2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 42  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2018, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение30.09.2018, 10:04 


23/02/12
2008
shwedka в сообщении #1342386 писал(а):
Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

Спасибо за ссылку. Я бы сказал, что попытка, далеко выходящая за доказательство автора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение30.09.2018, 10:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
shwedka в сообщении #1342386 писал(а):
Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

(Оффтоп)

Оказывается, немецкие умлауты успешно прижились и в английском языке :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 13:14 


24/03/09
421
Минск
shwedka в сообщении #1342386 писал(а):
Интересная попытка придать некоторый смысл разговорам о функции Тодда и сопровождающим формулам
сделана в
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/ ... ahs-proof/



Какие перспективы у этой попытки? Может что то новое докажут (менее значимое чем ГР )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 13:22 


23/02/12
2008
Аргументы Атии в лучшем случае неполны. Очень маловероятно, что это доказательство ГР.
Я уже писал, что препринт не является формой представления результатов серьезной работы. Тем более он содержит ссылки на неопубликованные работы, которые не известны широкому кругу читателей. И действительно в докладе автор меняет доказательство и говорит о недоказанной в работе "выпуклости" критической полосы. Этот вопрос кстати подробно изучается в ссылке, предложенной shwedka. Естественно доклад также не является формой представления результатов такой работы. Это должна быть опубликованная статья, хотя бы в Архиве.
Мне кажется, что автор специально делает это. Он хочет собрать замечания, на различные варианты доказательства и потом попытаться их устранить. Если это попытка будет удачной, то он опубликуется. Если нет, то автор вообще не опубликует доказательство ГР.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 15:41 


24/03/09
421
Минск
Литтлвуд доказал ,
что разность функции $\pi(N)$ и интегрального логарифма - меняет знак бесконечное количество раз.
(в зависимости от растущего параметра).
Но первое число , больше которого начинаются т.н. "литтвудовы нарушения", очень большое (изначально оно называлось
"число Скьюза", потом было уменьшено). Т.е. до доказательства Литтвуда, некоторые считали, что т.к. неравенство
$\pi(N)  < Li(N) $ выполняется для всех известных чисел, то возможно, так оно всегда и происходит (для всех чисел).

Некоторые приводят этот аргумент, как факт в пользу того что и ГР может быть неверна.

Если рассмотреть дзета-функцию, как функцию от $(1/2) + it $ , где $t$ - действительная переменная,
то можно видеть её график. Функция принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение.

График такой функции был бы - некая 1-мерная кривая в 3-мерном пространстве. Где 2 оси - выделены для комплексного значения функции,
и 1 ось - для действительного аргумента функции. На рисунке, можно представить, что мы наблюдаем график, с 3-й осью
направленной прямо по лучу нашего зрения. Реально это некая спираль в пространстве, типа штопора.

Изображение

Эта проекция никогда не заполнит собой всю плоскость, т.к. площадь всех этих линий - нулевая (т.е. "толщина" равна нулю).
По какой то причине, этот график пройдёт бесконечное количество раз - через 0 (это доказал Харди в 1914 году),
но если взять функцию с действительной частью не равной $1/2$ , тогда график вообще не попадёт никогда в 0.
И уже проверено более 10 триллионов первых нулей.

Так что здесь более веские причины думать, что ГР всё таки скорее верна, чем были причины Литтлвуду полагать что $\pi(N)  < Li(N) $
не меняет знак.

Если же вы рассмотрим функцию, которая наоборот, принимает комплексный аргумент, но возвращает - действительное значение
тогда графиком была бы некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве.

Рассмотрим 2 функции -

1) функция принимает действительный аргумент, возвращает комплексное число,
2) функция принимает комплексный аргумент, возвращает действительное число,

Выходит что, эти функции не имеют своей обратной функции ? (следует из суждения выше, что графики разной "мощности" как бы ) -
в первом случае это кривая 1-мерная линия в пространстве, а во 2-м случае - поверхность 2-мерная в 3-мерном пространстве.

