Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[irod]

Мне тут в личку подсказали, где у меня квадрат $r$ потерялся при вычислении интеграла:

irod в сообщении #1295702 писал(а):

Тогда $dx=r\cos\theta d\theta$. Далее,

$$ \int\limits^r_{-r}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int\limits^r_{x=-r}\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cos\theta d\theta= r\int\limits^r_{x=-r}\cos^2\theta d\theta. $$

- в первом знаке равенства.

-- 07.03.2018, 11:22 --

Yuri Gendelman в сообщении #1295755 писал(а):

пианист в сообщении #1295737 писал(а):

Так почему бы по этому списку и не готовиться? Для чего усложнять?

Еще древние греки знали: "В науке нет царской дороги".
Но ... хочется же!!!... А вдруг уже есть?...

Никакую царскую дорогу я не ищу. Я ищу свою дорогу. Готов усердно работать (учиться), чем я собсно и занимаюсь последние годы.
Я в самом начале так и пробовал: взял этот список книг и стал их читать. Не пошло. Оказалось, для их изучения нужен определенный уровень.
Теперь я этот уровень вроде наработал, книги из списка идут нормально. Новая проблема: где взять адекватный список задач к этим книгам, чтобы не зарыться с этими задачами, а уложиться в оставшееся время? Плюс я себе больше не доверяю, я уже очень много времени потратил на неправильную подготовку, боюсь опять неправильно все делать. Мне нужны наставления.
В идеале хотелось бы получить некоторый список задач к каждой теме + комментарии по каждой теме. Например, что-то типа "изучаете производную по лекциями Чубарикова и ко, теорему <теорема1> очень желательно вывести самому не подглядывая в учебник, решаете задачи 113, 120-123, 134 и 145* из задачника <название_задачника>, желательно не тратить на это больше месяца; далее разбираете неопределенный интеграл по Зоричу, задачи 201, ... из задачника, на эту тему вообще не больше недели, особое внимание на теоремы <теорема1> и <теорема2>, а вот <теорему3> можете вообще пропустить пока, на понимание не повлияет особо" и т.д. Это идеальный вариант. Я буду очень благодарен и за более общие советы.

[irod]

irod в сообщении #1295702 писал(а):

vpb в сообщении #1295632 писал(а):

2) Длина окружности, как известно, $2\pi r$. Как отсюда вывести, что площадь круга $\pi r^2$, объем шара
$4\pi r^3/3$, а площадь сферы $4\pi r^2$? (Аналогично, на пальцах. А можете не на пальцах, если сумеете).

Расчехлю-ка я свой калькулус.

Я только что понял, что вообще не использовал в своем решении формулу длины окружности, я использовал только уравнение окружности. Площадь круга получается из длины окружности взятием неопределенного интеграла по $dr$, остальные формулы как-будто получаются похожим образом, но почему это так, я сейчас объяснить не могу.

-- 07.03.2018, 12:57 --

vpb в сообщении #1295564 писал(а):

А можете Вы прямо сейчас привести примеры задач на вычисление пределов, производных и интегралов, штук 5, которые Вы уже умеете решать ? (если пустое множество, так и пишите, не стесняясь).

К сожалению, я не смог найти своих черновиков с домашками по калькулусу, а старый курс на Курсере они удалили вместе со всеми его материалами. Возьму наугад несколько примеров из вики того курса: http://calculus.seas.upenn.edu/?n=Main.HomePage. Все что там есть, все темы и примеры к ним, я прорешивал. Например:
Вычислить производную $(e^x+\ln x)\sin x$.
Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 0}(1+\arctan (x/2))^{2/x}$.
Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-\sin x-1}{x^2-x^3}$ (с помощью правила Лопиталя или ряда Тейлора).
Разложить в ряд Тейлора $e^{1-\cos t}$.
Вычислить интеграл $\int \frac{\ln(15x^5)}{x}dx$.
Вычислить интеграл $\int e^{2x}\sin 3xdx$ (интегрированием по частям).
Исследовать на сходимость ряды $\sum\limits^\infty _{n=1}\frac{n+4}{n(2+n^4)^{1/3}}$ и $\sum\limits^\infty _{n=1}\frac{|\sin(n)^n|}{n^2}$.
Я решал в том курсе и гораздо более хитрые задачки, опять же без понимания смысла. Моих техник хватило даже на решение нескольких подобных задачек из вступительных экзаменов в ШАД.
Сейчас я уже все это подзабыл, и мне нужно какое-то время (думаю, небольшое) на вспоминание.

