Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[Munin]

irod в сообщении #1296040 писал(а):

Например, много раз раскладывал сложные функции в ряд Тейлора и получал верный ответ, при этом я понятия не имею откуда вообще взялся этот самый ряд Тейлора, почему мы можем в него что-то раскладывать и все такое.

Это известное место. Здесь, на самом деле, ясности и не будет. В анализе действительной переменной, здесь "ссылка вперёд", и ясность наступает только в ТФКП - в теории функции комплексной переменной. Там рассказывается, что такое радиус сходимости ряда, какие ряды где сходятся, и станет ясно, почему в них можно раскладывать (и какие функции).

[пианист]

Почему именно ТФКП?
Производная -> идея локального линейного приближения к функции (дифференциал) -> задача увеличения точности -> квадратичное приближение -> etc.
По моему, довольно ясная идеология.

[vpb]

Munin в сообщении #1296183 писал(а):

Это известное место. Здесь, на самом деле, ясности и не будет. В анализе действительной переменной, здесь "ссылка вперёд", и ясность наступает только в ТФКП - в теории функции комплексной переменной. Там рассказывается, что такое радиус сходимости ряда, какие ряды где сходятся, и станет ясно, почему в них можно раскладывать (и какие функции).

Не так страшен черт, то бишь ряд Тейлора, как его малюют. БОльшая часть учения о рядах Тейлора входит в обычный матан. Но полная ясность действительно наступает только в ТФКП. Однако до таких продвинутых аспектов ТС пока как до Луны (и он очевидно не их имел в виду). И вспомним, что степенные ряды появились до ТФКП лет за 150--200.

[eugensk]

vpb в сообщении #1296231 писал(а):

Однако до таких продвинутых аспектов ТС пока как до Луны

Cтрого и очень-очень понятно этот путь (до Луны) проложен здесь: Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций https://www.twirpx.com/file/805810/
всего-ничего первые ~100 страниц, они лёгкие. Начинаются с определения комплексного числа, т.е. предполагается знание каких-то начальных определений и теорем из вещественного анализа, и ничего больше. Школьнику вполне по силам.

[irod]

Munin в сообщении #1296183 писал(а):

Это известное место. Здесь, на самом деле, ясности и не будет. В анализе действительной переменной, здесь "ссылка вперёд", и ясность наступает только в ТФКП - в теории функции комплексной переменной. Там рассказывается, что такое радиус сходимости ряда, какие ряды где сходятся, и станет ясно, почему в них можно раскладывать (и какие функции).

Сноска с таким объяснением в учебнике меня бы устроила. Но я сейчас впервые от Вас это услышал.

-- 12.03.2018, 12:08 --

Над сходимостью ряда квадратов еще думаю, пока ничего хорошего не придумал. Специально не подглядываю в признаки сходимости рядов в учебники, пытаюсь решить без всей этой теории.
Зельдовича тоже продолжаю читать, сейчас читаю про определенный интеграл. Книга очень нравится. Несмотря на то, что в целом читаю известные мне вещи, там полно полезных для меня деталей.

[Munin]

Такие вещи частенько не пишут в учебниках, а передают изустно на лекциях и семинарах как комментарий к материалу.

Кроме того, обратите внимание на ценные замечания пианист, vpb, eugensk.

[irod]

vpb в сообщении #1295973 писал(а):

Позже, тоже в школе еще, читал Фихтенгольца, достаточно основательно (правда, понятия об основательности чтения у меня тогда были совсем не те, что сейчас...).

Интересный кстати вопрос - как читать (математические книги) основательно, в Вашем понимании?

[Munin]

Хоть вопрос задан и не мне.
Физико-математическая книга прочтена основательно, если вы можете воспроизвести доказательство (хотя бы основную идею), если вы можете повторить выкладки - и уж если в книге какие-то выкладки опущены, вы их проделали сами - и если вы проделали упражнения в тексте, и можете решать другие задачи по этому тексту.

[vpb]

irod в сообщении #1296932 писал(а):

Над сходимостью ряда квадратов еще думаю, пока ничего хорошего не придумал. Специально не подглядываю в признаки сходимости рядов в учебники, пытаюсь решить без всей этой теории

Ну и правильно, что не подглядываете. Там простое рассуждение. Сделаю небольшую подсказку: рассуждение похоже на таковое для гармонического ряда, но несколько другое.

irod в сообщении #1296932 писал(а):

Зельдовича тоже продолжаю читать, сейчас читаю про определенный интеграл. Книга очень нравится. Несмотря на то, что в целом читаю известные мне вещи, там полно полезных для меня деталей

Хорошо, продолжайте.

irod в сообщении #1297000 писал(а):

Интересный кстати вопрос - как читать (математические книги) основательно, в Вашем понимании?

