У меня была небольшая дискуссия с одним из ЗУ в ЛС. Содержание её я описывать не буду, но в итоге он высказал пожелание, чтобы я выложил свои соображения в теме. Это я пишу к тому, чтобы Вы не подумали, что я тут пишу невесть с чего и невесть о чем.
Вот кое-что из моего личного опыта изучения матана. Я с детства много читал, и в частности про математику, почему-то она меня всегда привлекала. Еще в 5 классе читал "Детскую энциклопедию". Узнал оттуда много интересного,
например про Архимеда , про простые числа, про Кеплера и "Новую стереометрию винных бочек", и разное другое. В 6 классе читал упомянутую книжку Зельдовича, узнал, что такое дифференцирование-интегрирование, ну и самой
технике немного научился. Еще в школе меня очень интресовали всякие задачи про простые числа. Думал, как бы решить проблему Гольдбаха. Стал читать всякие книжки в этом направлении. Позже, тоже в школе еще, читал Фихтенгольца, достаточно основательно (правда, понятия об основательности чтения у меня тогда были совсем не те, что сейчас...). Потом наконец поступил в университет, там были Камынин и Демидович, а позже Рудин (а в Зорича, так сложилось, только изредка заглядывал).
Теперь посмотрим, как развивался матан, и некоторые связанные понятия, исторически. Еще Архимед умел находить площадь сегмента параболы и объем шара. Ньютон, Лейбниц, Бернулли и др. решали более сложные задачи, создали исчисление. При этом не задумывались об обосновании и строгости. Коши стал обосновывать строго, через эпсилон-дельта. Позже Дедекинд (а также Кантор, и еще один французский математик, ныне, увы, забытый; не помню его фамилию) обосновали понятие вещественного числа. Еще позже появились теоретико-множественные концепции, понятие мощности, и теоретико-множественный язык.
Таким образом, можно заметить, что мое индивидуальное развитие шло, в известной степени, в том же порядке,
как и историческое развитие матанализа. Формулу
я узнал
(из Колмогорова-Фомина) лишь после чтения Фихтенгольца.
Скажем, понятие вещественного числа. В школе я его воспринимал как длину отрезка, записывающуюся бесконечной десятичной дробью; потом познакомился с теорией дедекиндовых сечений, а также с построением действительных чисел как (классов) фундаментальных последовательностей рациональных чисел; в Камынине прочитал определение
как полного упорядоченного архимедова поля. Однако отметим вот что. Рациональные числа я всегда воспринимал как данность, с которой всё ясно. Теория дедекиндовых сечений воспринималась как нечто нетривиальное и содержательное. А пляски вокруг полного упорядоченного поля я вообще никогда не воспринимал, для меня это нечто бессмысленное, когда "строго доказывают", что
не ограничено сверху в
. (Как этот когнитивный диссонанс в универе разрешился, я не помню. Подозреваю, что Камынин эти вопросы даже не выносил на экзамен. Тут у меня в памяти белое пятно/черная дыра.) Это имеет смысл разве тогда, когда берутся всю математику строить строго формально, отправляясь от ZFC. Но такими-то вещами я не интересовался вообще
никогда. А то люди погружаются в "основания" и так и не делают ничего конкретного. "Вечно фундамент и никогда собор".
Опять же, я узнал, что такое поле, уже тогда, когда хорошо знал и про рациональные числа, и про вещественные,
и про комплексные. Оно, допустим, вводится в книжке Постникова "Теорема Ферма", и сразу же пример: поля
деления круга.
В изложении любого предмета (учебного) присутствуют, в разных пропорциях, две вещи: понятность и научность.
Что для них характерно? Понятность ориентирована на конкретного человека, в пределе туповатого, а научность --- на абстрактное знание, в пределе --- формальную запись, проверяемую компьютером. Понятность --- идут от частного к общему, научность --- от общего к частному. Научность --- новые понятия даются определениями, понятность --- даются в примерах. Понятность --- история, мотивировки, обсуждения, отступления. Научность --- аксиомы, всё строго
последовательно, без отступлений и забеганий вперед. Понятность --- одно и то же несколько раз в разные моменты повторяется разными словами, явно или неявно, ибо повторение --- мать учения. Научность --- определение один раз дано, или факт сформулирован и доказан, и считается что он уже твердо усвоен читателем, больше о нем не вспоминают. (Где в Бурбаках найдете фразу "напомним, что..." ?) Научность --- предмет излагается сразу широким
охватом и на вырост: если про непрерывность параграф, значит, запихаем в него все частные сведения про непрерывность, которые в дальнейшем понадобятся. Понятность --- излагается только то, что конкретно нужно в данный момент. И др.
Отмечу, что нельзя просто противопоставлять понятность и научность. Понятность нужна на ранних стадиях развития человека (или освоения им некоторой области), научность --- позже. Ибо понятность --- факты, их масса, а научность
--- порядок, чтоб факты не путались, чтоб среди них было легче ориентироваться.
Теперь посмотрим на матанализ "по Давидовичу". Сначала множества и общие свойства их отображений, потом мощность, потом абстрактное понятие поля, потом упорядоченное поле и действительные числа, потом десятичные дроби, потом пределы. Короче, в порядке, практически противоположном естественному историческому. Все с ног на голову поставлено. Объяснений никаких нет. Результат налицо.
Вывод такой. Если Вас вдруг смутит "ненаучность" и "примитивность" Зельдовича --- не смущайтесь.
И еще. Я воспринимаю математику единой и в предмете своем, и во времени. У меня как-то в голове теория категорий (кстати, термин "теория категорий" --- несколько условный, такой области в общем-то и нет почти) и вычислительная математика не противопоставляются, так же как и математика 20 века и 18 века. Я, скажем, слово "дифференциал"
воспринимаю то как отображение касательных пространств, то как бесконечно малое приращение (а вот понятие дифференциала по Фихтенгольцу и многим другим книжкам переварить не могу). А вот у многих в головах одно с другим не уживается.
И еще кое-что про матан. Коллега
Munin спрашивал, в каком смысле не понимая смысла? Ну, это то легко объяснить (хотя я, конечно, не знаю точно, что ТС имел в виду, но могу предполагать). Преподаватели наверняка знают, что клиент может успешно дифференцировать сложную функцию, применяя цепное правило, но при этом не только не уметь строго доказывать законность этого действия, но не понимая его происхождения даже на пальцах, на уровне 17 века. Дифференцировать-то может и компьютер!
Уместно такое замечание: полезно осознавать, что матан (как и многое другое) делится на три части: (а) понимание смысла, (б) строгое обоснование, и (в) техника вычислений. Соответственно, (а)Зельдович (и отчасти некоторые школьные учебники, но там хуже), (б) Фихтенгольц/Камынин/Зорич/Решетняк, и (в) Демидович (тсказать, три источника и три составные части... Правда, ТС наверное не знает, что сей мем значит). Впрочем, такое соотнесение
книг и познавательных аспектов матана довольно условное.
-- 08.03.2018, 08:08 --Теперь посмотрим: какой матан Вам нужен в ШАДе ? Более всего понимание, и лишь в очень умеренных количествах --- строгое обоснование и техника вычислений. Короче, на уровне первой половины 18 века (если не 17-го вообще...).
Не знаю, как для самой учебы (если поступите), а для вступительных экзаменов точно.