Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[пианист]

irod в сообщении #1297566 писал(а):

Пробовал вычислить ..

(не совсем спойлер)

Попробуйте такую идею: подрихтовать ряд так, чтобы новый ряд а) был таким же по сходимости (т.е. сходились и расходились бы исходный и новый ряды одновременно), и при этом б) новый ряд бы легко считался, в том смысле, что частичная сумма могла бы быть компактно записана.

(тоже не совсем, но уже больше ;))

Например, таков ряд (легко считается) с членом вида $a_n=b_{n+1}-b_n$, где $b_n$ простое выражение (от $n$).

[vpb]

irod
Скажите, а сколько времени Вы уже про задачу про обратные квадраты думали? Грубо говоря, три дня по полчаса, или неделю по три часа каждый день? Дело в том, что это очень поучительная задача, и Вам было бы весьма полезно её решить самому. Но если Вы про нее думали достаточно долго и без толку, тогда придется дать подсказку (а потом, возможно, и решение написать). Или вообще можно ее отложить на будущее, чтобы Вы к ней мыслями периодически возвращались. И еще: то поучительное решение, которое я имею в виду --- это совсем не то, на которое пианист намекает.

[irod]

vpb
честно говоря, не очень много думал - 3-5 дней, каждый день от получаса до часа (суетная неделя у меня получилась, со сборами к поездке, да и Зельдович меня сильнее увлек). Над некоторыми задачами из Давидовича я думал гораздо больше. Если поучительная, то готов подумать еще, особенно если Вы советуете. Надеюсь, это не отъест много времени от остальной моей - более систематической - подготовки к поступлению.

[vpb]

Ну, в таком случае ясно, что стоит над ней еще подумать. На всякий случай сообщу, что я эту задачу решил, по аналогии с гармоническим рядом, в достаточно нежном возрасте, так что и у Вас есть шанс. Если почувствуете, что совсем зашли в тупик --- будем подсказывать. Также отмечу, что посвящать основное время чтению книжки --- это разумно.

[irod]

vpb
ок, буду думать.

[Munin]

irod в сообщении #1297537 писал(а):

Я конечно же обратил. Но не очень хочется бросаться читать разные предложенные книги ради одной этой темы - ряда Тейлора. Хочется соблюсти системность и двигаться последовательно. Если уж под конец останутся вопросы, то буду прорабатывать каждый отдельно. Мне кажется в моем случае это верный подход, как считаете?

Я замечу, что матанализ - это как несколько "тем", играющих одновременно. Он учит работать с функциями, увязывая разные взгляды на них:
- геометрический - в виде графика, алгебраический - в виде формулы, и в виде ряда, как Тейлора, так и других;
- функции рассматриваются произвольные, монотонные, (кусочно)-непрерывные, (кусочно)-дифференцируемые, бесконечно дифференцируемые, аналитические;
- функции действительного аргумента, комплексного, нескольких аргументов, векторные;
- и в основном посвящён операциям дифференцирования, интегрирования, предельного перехода и суммирования ряда.
В какой-то одномерной последовательности изложить всё это невозможно, так что и воспринимать последовательно - тоже безнадёжная мечта. Системность здесь как раз не совпадает с последовательностью.

[irod]

Я давно вернулся из своей поездки и продолжаю долбиться об эту задачу с рядом обратных квадратов и прорабатывать Зельдовича. С Зельдовичем все хорошо, а вот задачу я так и не решил. Так что прошу еще подсказок по ней. Тем более что в Зельдовиче я уже подошел вплотную к параграфу про ряды (часть 3, пар. 17), и там наверное будет разбираться их сходимость.

Какие у меня были идеи по этому ряду.

$$ P_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}= $$

$$ =\left(1-\frac{1^2-1}{1^2}\right)+\left(1-\frac{2^2-1}{2^2}\right)+\ldots+\left(1-\frac{n^2-1}{n^2}\right)= $$

$$ =\underbrace{(1+1+\ldots+1)}_{n\ \text{слагаемых}}-\left(\frac{1^2-1}{1^2}+\frac{2^2-1}{2^2}+\ldots+\frac{n^2-1}{n^2}\right)= $$

$$ =n-\ldots $$

Не знаю что с этим дальше можно сделать.

Пробовал по аналогии с гармоническим рядом:

$$ P_{2n}-P_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\ldots+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} $$

Тогда

$$ P_{4n}-P_{2n}<\frac{1}{2n} $$

Просуммируем два последних неравенства:

$$ P_{4n}-P_n<\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n} \Leftrightarrow P_{4n}<P_n+\frac{3}{2n} $$

Начальное условие: $P_1=1$. Что делать дальше - непонятно.

Была идея разделить на четные и нечетные члены, но кажется это тоже тупиковый путь.

