Где 2 оси - выделены для комплексного значения функции,
и 1 ось - для действительного аргумента функции. На рисунке, можно представить, что мы наблюдаем график, с 3-й осью
направленной прямо по лучу нашего зрения. Реально это некая спираль в пространстве, типа штопора.



Эта проекция никогда не заполнит собой всю плоскость, т.к. площадь всех этих линий - нулевая (т.е. "толщина" равна нулю).
По какой то причине, этот график пройдёт бесконечное количество раз - через 0 (это доказал Харди в 1914 году),
но если взять функцию с действительной частью не равной $1/2$ , тогда график вообще не попадёт никогда в 0.
И уже проверено более 10 триллионов первых нулей.

Так что здесь более веские причины думать, что ГР всё таки скорее верна, чем были причины Литтлвуду полагать что $\pi(N) < Li(N) $
не меняет знак.

Если же вы рассмотрим функцию, которая наоборот, принимает комплексный аргумент, но возвращает - действительное значение
тогда графиком была бы некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве.

Рассмотрим 2 функции -

1) функция принимает действительный аргумент, возвращает комплексное число,
2) функция принимает комплексный аргумент, возвращает действительное число,

Выходит что, эти функции не имеют своей обратной функции ? (следует из суждения выше, что графики разной "мощности" как бы ) -
в первом случае это кривая 1-мерная линия в пространстве, а во 2-м случае - поверхность 2-мерная в 3-мерном пространстве.

Возникает вопрос, как можно наглядно представить себе действительный интеграл от этих функций и связан ли он с комплексным?
Во 2-м случае это понятно - некий объем заключенный под этой поверхностью , т.е. между поверхностью и нулевой плоскостью .

А как можно наглядно представить себе что такое интеграл и как он выглядит для 1-й функции -
которая - принимает действительный аргумент, и возвращает комплексное число ?

Это могло бы помочь для получения идей, для нахождения доказательства ГР.

Я видел в одной лекции посвященной ГР, такое определение дзета-функции через несобственный интеграл -



Здесь пределы инегрирования, для $x$ - принимают значения от $ 0$ до $+\infty$ ,
значит $x$ - действительное, а не комплексное (не смысла применять форулировку $+\infty$ для комплексных,
т.е. $+$ здесь лишний был бы) , но затем возводится в комлексную степень.

а потому значит, для нахождения чему равен интеграл, мы и должны рассматривать функции от действительного
аргумента, но которые возвращают комплексное число. (об этих функциях я выше и писал).

И как можно наглядно себе геометрически себе представить, что это за интеграл такой, как выглядит?
(аналогично, как для обычного интеграла от функций которые и принимают и возвращают действительное значение -
рисуют площадь под криволинейной трапецией ) .

Спасибо.

PS И надеюсь, я правильно понял, именно с этим одна из трудностей, почему не удаётся доказать ГР?
И какие еще есть причины, трудности нахождения этого доказательства?
Чтобы доказать, главное понять - что именно нам мешает , т.е. найти "камень преткновения".

-- Пн окт 01, 2018 14:43:55 --

Коротко - главный вопрос -
как можно представить себе интеграл от функции которая принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение ?

Геометрическим (каким-либо) образом. Тогда будет понятно, в каких случаях этот интеграл обращается в $0$.
И второе - есть ли возможность, свести этот интеграл к некоторому эквивалентному интегралу, от фунции которая
возвращает тоже действительное значение.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343005 писал(а):

Эта проекция никогда не заполнит собой всю плоскость, т.к. площадь всех этих линий - нулевая (т.е. "толщина" равна нулю).

А кривая Пеано не существует.

Skipper в сообщении #1343005 писал(а):

1) функция принимает действительный аргумент, возвращает комплексное число,
2) функция принимает комплексный аргумент, возвращает действительное число,

Выходит что, эти функции не имеют своей обратной функции ?

Рассмотрим функцию $f: \mathbb R \to \mathbb C$, $f(x) = x + i \sin(x)$. Упражнение: найти обратную к ней функцию $g: \mathbb C \to \mathbb R$.

Skipper в сообщении #1343005 писал(а):

как можно представить себе интеграл от функции которая принимает действительный аргумент, а возвращает комплексный ?