[irod]

vpb в сообщении #1295632 писал(а):

1) Почему бесконечная сумма

$$ \frac11+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1{n}+\ldots $$

--- бесконечное число, а

$$ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}+\ldots$$

--- конечное?

Решение-ответ на второй вопрос аналогично решению первой из этих задач, которое я выкладывал на предыдущей странице.

Пусть $P_k=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{k^2}$.

$$ P_{2k}-P_k=\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{(k+2)^2}+\ldots+\frac{1}{4k^2}>\underbrace{\frac{1}{4k^2}+\frac{1}{4k^2}+\ldots+\frac{1}{4k^2}}_{k\ \text{раз}}=\frac{k}{4k^2}=\frac{1}{4k}. $$

Значит, $P_{4k}-P_{2k}>\frac{1}{4k}$.
Суммируя два этих неравенства, получим что $P_{4k}-P_{k}>\frac{1}{2k}$, т.е. $P_{4k}>P_k+\frac{1}{2k}$.
Т.к. $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{2k}=0$, то с ростом $k$ рост суммы $P_k$ почти прекращается (становится бесконечно малым).

[Munin]

irod в сообщении #1295824 писал(а):

Я решал в том курсе и гораздо более хитрые задачки, опять же без понимания смысла.

А что вы называете словами "без понимания смысла"? Это ключевой вопрос, чтобы подобрать вам правильные рекомендации.

По личному опыту: у многих математических задач никакого "смысла" нет. И излишние поиски и желания его найти - отнимают время и силы, стопорят продвижение по материалу, а в запущенных случаях - могут нанести вред, разрушить всё понимание математики, и соответствующих жизненных планов.

[vpb]

irod

Читаю пока Ваши темы.

1) По мелочи. Читал я, конечно, не особо внимательно, по диагонали. Однако в одном месте заметил чепуху: когда непрерывность $\sqrt x$ доказывали.

2) Что расходимость гармонического ряда Вы уже доказали, я тоже заметил.

3) Не по Давидовичу замечание. Выше упоминали задачник Очана. Этот задачник неплохой, но, во-первых, какой-то
уныло однообразный (много однотипных задач) и ограниченный. Во-вторых, что важнее, он не собственно по матану, а
больше по ТФДП (теория функций действительного переменного, также называется "действительный анализ"). У Очана
есть задачник собственно по ТФДП, так вот они очень похожи. Мне недавно, кстати, довелось его прорешать (случилась у меня потребность лучше знать ТФДП), так при этом значительная часть времени ушла на то, чтобы вычеркнуть из списка тривиальные задачи, а потом только сосредоточиться на нетривиальных. Должен сказать, что после этого я стал понимать ТФДП лучше ... но это тут оффтоп. Но Вам то это особо не нужно.

Зато есть курс матанализа Ю.Г.Решетняка, вот там есть большое число концептуальных задач истинно по матану, разнообразных и интересных (но зачастую трудных!). Правда, в самом курсе мне теоретическая часть как-то местами не нравится.

В Зориче тоже есть много задач.

4) Видел сейчас Ваши сообщения. Я составил кое-какое представление о Ваших умениях, хоть и неполное.

5) Насчет задачи с суммой обратных квадратов. То, что Вы написали, не доказательство даже для уровня "на пальцах".
Подумайте еще.

6) Про площадь круга такое рассуждение. Разрежем круг на тонкие концентрические кольца. Понятно, что площадь кольца --- это примерно его длина (длина окружности) на толщину. Разрежем все кольца, распрямим, сложим стопочкой друг на друга, и выровняем по краю. Получится прямоугольный треугольник, у которого одна сторона (основание) $2\pi r$, а второй катет (высота) $r$. Отсюда площадь сами понимаете какая.

Про шар. Режем его тонкими горизонтальными слоями одинаковой толщины, считаем площадь каждого слоя, умножаем на толщину, суммируем. Получается, что надо вычислить, примерно, сумму $\sum_{k=1}^{k=N} (N^2-k^2)$ при больших $N$ (как сумму считают, знаете?). Умножаем на соответствующий коэффициент, переходим к пределу. Получаем что надо. Потом для нахождения площади сферы рассматриваем тонкий шаровой слой, находим его объем,
делим на толщину, опять к пределу переходим. Всё это Архимед еще сделал, 2200 лет назад. Теорему, что объем шара есть $2/3$ от объема описанного цилиндра, он считал своим главным достижением. На его надгробии даже шар, вписанный в цилиндр, был высечен (какой-то из римских авторов, типа Плиний или Плутарх, спустя несколько
столетий был на его могиле, заросшей кустами к тому времени, и там этот чертежик видел своим глазами).

Короче, матану 22 века, наука это интересная, а Вы с этим Давидовичем застряли ...