-- 16.04.2018, 11:45 --

vpb
Как считаете, до какого места мне продолжать Зельдовича? Закончить первые три части, или еще четвертую ("Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии") захватить? То что пятую часть и дальше читать не надо - понятно.

[vpb]

irod
Про затруднения с обратными квадратами стоило раньше написать. Да, видать недостаточно я понимаю закономерности процесса обучения...

Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.

Про Зельдовича чуть позже отвечу, надо самому туда глянуть.

-- 16.04.2018, 16:52 --

Зельдовича на день-два отложите, пока с задачей про обратные квадраты не закончим. Потом до конца 4-й главы, и задачи
конечно решайте, по мере возможности. Если что непонятно, или хотите проверить, правильно ли решили задачу, или какую-то совсем непонятно, как решать --- пишите. Еще, возможно, я буду давать Вам дальше задачи по рядам, чтобы Вы их понемногу решали на фоне Зельдовича параллельно (считаю такое разнообразие --- одно основное занятие, и что-нибудь на фоне его побочное --- полезным).

[vpb]

Скажите, а Вы что такое "сумма бесконечной геометрической прогрессии", знаете ?

[irod]

vpb в сообщении #1304814 писал(а):

Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.

Пока подумаю над этим, прошу пока больше не подсказывать

vpb в сообщении #1304814 писал(а):

Зельдовича на день-два отложите, пока с задачей про обратные квадраты не закончим. Потом до конца 4-й главы, и задачи
конечно решайте, по мере возможности. Если что непонятно, или хотите проверить, правильно ли решили задачу, или какую-то совсем непонятно, как решать --- пишите.

Ок. В целом из того что я прошел мне все понятно. Даже с дифференциалом немного подружился, хотя раньше никогда его не понимал.

vpb в сообщении #1304814 писал(а):

Еще, возможно, я буду давать Вам дальше задачи по рядам, чтобы Вы их понемногу решали на фоне Зельдовича параллельно (считаю такое разнообразие --- одно основное занятие, и что-нибудь на фоне его побочное --- полезным).

Я сам так и делаю - прохожу два предмета одновременно, мне удобно этот процесс представлять в виде двух слабо связанных друг с другом потоков. Основной поток сейчас - это матан, а второй - линал и все что с ним может быть связано (ангем, комплексные числа и введение в теорию групп). Больше двух потоков одновременно мне проходить сложно. Может быть мне лучше в качестве второго потока продолжать линал? По нему еще достаточно работы. Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?

vpb в сообщении #1304843 писал(а):

Скажите, а Вы что такое "сумма бесконечной геометрической прогрессии", знаете ?

Убывающей? Да, и знаю как эту формулу вывести.

[vpb]

irod в сообщении #1305109 писал(а):

Даже с дифференциалом немного подружился, хотя раньше никогда его не понимал.

Слово "дифференциал" в 18 веке обозначало одно, а сейчас совсем другое. Точнее, сейчас в одних книжках оно имеет тот же смысл, что и в 18 веке (а именно, бесконечно малое приращение переменной или функции), а в других совсем другое (касательное отображение). А в третьих вообще третье. В книжках для физиков, как правило, первое.

irod в сообщении #1305109 писал(а):

Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?

Да, напишите как-нибудь.

irod в сообщении #1305109 писал(а):

Убывающей? Да, и знаю как эту формулу вывести.

Да, я по предыдущим сообщениям уже увидел, что знаете. Вот и хорошо.

[irod]

vpb в сообщении #1304814 писал(а):

Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.

Простите, но в упор не вижу куда двигаться дальше. Кажется, у меня по этой задаче уже проторенные дорожки в мозгу появились, и мысль все норовит по этим дорожкам ходить, без шага в сторону.
А в индексах Вы наверное ошиблись, там ведь выше $P_{k+1}-P_{k}$ на самом деле?
Ваш вопрос про сумму геометрической прогрессии был подсказкой к этой задаче? Если да, то знаменатель прогрессии $\frac{n^2-1}{n^2}$? В любом случае, я не вижу как можно наш ряд с убывающей прогрессией полезно сравнить.

-- 18.04.2018, 15:30 --

vpb в сообщении #1305200 писал(а):

irod в сообщении #1305109 писал(а):

Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?

Да, напишите как-нибудь.