Возникает вопрос, как можно наглядно представить себе действительный интеграл от этих функций и связан ли он с комплексным?
Во 2-м случае это понятно - некий объем заключенный под этой поверхностью , т.е. между поверхностью и нулевой плоскостью .

А как можно наглядно представить себе что такое интеграл и как он выглядит для 1-й функции -
которая - принимает действительный аргумент, и возвращает комплексное число ?

Это могло бы помочь для получения идей, для нахождения доказательства ГР.

Я видел в одной лекции посвященной ГР, такое определение дзета-функции через несобственный интеграл -

Изображение

Здесь пределы инегрирования, для $x$ - принимают значения от $ 0$ до $+\infty$ ,
значит $x$ - действительное, а не комплексное (не смысла применять форулировку $+\infty$ для комплексных,
т.е. $+$ здесь лишний был бы) , но затем возводится в комлексную степень.

а потому значит, для нахождения чему равен интеграл, мы и должны рассматривать функции от действительного
аргумента, но которые возвращают комплексное число. (об этих функциях я выше и писал).

И как можно наглядно себе геометрически себе представить, что это за интеграл такой, как выглядит?
(аналогично, как для обычного интеграла от функций которые и принимают и возвращают действительное значение -
рисуют площадь под криволинейной трапецией ) .

Спасибо.

PS И надеюсь, я правильно понял, именно с этим одна из трудностей, почему не удаётся доказать ГР?
И какие еще есть причины, трудности нахождения этого доказательства?
Чтобы доказать, главное понять - что именно нам мешает , т.е. найти "камень преткновения".

-- Пн окт 01, 2018 14:43:55 --

Коротко - главный вопрос -
как можно представить себе интеграл от функции которая принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение ?

Геометрическим (каким-либо) образом. Тогда будет понятно, в каких случаях этот интеграл обращается в $0$.
И второе - есть ли возможность, свести этот интеграл к некоторому эквивалентному интегралу, от фунции которая
возвращает тоже действительное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3660
Москва
Skipper в сообщении #1343005 писал(а):
Эта проекция никогда не заполнит собой всю плоскость, т.к. площадь всех этих линий - нулевая (т.е. "толщина" равна нулю).
А кривая Пеано не существует.
Skipper в сообщении #1343005 писал(а):
1) функция принимает действительный аргумент, возвращает комплексное число,
2) функция принимает комплексный аргумент, возвращает действительное число,

Выходит что, эти функции не имеют своей обратной функции ?
Рассмотрим функцию $f: \mathbb R \to \mathbb C$, $f(x) = x + i \sin(x)$. Упражнение: найти обратную к ней функцию $g: \mathbb C \to \mathbb R$.
Skipper в сообщении #1343005 писал(а):
как можно представить себе интеграл от функции которая принимает действительный аргумент, а возвращает комплексный ?
Например отдельно интегралы от действительной и мнимой части. Ну и собственно в определении через интегральные суммы совершенно неважно, из какого множества значения функции, лишь бы нормированное векторное пространство было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 16:01 


24/03/09
421
Минск
mihaild в сообщении #1343006 писал(а):
Например отдельно интегралы от действительной и мнимой части. Ну и собственно в определении через интегральные суммы совершенно неважно, из какого множества значения функции, лишь бы нормированное векторное пространство было.


Может быть , и эту формулировку гипотезы Римана , которая дана выше - можно как-то упростить, разбив на 2 части ?
Т.е. если тот интеграл (от функции $f: \mathbb R \to \mathbb C$ ) равен $0$,
то должны быть некие другие 2 эквивалентные функции из $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ,

для обоих интеграл будет равен $0$ ?