Например отдельно интегралы от действительной и мнимой части. Ну и собственно в определении через интегральные суммы совершенно неважно, из какого множества значения функции, лишь бы нормированное векторное пространство было.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1343006 писал(а):

Например отдельно интегралы от действительной и мнимой части. Ну и собственно в определении через интегральные суммы совершенно неважно, из какого множества значения функции, лишь бы нормированное векторное пространство было.

Может быть , и эту формулировку гипотезы Римана , которая дана выше - можно как-то упростить, разбив на 2 части ?
Т.е. если тот интеграл (от функции $f: \mathbb R \to \mathbb C$ ) равен $0$,
то должны быть некие другие 2 эквивалентные функции из $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ,

для обоих интеграл будет равен $0$ ?

Я пока не имею навыков работы с комплекснозначными функциями, потому может быть, задаю слишком простые вопросы.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343009 писал(а):

Т.е. если тот интеграл (от функции $f: \mathbb R \to \mathbb C$ ) равен $0$,
то должны быть некие другие 2 эквивалентные функции из $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ,

для обоих интеграл будет равен $0$ ?

Собственно равенство нулю интеграла от комплексозначной функции равносильно одновременному равенству нулю интегралов от ее действительной и мнимой частей. Это очевидно, и само по себе вряд ли сильно поможет.

Skipper в сообщении #1343009 писал(а):

Я пока не имею навыков работы с комплекснозначными функциями, потому может быть, задаю слишком простые вопросы.

Тогда ИМХО стоит немного разобраться с основами комплана прежде чем лезть в гипотезу Римана (заодно можно понять, почему интересны именно нули, что это вообще за магическая функция и т.д.). Рекомендую Шабат, "Введение в комплексный анализ".

[Skipper]

Цитата:

Рекомендую Шабат, "Введение в комплексный анализ".

Спасибо. Изначально нужен учебник, который прост и понятен. А уже только потом можно и Титчмарша почитать :)

mihaild в сообщении #1343006 писал(а):

Упражнение: найти обратную к ней функцию

Я сначала вот что хочу понять. Рассмотрим функцию $f: \mathbb C \to \mathbb R $ .
Пусть её график - некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве , где по оси X , Y - значения вещественного и мнимого аргументов функции,
а по оси Z - значение функции.

Разобъем всё пространство некой плоскостью на две части, и пусть эта плоскость - параллельна плоскости с нулевым Z , и как то пересекается с нашим
"графиком" функции, который 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве.

Имеем в 3-мерном пространстве- пересечений двух 2-мерных поверхностей, одна из которых - простая плоскость.

Две 2-мерные поверхности, не могут в общем случае, пересекаться в одной точке. Подобно тому как две плоскости пересекаются по прямой,
наша плоскость с некой сложной 2-мерной поверхностью, очевидно, будет пересекаться по некому 1-мерному контуру ,
или другими словами говоря, по некой кривой линии.

Эта линия имеет бесконечное количество точек, а значит , функция, $f: \mathbb C \to \mathbb R $ может возвращать одно
действительное значение, по многим комплексным аргументам.

Обратная же к ней функция, $f: \mathbb R \to \mathbb C $ - по самому определению функции - должна для каждого действительного
аргумента - возвращать только одно комплексное значение.

Таким образом, тут обратная функция - не совсем "обратная" получается? Или я здесь что то неправильно понимаю.

[maximav]

По моему, он - Атья - просто, и как ни прискорбно, выживает из ума. Жуткую феноменологическую константу, которая к тому же не есть никакая не константа (бегущая константа связи, да еще и в математически патологическом объекте - path integral) тянет за уши в теорию некоторой абстрактной математической функции. Ему 't Hooft наверно совсем плохо объяснил, с чем едят лагранжианы КТП. Астрология/нумерология от филдсовского лауреата... ну и времена наступают.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343014 писал(а):

Пусть её график - некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве

Чтобы получилась поверхность - нужны дополнительные требования, в общем случае может получиться черти что вместо поверхности. Но можно считать, что они выполнены.

Skipper в сообщении #1343014 писал(а):

и пусть эта плоскость - параллельна плоскости с нулевым Z

Т.е. плоскость вида $z = z_0$?

Skipper в сообщении #1343014 писал(а):

Таким образом, обратная функция - не совсем "обратная" получается?