[vpb]

У меня была небольшая дискуссия с одним из ЗУ в ЛС. Содержание её я описывать не буду, но в итоге он высказал пожелание, чтобы я выложил свои соображения в теме. Это я пишу к тому, чтобы Вы не подумали, что я тут пишу невесть с чего и невесть о чем.


Вот кое-что из моего личного опыта изучения матана. Я с детства много читал, и в частности про математику, почему-то она меня всегда привлекала. Еще в 5 классе читал "Детскую энциклопедию". Узнал оттуда много интересного,
например про Архимеда , про простые числа, про Кеплера и "Новую стереометрию винных бочек", и разное другое. В 6 классе читал упомянутую книжку Зельдовича, узнал, что такое дифференцирование-интегрирование, ну и самой
технике немного научился. Еще в школе меня очень интресовали всякие задачи про простые числа. Думал, как бы решить проблему Гольдбаха. Стал читать всякие книжки в этом направлении. Позже, тоже в школе еще, читал Фихтенгольца, достаточно основательно (правда, понятия об основательности чтения у меня тогда были совсем не те, что сейчас...). Потом наконец поступил в университет, там были Камынин и Демидович, а позже Рудин (а в Зорича, так сложилось, только изредка заглядывал).

Теперь посмотрим, как развивался матан, и некоторые связанные понятия, исторически. Еще Архимед умел находить площадь сегмента параболы и объем шара. Ньютон, Лейбниц, Бернулли и др. решали более сложные задачи, создали исчисление. При этом не задумывались об обосновании и строгости. Коши стал обосновывать строго, через эпсилон-дельта. Позже Дедекинд (а также Кантор, и еще один французский математик, ныне, увы, забытый; не помню его фамилию) обосновали понятие вещественного числа. Еще позже появились теоретико-множественные концепции, понятие мощности, и теоретико-множественный язык.

Таким образом, можно заметить, что мое индивидуальное развитие шло, в известной степени, в том же порядке,
как и историческое развитие матанализа. Формулу $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ я узнал
(из Колмогорова-Фомина) лишь после чтения Фихтенгольца.

Скажем, понятие вещественного числа. В школе я его воспринимал как длину отрезка, записывающуюся бесконечной десятичной дробью; потом познакомился с теорией дедекиндовых сечений, а также с построением действительных чисел как (классов) фундаментальных последовательностей рациональных чисел; в Камынине прочитал определение ${\mathbb R}$ как полного упорядоченного архимедова поля. Однако отметим вот что. Рациональные числа я всегда воспринимал как данность, с которой всё ясно. Теория дедекиндовых сечений воспринималась как нечто нетривиальное и содержательное. А пляски вокруг полного упорядоченного поля я вообще никогда не воспринимал, для меня это нечто бессмысленное, когда "строго доказывают", что ${\mathbb N}$ не ограничено сверху в ${\mathbb R}$. (Как этот когнитивный диссонанс в универе разрешился, я не помню. Подозреваю, что Камынин эти вопросы даже не выносил на экзамен. Тут у меня в памяти белое пятно/черная дыра.) Это имеет смысл разве тогда, когда берутся всю математику строить строго формально, отправляясь от ZFC. Но такими-то вещами я не интересовался вообще
никогда. А то люди погружаются в "основания" и так и не делают ничего конкретного. "Вечно фундамент и никогда собор".

Опять же, я узнал, что такое поле, уже тогда, когда хорошо знал и про рациональные числа, и про вещественные,
и про комплексные. Оно, допустим, вводится в книжке Постникова "Теорема Ферма", и сразу же пример: поля
деления круга.

В изложении любого предмета (учебного) присутствуют, в разных пропорциях, две вещи: понятность и научность.
Что для них характерно? Понятность ориентирована на конкретного человека, в пределе туповатого, а научность --- на абстрактное знание, в пределе --- формальную запись, проверяемую компьютером. Понятность --- идут от частного к общему, научность --- от общего к частному. Научность --- новые понятия даются определениями, понятность --- даются в примерах. Понятность --- история, мотивировки, обсуждения, отступления. Научность --- аксиомы, всё строго
последовательно, без отступлений и забеганий вперед. Понятность --- одно и то же несколько раз в разные моменты повторяется разными словами, явно или неявно, ибо повторение --- мать учения. Научность --- определение один раз дано, или факт сформулирован и доказан, и считается что он уже твердо усвоен читателем, больше о нем не вспоминают. (Где в Бурбаках найдете фразу "напомним, что..." ?) Научность --- предмет излагается сразу широким
охватом и на вырост: если про непрерывность параграф, значит, запихаем в него все частные сведения про непрерывность, которые в дальнейшем понадобятся. Понятность --- излагается только то, что конкретно нужно в данный момент. И др.