Я пока не имею навыков работы с комплекснозначными функциями, потому может быть, задаю слишком простые вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3660
Москва
Skipper в сообщении #1343009 писал(а):
Т.е. если тот интеграл (от функции $f: \mathbb R \to \mathbb C$ ) равен $0$,
то должны быть некие другие 2 эквивалентные функции из $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ,

для обоих интеграл будет равен $0$ ?
Собственно равенство нулю интеграла от комплексозначной функции равносильно одновременному равенству нулю интегралов от ее действительной и мнимой частей. Это очевидно, и само по себе вряд ли сильно поможет.
Skipper в сообщении #1343009 писал(а):
Я пока не имею навыков работы с комплекснозначными функциями, потому может быть, задаю слишком простые вопросы.
Тогда ИМХО стоит немного разобраться с основами комплана прежде чем лезть в гипотезу Римана (заодно можно понять, почему интересны именно нули, что это вообще за магическая функция и т.д.). Рекомендую Шабат, "Введение в комплексный анализ".

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 16:23 


24/03/09
421
Минск
Цитата:
Рекомендую Шабат, "Введение в комплексный анализ".


Спасибо. Изначально нужен учебник, который прост и понятен. А уже только потом можно и Титчмарша почитать :)

mihaild в сообщении #1343006 писал(а):
Упражнение: найти обратную к ней функцию


Я сначала вот что хочу понять. Рассмотрим функцию $f: \mathbb C \to \mathbb  R $ .
Пусть её график - некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве , где по оси X , Y - значения вещественного и мнимого аргументов функции,
а по оси Z - значение функции.

Разобъем всё пространство некой плоскостью на две части, и пусть эта плоскость - параллельна плоскости с нулевым Z , и как то пересекается с нашим
"графиком" функции, который 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве.

Имеем в 3-мерном пространстве- пересечений двух 2-мерных поверхностей, одна из которых - простая плоскость.

Две 2-мерные поверхности, не могут в общем случае, пересекаться в одной точке. Подобно тому как две плоскости пересекаются по прямой,
наша плоскость с некой сложной 2-мерной поверхностью, очевидно, будет пересекаться по некому 1-мерному контуру ,
или другими словами говоря, по некой кривой линии.

Эта линия имеет бесконечное количество точек, а значит , функция, $f: \mathbb C \to \mathbb  R $ может возвращать одно
действительное значение, по многим комплексным аргументам.

Обратная же к ней функция, $f: \mathbb R \to \mathbb  C $ - по самому определению функции - должна для каждого действительного
аргумента - возвращать только одно комплексное значение.

Таким образом, тут обратная функция - не совсем "обратная" получается? Или я здесь что то неправильно понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 16:39 


19/03/15
252
По моему, он - Атья - просто, и как ни прискорбно, выживает из ума. Жуткую феноменологическую константу, которая к тому же не есть никакая не константа (бегущая константа связи, да еще и в математически патологическом объекте - path integral) тянет за уши в теорию некоторой абстрактной математической функции. Ему 't Hooft наверно совсем плохо объяснил, с чем едят лагранжианы КТП. Астрология/нумерология от филдсовского лауреата... ну и времена наступают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение01.10.2018, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3660
Москва
Skipper в сообщении #1343014 писал(а):
Пусть её график - некая 2-мерная поверхность в 3-мерном пространстве
Чтобы получилась поверхность - нужны дополнительные требования, в общем случае может получиться черти что вместо поверхности. Но можно считать, что они выполнены.
Skipper в сообщении #1343014 писал(а):
и пусть эта плоскость - параллельна плоскости с нулевым Z
Т.е. плоскость вида $z = z_0$?

Skipper в сообщении #1343014 писал(а):
Таким образом, обратная функция - не совсем "обратная" получается?
Тут проблема в том, что есть два понятия обратной функции (и я выше неаккуратно высказался). Можно назвать обратной $f$ функцию $g$, такую что $g \circ f$ - тождественная функция (давайте дальше такую функцию называть обратной слева). А можно - такую что и $g \circ f$ и $f \circ g$ тождественные (давайте дальше такую называть двусторонней обратной).
Для существования обратной слева достаточно инъективности (чтобы разным значениям аргумента соответствовали разные значения функции). Для существования двусторонней обратной необходимы и инъективность, и сюръективность (чтобы каждое возможно значение достигалось).