Примерно так, как писал Munin. В общих словах: основательно --- значит, не кое-как, не поверхностно. Но это не значит, вообще говоря, всё полностью и сверхтщательно. В целом, это читающий сам для себя интуитивно решает, достаточно он уже поработал с книжкой (или с каким-то определенным местом в книжке), или нет. Изучение книжек --- это, вообще говоря, процесс достаточно фрактально-хаотический. С год назад в разделе "Вопросы преподавания" была тема «Маленькие личные методические открытия», вот я там кое-что написал о том, как правильно читать книжки (правда, не все мысли, которые были, дописал). Можете почитать.

[eugensk]

vpb в сообщении #1297135 писал(а):

Изучение книжек --- это, вообще говоря, процесс достаточно фрактально-хаотический

Не знаю, может лучше всегда заканчивать начатые книги? Когда полполки "в разработке", лично у меня возникает чувство смятения. Но это может только у меня.

[vpb]

eugensk в сообщении #1297139 писал(а):

Не знаю, может лучше всегда заканчивать начатые книги? Когда полполки "в разработке", лично у меня возникает чувство смятения. Но это может только у меня.

О, это сложный вопрос. Точно могу сказать одно: это не всегда лучше.

[Munin]

eugensk в сообщении #1297139 писал(а):

Не знаю, может лучше всегда заканчивать начатые книги?

В художественной книге в конце наступает развязка, и её стоит прочитать.

Книги научные, ну скажем, физико-математические учебники, построены иначе. Обычно цельностью и самостоятельной ценностью обладает глава или часть книги. То есть, вы что-то почерпнёте, даже если остановитесь после конца какой-то главы. Однако начать читать книгу в любом месте не получится: глава опирается на предыдущие главы (а иногда - и на предыдущие тома).

Большинство книг построено примерно так: около половины книги составляет последовательное построение какой-то "базовой темы", и эти несколько глав надо читать последовательно и вместе. Не дочитать эту часть - принесёт мало пользы, но если вы её дочитаете - то уже получите ценное знание. Дальше идёт несколько "развитий темы", независимых углублений в те или иные вопросы. Их можно читать вообще в разном порядке. И если какое-то вам не интересно - не читать.

"Большинство" не значит "подавляющее большинство". Встречаются книги и другой структуры. Скажу про два отклонения:
- Вся книга может быть посвящена какой-то цельной теме. "Развитий темы" нет. Такую книгу действительно стоит дочитать до конца. Но примеров таких книг очень мало, мне навскидку вспоминается только одна:
Спивак. Математический анализ на многообразиях.
вся посвящённая построению обобщённой теоремы Стокса.
- Наоборот, книга может быть почти лишена "базовой темы", а состоять из мало связанных (но всё-таки связанных) и (почти) независимых кусочков, дающих какой-то "инструментарий", "набор экскурсов" или перечисление каких-то малых тем, не заслуживающих каждая отдельной книги. Например, приближением к такому состоянию выглядят некоторые учебники аналитической геометрии. В таких книгах можно и заканчивать чтение почти в любом месте, и начинать почти в любом.

Кроме того, довольно много книг написано по учебным курсам, или построено для использования в качестве таковых, а значит, настроено на параллельное и очень быстрое использование первых же изложенных результатов - параллельными курсами. Отсюда возникает суетливость и непоследовательность изложения, какие-то темы "забегают вперёд", какие-то - даются в несколько приёмов: сначала "быстро и грязно", а потом уже "основательно и аккуратно". В таких книгах можно читать главы не совсем по порядку: что-то пропускать, что-то "читать пунктиром", что-то - в несколько проходов.

-- 13.03.2018 14:57:49 --

eugensk
Вы привели хорошую цитату. Жаль, что удалили.

Интересно то, что в отношении физмат-литературы бывают ценны оба упомянутых в ней подхода.

[eugensk]

Munin Недолго вернуть

Гуревич НФ 19 писал(а):

Они были почти современниками с Аникеевым - Жером моложе на восемь лет. Оба жадные читатели, но какая разница в чтении! Для Аникеева книга - светоч жизни, книга - отрада, книга - родник в пустыне. Он пьет знания восторженно и благоговейно, ищет книги, бережет, перечитывает по многу раз, обдумывает каждую строчку. Для Аникеева книга - драгоценный оазис в пыльной пустыне жизни. Жером живет в иных условиях. Он библиотекарь в университете. Вокруг море книг, и главное - не захлебнуться, не наглотаться воды. И Жером умеет плавать в море, умеет дегустировать книгу, не читая, выловить суть, даже понять, что читать не стоит.
Не жаждущий, а гурман.