Тут проблема в том, что есть два понятия обратной функции (и я выше неаккуратно высказался). Можно назвать обратной $f$ функцию $g$, такую что $g \circ f$ - тождественная функция (давайте дальше такую функцию называть обратной слева). А можно - такую что и $g \circ f$ и $f \circ g$ тождественные (давайте дальше такую называть двусторонней обратной).
Для существования обратной слева достаточно инъективности (чтобы разным значениям аргумента соответствовали разные значения функции). Для существования двусторонней обратной необходимы и инъективность, и сюръективность (чтобы каждое возможно значение достигалось).

Для непрерывной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ вполне может существовать обратная слева, но не двусторонняя обратная (хотя и можно придумать непрерывную функцию, принимающую каждое значение, но она не будет инъективной).
Непрерывная функция $\mathbb{C} \to \mathbb{R}$ инъективной быть не может (ваше рассуждение "на пальцах" показывает именно это; более строго можно это показать исходя из того, что при выкидывании точки из прямой она перестает быть связной, а плоскость нет). Соответственно, к ней не может существовать ни левая, ни тем более двусторонняя обратная.

-- 01.10.2018, 16:40 --

(Оффтоп)

maximav в сообщении #1343016 писал(а):

Астрология/нумерология от филдсовского лауреата

А гомеопатия от нобелевского лауреата по медицине вас не смущает?

[Skipper]

mihaild в сообщении #1343017 писал(а):

Т.е. плоскость вида $z = z_0$?

Если это так обозначается, то да.

mihaild в сообщении #1343006 писал(а):

А кривая Пеано не существует.

Причем тут кривая Пеано? Меры множеств разные, потому 1-мерной линией нельзя заполнить плоскость?

Если рассмотреть функцию как дзета-функцию, с действительно частью именно $ 0.5 $ т.е.
от $(0.5 + it) $ , где $t$ - действительная переменная,
то можно видеть её график (ниже на рисунке).
Функция принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение.

График такой функции был бы - некая 1-мерная кривая в 3-мерном пространстве. Где 2 оси - выделены для комплексного значения функции,
и 1 ось - для действительного аргумента функции. На рисунке, можно представить, что мы наблюдаем график, с 3-й осью
направленной прямо по лучу нашего зрения. Реально это некая спираль в пространстве, типа штопора.

Рассмотрим это на плоскости как проекцию. По красной линии - получающиеся комплексные значения функции , при движении
вещественного аргумента функции от $ 0$ до бесконечности. Там где красная линия начинается, аргумент $t = 0$.

И рассмотрим другую функцию, как дзета-функцию, с действительно частью именно $ 0.6 $ т.е.
от $(0.6 + it) $ , где $t$ - действительная переменная,
(график будет некой другой красной линией на плоскости).

Вопрос - примет ли функция для какого то вещественного аргумента, фиксированное комплексное значение, к примеру,
$\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot e) i$

?



То что функция от от $(0.5 + it) $ , бесконечное количество раз попадает в $0$,
(доказано Харди в 1914 году) этому есть причина.

Но если нет никакой причины, то я могу привести т.н. "вероятностное доказательство", того что
обе функции, ни дзета от $(0.5 + it) $ , ни дзета от $(0.6 + it) $ , никогда в эту точку
$\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot e) i$ , на комплексной плоскости не попадают.

Итак, причины (каких то предпосылок), попадать в эту точку, явно нет.

Обе функции типа $f: \mathbb R \to \mathbb C $ , и ,
предположим от противного, нашелся такой вещественный аргумент $X$ ,
что мы получили значение функции - именно это комплексное число.

Тогда красная линия, описывает все получившиеся комплексные значения, при аргументе от $0$, до этого значения $X$ .
Закрасит она площать , равную нулю, (т.к. "толщина" этих линий равна нулю, и мера "закрашенного" множества равна нулю, если мера
какой то единицы плоскости равна $1$ ).

Значит, вероятность (при отсутствии предпосылок, в отличии от случая как в теореме Харди 1914 года) - попасть в произвольно
выбранную точку на плоскости, равна в точности нулю.

Это , я бы назвал типом "доказательство основанное на доказательстве отсутствия причин".
Потому возможно, более строгого доказательства утверждения
" функции дзета от $(0.5 + it) $ и $(0.6 + it) $ - не принимают значений $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot e) i$ "
- не существует. Но оно истинно.