Отмечу, что нельзя просто противопоставлять понятность и научность. Понятность нужна на ранних стадиях развития человека (или освоения им некоторой области), научность --- позже. Ибо понятность --- факты, их масса, а научность
--- порядок, чтоб факты не путались, чтоб среди них было легче ориентироваться.

Теперь посмотрим на матанализ "по Давидовичу". Сначала множества и общие свойства их отображений, потом мощность, потом абстрактное понятие поля, потом упорядоченное поле и действительные числа, потом десятичные дроби, потом пределы. Короче, в порядке, практически противоположном естественному историческому. Все с ног на голову поставлено. Объяснений никаких нет. Результат налицо.

Вывод такой. Если Вас вдруг смутит "ненаучность" и "примитивность" Зельдовича --- не смущайтесь.

И еще. Я воспринимаю математику единой и в предмете своем, и во времени. У меня как-то в голове теория категорий (кстати, термин "теория категорий" --- несколько условный, такой области в общем-то и нет почти) и вычислительная математика не противопоставляются, так же как и математика 20 века и 18 века. Я, скажем, слово "дифференциал"
воспринимаю то как отображение касательных пространств, то как бесконечно малое приращение (а вот понятие дифференциала по Фихтенгольцу и многим другим книжкам переварить не могу). А вот у многих в головах одно с другим не уживается.

И еще кое-что про матан. Коллега Munin спрашивал, в каком смысле не понимая смысла? Ну, это то легко объяснить (хотя я, конечно, не знаю точно, что ТС имел в виду, но могу предполагать). Преподаватели наверняка знают, что клиент может успешно дифференцировать сложную функцию, применяя цепное правило, но при этом не только не уметь строго доказывать законность этого действия, но не понимая его происхождения даже на пальцах, на уровне 17 века. Дифференцировать-то может и компьютер!

Уместно такое замечание: полезно осознавать, что матан (как и многое другое) делится на три части: (а) понимание смысла, (б) строгое обоснование, и (в) техника вычислений. Соответственно, (а)Зельдович (и отчасти некоторые школьные учебники, но там хуже), (б) Фихтенгольц/Камынин/Зорич/Решетняк, и (в) Демидович (тсказать, три источника и три составные части... Правда, ТС наверное не знает, что сей мем значит). Впрочем, такое соотнесение
книг и познавательных аспектов матана довольно условное.

-- 08.03.2018, 08:08 --

Теперь посмотрим: какой матан Вам нужен в ШАДе ? Более всего понимание, и лишь в очень умеренных количествах --- строгое обоснование и техника вычислений. Короче, на уровне первой половины 18 века (если не 17-го вообще...).
Не знаю, как для самой учебы (если поступите), а для вступительных экзаменов точно.

[Munin]

vpb в сообщении #1295973 писал(а):

И еще кое-что про матан. Коллега Munin спрашивал, в каком смысле не понимая смысла? Ну, это то легко объяснить

Меня интересует именно ответ irod. Такие простые мысли мне тоже приходили в голову, но они мало вяжутся с тем, что он рассказывает.

-- 08.03.2018 11:43:21 --

vpb в сообщении #1295973 писал(а):

В изложении любого предмета (учебного) присутствуют, в разных пропорциях, две вещи: понятность и научность.

Здесь какой-то сумбур. Под этими словами вы понимаете что-то своё, в том числе и такие вещи, которые обычно называются другими словами. Может, вам лично этот взгляд и приносит пользу, но он далеко не общепринятый и не наилучший.

[vego]

Прошу прощения за картинку,
Может главный герой обсуждения ее не понимает?

[irod]

vpb, я с большим интересом читаю все что Вы написали в моей теме. Пока отвечу лишь на некоторые вопросы, остальное еще осмысливаю.

vpb в сообщении #1295865 писал(а):

5) Насчет задачи с суммой обратных квадратов. То, что Вы написали, не доказательство даже для уровня "на пальцах".
Подумайте еще.

Ок. Вижу что выдал фигню. Подумаю.

Munin в сообщении #1295860 писал(а):

А что вы называете словами "без понимания смысла"? Это ключевой вопрос, чтобы подобрать вам правильные рекомендации.

vpb в сообщении #1295973 писал(а):

Ну, это то легко объяснить (хотя я, конечно, не знаю точно, что ТС имел в виду, но могу предполагать). Преподаватели наверняка знают, что клиент может успешно дифференцировать сложную функцию, применяя цепное правило, но при этом не только не уметь строго доказывать законность этого действия, но не понимая его происхождения даже на пальцах, на уровне 17 века.