(Оффтоп)

Эта книга была у меня в детстве, запомнилась именно этой цитатой. Забавно.

[irod]

На днях я уезжаю на пару недель, у меня не будет возможности заниматься математикой и даже не будет доступа к интернету. Хочу написать накопившиеся мысли напоследок.

Про ряд обратных квадратов. У меня не получается его решить, и наверное до моего отъезда уже не получится. Жалко, мне кажется это несложная задача, и будь больше времени, я бы в конце концов решил ее, я уверен.

Про Зельдовича.

vpb в сообщении #1297135 писал(а):

Хорошо, продолжайте.

Продолжаю, надеюсь получится в ближайшие дни до отъезда добить часть II. Есть небольшие трудности, например я пока не понимаю как нарисовать график производной по данному графику функции.
Кстати, мне очень понравились вот эти рассуждения (и очень обидно, что я сам не догадался):

vpb в сообщении #1295865 писал(а):

6) Про площадь круга такое рассуждение. Разрежем круг на тонкие концентрические кольца. Понятно, что площадь кольца --- это примерно его длина (длина окружности) на толщину. Разрежем все кольца, распрямим, сложим стопочкой друг на друга, и выровняем по краю. Получится прямоугольный треугольник, у которого одна сторона (основание) $2\pi r$, а второй катет (высота) $r$. Отсюда площадь сами понимаете какая.

Про шар. Режем его тонкими горизонтальными слоями одинаковой толщины, считаем площадь каждого слоя, умножаем на толщину, суммируем. Получается, что надо вычислить, примерно, сумму $\sum_{k=1}^{k=N} (N^2-k^2)$ при больших $N$ (как сумму считают, знаете?). Умножаем на соответствующий коэффициент, переходим к пределу. Получаем что надо. Потом для нахождения площади сферы рассматриваем тонкий шаровой слой, находим его объем,
делим на толщину, опять к пределу переходим.

Я чувствую, что именно этого мне не хватает - понимания как применять пределы, производные и интегралы к решению подобных задач. Кажется, Зельдович как раз про это.

irod в сообщении #1297000 писал(а):

Интересный кстати вопрос - как читать (математические книги) основательно, в Вашем понимании?

Munin в сообщении #1297010 писал(а):

Хоть вопрос задан и не мне.
Физико-математическая книга прочтена основательно, если вы можете воспроизвести доказательство (хотя бы основную идею), если вы можете повторить выкладки - и уж если в книге какие-то выкладки опущены, вы их проделали сами - и если вы проделали упражнения в тексте, и можете решать другие задачи по этому тексту.

vpb в сообщении #1297135 писал(а):

Примерно так, как писал Munin.

Это совпадает с моими собственными мыслями. Именно так я и читаю (тут больше подходит слово "прорабатываю") Зельдовича сейчас.

vpb в сообщении #1297135 писал(а):

С год назад в разделе "Вопросы преподавания" была тема «Маленькие личные методические открытия», вот я там кое-что написал о том, как правильно читать книжки (правда, не все мысли, которые были, дописал). Можете почитать.

Я уже читал ту тему, внимательно и с большим интересом.

Про ряд Тейлора.

Munin в сообщении #1296934 писал(а):

Кроме того, обратите внимание на ценные замечания пианист, vpb, eugensk.

Я конечно же обратил. Но не очень хочется бросаться читать разные предложенные книги ради одной этой темы - ряда Тейлора. Хочется соблюсти системность и двигаться последовательно. Если уж под конец останутся вопросы, то буду прорабатывать каждый отдельно. Мне кажется в моем случае это верный подход, как считаете?

-- 15.03.2018, 13:09 --

Напишу сейчас свои попытки с рядом обратных квадратов в это сообщение.

[irod]

Пробовал вычислить абсолютную разность между соседними членами:

$$ \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2k+1}{k^4+2k^3+k^2}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^4}}{1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1}=0. $$

Вроде бы, ага, вот оно, но у предыдущего - расходящегося - ряда та же история:

$$ \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k}{k^2+k}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=0. $$

-- 15.03.2018, 13:20 --

Пробовал вычислить предел отношения соседних членов $\frac{(k+1)^2}{k^2}$, он равен единице. Ну отлично, очень полезное знание..
Пробовал сравнивать с убывающими геометрическими прогрессиями, например с $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^k}+\ldots$, но подобные прогрессии всегда оказывались меньше нашего ряда, ведь $\frac{1}{k^2}>\frac{1}{2^k}$. С рядом обратных факториалов, который есть число $e$ - аналогично, $k!$ растет сильно быстрее, чем $k^2$.