А по той же причине, функция дзета от $(0.6 + it) $ - не содержит нулей, в отличии от функции дзета от $(0.5 + it) $ .
У неё нет на это каких-то причин, попадать в точку $0$ .

-- Вт окт 02, 2018 11:18:43 --

Ну и тогда очевидно что некая функция, дзета от $(r + it)$ - принимает таки значение $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot e) i$ ,
только в общем случае, это r - невычислимое вещественное число. (т.к. считается что невычислимых чисел в бесконечное количество
раз больше чем вычислимых).

[mihaild]

Skipper в сообщении #1343201 писал(а):

Причем тут кривая Пеано? Меры множеств разные, потому 1-мерной линией нельзя заполнить плоскость?

Меры каких множеств?
Кривой Пеано как раз можно заполнить плоскость. Точнее классической кривой Пеано, определенной на отрезке, можно заполнить скажем квадрат - плоскость заполнить не получится, т.к. она некомпактна. Но существует непрерывная сюръекция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$.

Про вероятности можно говорить только после введения вероятностного пространства, про "причины" вообще говорить нельзя.

Skipper в сообщении #1343201 писал(а):

Это , я бы назвал типом "доказательство основанное на доказательстве отсутствия причин".

Я бы, извините, назвал это в лучшем случае "полетом фантазии".
И даже в этом полете есть проблема: нас интересуют нули не на конкретной прямой, параллельной мнимой оси, а в полосе. А в полосе таких прямых много.
И те же самые рассуждения применимы вообще к любой функции, причем сразу на всей плоскости (полоса, плоскость - какая разница?). При этом хорошо известно, что аналитическая на всей плоскости функция (кроме константы) принимает все комплексные значения, за исключением максимум одного.

Skipper в сообщении #1343201 писал(а):

Ну и тогда очевидно что некая функция, дзета от $(r + it)$ - принимает таки значение $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot e) i$ , только в общем случае, это r - невычислимое вещественное число

Совершенно непонятно. Функция $f(r + it) = \sqrt{7} + 0.05 \pi e i$ принимает это значение при скажем вычислимом $r = 0$.

Skipper в сообщении #1343201 писал(а):

т.к. считается что невычислимых чисел в бесконечное количество раз больше чем вычислимых

Кем считается? И что это вообще значит?
(есть точное утверждение: вычислимых чисел счетно, невычислимых несчетно; но никаких "раз" тут нет)

Вообще, есть строгие результаты про то, каким может быть образ аналитической функции (про них можно сказать гораздо больше, чем просто про непрерывные) - та же теорема Пикара, например.
Я, похоже, зря посоветовал Шабата - начните с Рудина, "Основы математического анализа". Он ИМХО хорошо подходит и для получения общего представления о том, как должны выглядеть доказательства.
(это если вы хотите понять, как выглядят правильные и интересные рассуждения; если не хотите - думаю, вам будет комфортнее в свободном полете, чем в (М) разделах)

(Оффтоп)

Если вы уберете жирный шрифт и разрывы строк посредине фраз - читать станет сильно легче.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1343217 писал(а):

Совершенно непонятно. Функция $f(r + it) = \sqrt{7} + 0.05 \pi e i$ принимает это значение при скажем вычислимом $r = 0$.

Я имел в виду не произвольные функции, специально подобранные для этих целей, а к примеру, дзета функцию от определеннного аргумента $(r + it) $
r - заданная константа. Таким образом, функция принимает вещественное число как параметр, а возвращает комплексное.
И что, множество возможных значений функии - заполнит всю плоскость? Т.е. для каждоого комплексного числа, которое выводит функция, найдётся определенный вещественный аргумент t ?

-- Вт окт 02, 2018 14:36:58 --

mihaild в сообщении #1343217 писал(а):

И даже в этом полете есть проблема: нас интересуют нули не на конкретной прямой, параллельной мнимой оси, а в полосе. А в полосе таких прямых много.

Да, с этим согласен, что можно подобрать такое r , чтобы функция вернула нужное нам комплексное значение. ГР заключается в том, что r должно быть равно при этом только $0.5 $ если нужно вернуть 0