Да, ровно это я и имел в виду: могу механически решать разные примерчики, применяя всякие правила и формулы, но не понимаю откуда у этих формул растут ноги и как их в принципе доказывать. Например, много раз раскладывал сложные функции в ряд Тейлора и получал верный ответ, при этом я понятия не имею откуда вообще взялся этот самый ряд Тейлора, почему мы можем в него что-то раскладывать и все такое.

-- 08.03.2018, 15:10 --

vego
многие названия на этой картинке мне уже знакомы, но полной картины (так, чтобы я мог назвать всю картинку понятной) у меня в голове пока нет.

[vego]

Цитата:

многие названия на этой картинке мне уже знакомы, но полной картины (так, чтобы я мог всю картинку понятной) у меня в голове пока нет.

Понимание придет как только сможете объяснить каждую стрелку и доказать каждую теорему

[irod]

Продолжаю читать Зельдовича, начал главу про производную. Пока все что я в нем прочитал, мне в целом было известно. Я знал, что производная - это предел отношения приращений; еще со школы я помню физический смысл производной - скорость изменения. И я знаю что геометрический смысл производной связан с касательной. Выше я также писал что знаю, что определенный интеграл (Римана?) можно интерпретировать как площадь под кривой (вся область разбивается на прямоугольники, их ширина стремится к нулю а количество, соответственно, к бесконечности; суммируем их площади и получаем площадь области). В общем, некоторые базовые вещи я знаю. Проблемы начинаются, если копнуть чуть глубже. То же упомянутое цепное правило дифференцирования сложной функции, или например интегрирование по частям, или разложение в ряд Тейлора. Я не знаю как все это выводить/доказывать, и поэтому никогда не могу быть уверен, можно ли мне в данном конкретном случае это применить или нельзя. А может применить можно, но только надо сначала как-то изменить формулу (и как ее тогда изменять, я ж не знаю как ее выводить)? Короче, я сильно "плаваю" во всем этом. Это все я написал про одномерный матан. А многомерный матан, ТФКП и функан я не знаю совсем, никак.

[vego]

irod в сообщении #1296044 писал(а):

Я не знаю как все это выводить/доказывать, и поэтому никогда не могу быть уверен, можно ли мне в данном конкретном случае это применить или нельзя. А может применить можно, но только надо сначала как-то изменить формулу (и как ее тогда изменять, я ж не знаю как ее выводить)? Короче, я сильно "плаваю" во всем этом.

Извините за вопрос, а вы понимаете в чем заключаются особенности поля вещественных чисел как математического объекта?

[arseniiv]

(Кажется, это не очень прозрачно понимаемый вопрос. Особенности среди других полей? Среди вообще всех объектов? Последнее, да и первое, всё-таки весьма многочисленно.)

[vego]

arseniiv в сообщении #1296053 писал(а):

(Кажется, это не очень прозрачно понимаемый вопрос. Особенности среди других полей? Среди вообще всех объектов? Последнее, да и первое, всё-таки весьма многочисленно.)

Согласен, вопрос задан неточно. Среди других полей, конечно.

[irod]

vego в сообщении #1296047 писал(а):

Извините за вопрос, а вы понимаете в чем заключаются особенности поля вещественных чисел как математического объекта?

Я проходил действительные числа по Давидовичу (аксиоматический подход), там было такое определение:

Цитата:

Полем действительных чисел называется упорядоченное поле $\mathbb{R}$, удовлетворяющее следующему условию:
Аксиома о точной верхней грани. Всякое непустое ограниченное сверху подмножество поля $\mathbb{R}$ имеет в $\mathbb{R}$ точную верхнюю грань.

Т.е. помимо аксиом, определяющих алгебраическую структуру под название "поле", для $\mathbb{R}$ еще определены аксиомы порядка (разделение на положительные и отрицательные числа), и плюс аксиома о т.в.г., которая говорит что в $\mathbb{R}$ нет разрывов (я так понимаю что именно эта аксиома отличает $\mathbb{R}$ от $\mathbb{Q}$ наличием иррациональных чисел типа $\sqrt{2}$). Я себе представляю $\mathbb{R}$ как бесконечную в обе стороны прямую, любой участок которой можно нарисовать, не отрывая руки от листка бумаги.
Когда я пробовал изучать сечения Дедекинда и еще какие-то способы построения $\mathbb{R}$ (до Давидовича), я вообще не понимал смысла всей этой "возни". Сейчас наверное понимаю, но кроме аксиоматического построения другого способа я не знаю.