Для непрерывной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ вполне может существовать обратная слева, но не двусторонняя обратная (хотя и можно придумать непрерывную функцию, принимающую каждое значение, но она не будет инъективной).
Непрерывная функция $\mathbb{C} \to \mathbb{R}$ инъективной быть не может (ваше рассуждение "на пальцах" показывает именно это; более строго можно это показать исходя из того, что при выкидывании точки из прямой она перестает быть связной, а плоскость нет). Соответственно, к ней не может существовать ни левая, ни тем более двусторонняя обратная.

-- 01.10.2018, 16:40 --

(Оффтоп)

maximav в сообщении #1343016 писал(а):
Астрология/нумерология от филдсовского лауреата
А гомеопатия от нобелевского лауреата по медицине вас не смущает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение02.10.2018, 12:01 


24/03/09
421
Минск
mihaild в сообщении #1343017 писал(а):
Т.е. плоскость вида $z = z_0$?


Если это так обозначается, то да.

mihaild в сообщении #1343006 писал(а):
А кривая Пеано не существует.


Причем тут кривая Пеано? Меры множеств разные, потому 1-мерной линией нельзя заполнить плоскость?

Если рассмотреть функцию как дзета-функцию, с действительно частью именно $ 0.5 $ т.е.
от $(0.5  + it) $ , где $t$ - действительная переменная,
то можно видеть её график (ниже на рисунке).
Функция принимает действительный аргумент, а возвращает комплексное значение.

График такой функции был бы - некая 1-мерная кривая в 3-мерном пространстве. Где 2 оси - выделены для комплексного значения функции,
и 1 ось - для действительного аргумента функции. На рисунке, можно представить, что мы наблюдаем график, с 3-й осью
направленной прямо по лучу нашего зрения. Реально это некая спираль в пространстве, типа штопора.


Рассмотрим это на плоскости как проекцию. По красной линии - получающиеся комплексные значения функции , при движении
вещественного аргумента функции от $ 0$ до бесконечности. Там где красная линия начинается, аргумент $t = 0$.

И рассмотрим другую функцию, как дзета-функцию, с действительно частью именно $ 0.6 $ т.е.
от $(0.6   + it) $ , где $t$ - действительная переменная,
(график будет некой другой красной линией на плоскости).

Вопрос - примет ли функция для какого то вещественного аргумента, фиксированное комплексное значение, к примеру,
$\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot  e) i$

?

Изображение

То что функция от от $(0.5  + it) $ , бесконечное количество раз попадает в $0$,
(доказано Харди в 1914 году) этому есть причина.

Но если нет никакой причины, то я могу привести т.н. "вероятностное доказательство", того что
обе функции, ни дзета от $(0.5  + it) $ , ни дзета от $(0.6   + it) $ , никогда в эту точку
$\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot  e) i$ , на комплексной плоскости не попадают.

Итак, причины (каких то предпосылок), попадать в эту точку, явно нет.

Обе функции типа $f: \mathbb R \to \mathbb  C $ , и ,
предположим от противного, нашелся такой вещественный аргумент $X$ ,
что мы получили значение функции - именно это комплексное число.

Тогда красная линия, описывает все получившиеся комплексные значения, при аргументе от $0$, до этого значения $X$ .
Закрасит она площать , равную нулю, (т.к. "толщина" этих линий равна нулю, и мера "закрашенного" множества равна нулю, если мера
какой то единицы плоскости равна $1$ ).

Значит, вероятность (при отсутствии предпосылок, в отличии от случая как в теореме Харди 1914 года) - попасть в произвольно
выбранную точку на плоскости, равна в точности нулю.

Это , я бы назвал типом "доказательство основанное на доказательстве отсутствия причин".
Потому возможно, более строгого доказательства утверждения
" функции дзета от $(0.5  + it) $ и $(0.6  + it) $ - не принимают значений $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot  e) i$ "
- не существует. Но оно истинно.

А по той же причине, функция дзета от $(0.6  + it) $ - не содержит нулей, в отличии от функции дзета от $(0.5  + it) $ .
У неё нет на это каких-то причин, попадать в точку $0$ .