Я прошел несколько онлайн-курсов по линалу начального уровня, и знаю базовые вещи, типа как решать СЛАУ, определение векторного пространства и манипуляции с матрицами и определителями, собственные числа (но не дальше, например квадратичные формы я уже не знаю). После всего этого я решил взять более серьезную книгу, выбрал по рекомендациям Linear Algebra Done Right (далее LADR) - очень популярную на Западе книгу, насколько я понял. Там все изложение строится вокруг линейных операторов, утверждается что суть линала именно в них. В конце каждого параграфа есть задачи (в т.ч. на доказательство, что мне очень нравится), сверяюсь я по решебнику, найденному в сети. В процессе я осознал что у меня есть некоторые пробелы, главные из них - в плохом понимании геометрической интерпретации, незнание мотивировок к некоторым темам, ну и плюс я плохо знаком с комплексными числами и многочленами (а там в LADR целая глава про многочлены, и предполагаются какие-то предварительные знания по ним). Вообще с линалом у меня чувство что я пытаюсь разобраться с какими-то шибко абстрактными обобщениями, а что обобщается на низком уровне - не очень-то понимаю. Короче, я отложил LADR и решил пройти курс по аналитической геометрии https://openedu.ru/course/msu/ANGEOM/. Этот курс мне показался полезным, я понял откуда вылезли формулы для определителей 2-го и 3-го порядков, перестал бояться всех этих уравнений прямых, плоскостей и расстояний между ними, поразбирался со сменой системы координат. Прошел я этот курс к настоящему моменту наполовину - до линий второго порядка, и думаю проходить ли мне его сейчас до конца, или пока достаточно. Был бы Вам благодарен за совет. Я так понимаю все эти линии и поверхности второго порядка понадобятся мне в многомерном матане, до которого я еще не дошел, и возможно лучше мне допроходить этот курс непосредственно перед началом многомерного матана, чтобы из головы по-меньше выветрилось.
Я также прошел наполовину книгу «Теорема Абеля», собираюсь ее добить до конца перед возобновлением линала. Там есть перестановки с точки зрения теории групп, комплексные числа и многочлены, т.е. все мои пробелы.
Как думаете, все правильно делаю?

[Dragon27]

irod в сообщении #1305293 писал(а):

Простите, но в упор не вижу куда двигаться дальше.

Попробуйте доказать сходимость не этого ряда, а другого, похожего на него. Такого, в котором каждый член можно представить в виде разницы двух чисел так, чтобы эти числа в соседних членах друг друга уничтожали, как в цитате:

vpb в сообщении #1304814 писал(а):

$P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$

irod в сообщении #1305293 писал(а):

После всего этого я решил взять более серьезную книгу, выбрал по рекомендациям Linear Algebra Done Right (далее LADR) - очень популярную на Западе книгу, насколько я понял. Там все изложение строится вокруг линейных операторов, утверждается что суть линала именно в них. В конце каждого параграфа есть задачи (в т.ч. на доказательство, что мне очень нравится), сверяюсь я по решебнику, найденному в сети. В процессе я осознал что у меня есть некоторые пробелы, главные из них - в плохом понимании геометрической интерпретации, незнание мотивировок к некоторым темам, ну и плюс я плохо знаком с комплексными числами и многочленами (а там в LADR целая глава про многочлены, и предполагаются какие-то предварительные знания по ним).

А вы её с какой скоростью читаете? Помните, с какой скоростью советовал читать математическую литературу автор в предисловии к этой книге?

[vpb]

Dragon27 в сообщении #1305316 писал(а):

Попробуйте доказать сходимость не этого ряда, а другого, похожего на него. Такого, в котором каждый член можно представить в виде разницы двух чисел так, чтобы эти числа в соседних членах друг друга уничтожали, как в цитате:

Dragon27
По моему мнению, обоснованному моим опытом (каким именно, не пишу, поскольку не хочу хвастаться и всякие личные подробности сюда писать; если хотите, могу в ЛС), тот путь, на который я пытаюсь товарища навести, гораздо более поучителен и полезен, чем то, что Вы подразумеваете. Не могли бы Вы не давать товарищу советов до тех пор, пока он не решит данную задачу, самостоятельно или с теми подсказками, которые я ему даю? Потом, если хотите, можете дать ему какую-нибудь свою задачу и руководить процессом решения, я отнюдь не против. Но в данный момент Ваша подсказка очень нежелательна.

irod в сообщении #1305293 писал(а):

Ваш вопрос про сумму геометрической прогрессии был подсказкой к этой задаче?

Да.

irod в сообщении #1305293 писал(а):

А в индексах Вы наверное ошиблись, там ведь выше $P_{k+1}-P_{k}$ на самом деле?

Отнюдь. Я именно то и написал, что в виду имел.

Подумайте еще несколько часов, и потом уж следующую подсказку дам (не далее чем через сутки).

-- 18.04.2018, 18:52 --

Чтобы не было недоразумений, повторим еще раз. Члены в сумме группируются так:
$1$;
$1/2^2$;
$1/3^2$, $1/4^2$;
$1/5^2$, $1/6^2$, $1/7^2$, $1/8^2$;
и так далее.

-- 18.04.2018, 18:57 --

Dragon27
Не хочу Вас задеть и ценю Ваш энтузиазм, но все же прошу проявить некоторое терпение, по крайней мере применительно к данной задаче.

[Dragon27]

vpb
Мне просто показалось, что irod - fair game
Ладно, не буду ничего подсказывать.