-- Вт окт 02, 2018 11:18:43 --

Ну и тогда очевидно что некая функция, дзета от $(r + it)$ - принимает таки значение $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot  e) i$ ,
только в общем случае, это r - невычислимое вещественное число. (т.к. считается что невычислимых чисел в бесконечное количество
раз больше чем вычислимых).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение02.10.2018, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3660
Москва
Skipper в сообщении #1343201 писал(а):
Причем тут кривая Пеано? Меры множеств разные, потому 1-мерной линией нельзя заполнить плоскость?
Меры каких множеств?
Кривой Пеано как раз можно заполнить плоскость. Точнее классической кривой Пеано, определенной на отрезке, можно заполнить скажем квадрат - плоскость заполнить не получится, т.к. она некомпактна. Но существует непрерывная сюръекция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$.

Про вероятности можно говорить только после введения вероятностного пространства, про "причины" вообще говорить нельзя.
Skipper в сообщении #1343201 писал(а):
Это , я бы назвал типом "доказательство основанное на доказательстве отсутствия причин".
Я бы, извините, назвал это в лучшем случае "полетом фантазии".
И даже в этом полете есть проблема: нас интересуют нули не на конкретной прямой, параллельной мнимой оси, а в полосе. А в полосе таких прямых много.
И те же самые рассуждения применимы вообще к любой функции, причем сразу на всей плоскости (полоса, плоскость - какая разница?). При этом хорошо известно, что аналитическая на всей плоскости функция (кроме константы) принимает все комплексные значения, за исключением максимум одного.
Skipper в сообщении #1343201 писал(а):
Ну и тогда очевидно что некая функция, дзета от $(r + it)$ - принимает таки значение $\sqrt{7} + (0.05 \pi \cdot  e) i$ , только в общем случае, это r - невычислимое вещественное число
Совершенно непонятно. Функция $f(r + it) = \sqrt{7} + 0.05 \pi e i$ принимает это значение при скажем вычислимом $r = 0$.
Skipper в сообщении #1343201 писал(а):
т.к. считается что невычислимых чисел в бесконечное количество раз больше чем вычислимых
Кем считается? И что это вообще значит?
(есть точное утверждение: вычислимых чисел счетно, невычислимых несчетно; но никаких "раз" тут нет)

Вообще, есть строгие результаты про то, каким может быть образ аналитической функции (про них можно сказать гораздо больше, чем просто про непрерывные) - та же теорема Пикара, например.
Я, похоже, зря посоветовал Шабата - начните с Рудина, "Основы математического анализа". Он ИМХО хорошо подходит и для получения общего представления о том, как должны выглядеть доказательства.
(это если вы хотите понять, как выглядят правильные и интересные рассуждения; если не хотите - думаю, вам будет комфортнее в свободном полете, чем в (М) разделах)

(Оффтоп)

Если вы уберете жирный шрифт и разрывы строк посредине фраз - читать станет сильно легче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение02.10.2018, 15:27 


24/03/09
421
Минск
mihaild в сообщении #1343217 писал(а):
Совершенно непонятно. Функция $f(r + it) = \sqrt{7} + 0.05 \pi e i$ принимает это значение при скажем вычислимом $r = 0$.


Я имел в виду не произвольные функции, специально подобранные для этих целей, а к примеру, дзета функцию от определеннного аргумента $(r + it) $
r - заданная константа. Таким образом, функция принимает вещественное число как параметр, а возвращает комплексное.
И что, множество возможных значений функии - заполнит всю плоскость? Т.е. для каждоого комплексного числа, которое выводит функция, найдётся определенный вещественный аргумент t ?

-- Вт окт 02, 2018 14:36:58 --

mihaild в сообщении #1343217 писал(а):
И даже в этом полете есть проблема: нас интересуют нули не на конкретной прямой, параллельной мнимой оси, а в полосе. А в полосе таких прямых много.


Да, с этим согласен, что можно подобрать такое r , чтобы функция вернула нужное нам комплексное значение. ГР заключается в том, что r должно быть равно при этом только $0.5  $ если нужно вернуть 0

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 630 ]  На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 42  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group