2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение15.03.2018, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
772
МО
irod в сообщении #1297566 писал(а):
Пробовал вычислить ..

(не совсем спойлер)

Попробуйте такую идею: подрихтовать ряд так, чтобы новый ряд а) был таким же по сходимости (т.е. сходились и расходились бы исходный и новый ряды одновременно), и при этом б) новый ряд бы легко считался, в том смысле, что частичная сумма могла бы быть компактно записана.

(тоже не совсем, но уже больше ;))

Например, таков ряд (легко считается) с членом вида $a_n=b_{n+1}-b_n$, где $b_n$ простое выражение (от $n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение15.03.2018, 18:30 
Заслуженный участник


18/01/15
694
irod
Скажите, а сколько времени Вы уже про задачу про обратные квадраты думали? Грубо говоря, три дня по полчаса, или неделю по три часа каждый день? Дело в том, что это очень поучительная задача, и Вам было бы весьма полезно её решить самому. Но если Вы про нее думали достаточно долго и без толку, тогда придется дать подсказку (а потом, возможно, и решение написать). Или вообще можно ее отложить на будущее, чтобы Вы к ней мыслями периодически возвращались. И еще: то поучительное решение, которое я имею в виду --- это совсем не то, на которое пианист намекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение15.03.2018, 18:41 


21/02/16
483
vpb
честно говоря, не очень много думал - 3-5 дней, каждый день от получаса до часа (суетная неделя у меня получилась, со сборами к поездке, да и Зельдович меня сильнее увлек). Над некоторыми задачами из Давидовича я думал гораздо больше. Если поучительная, то готов подумать еще, особенно если Вы советуете. Надеюсь, это не отъест много времени от остальной моей - более систематической - подготовки к поступлению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение15.03.2018, 18:50 
Заслуженный участник


18/01/15
694
Ну, в таком случае ясно, что стоит над ней еще подумать. На всякий случай сообщу, что я эту задачу решил, по аналогии с гармоническим рядом, в достаточно нежном возрасте, так что и у Вас есть шанс. Если почувствуете, что совсем зашли в тупик --- будем подсказывать. Также отмечу, что посвящать основное время чтению книжки --- это разумно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение16.03.2018, 08:43 


21/02/16
483
vpb
ок, буду думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение16.03.2018, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65579
irod в сообщении #1297537 писал(а):
Я конечно же обратил. Но не очень хочется бросаться читать разные предложенные книги ради одной этой темы - ряда Тейлора. Хочется соблюсти системность и двигаться последовательно. Если уж под конец останутся вопросы, то буду прорабатывать каждый отдельно. Мне кажется в моем случае это верный подход, как считаете?

Я замечу, что матанализ - это как несколько "тем", играющих одновременно. Он учит работать с функциями, увязывая разные взгляды на них:
- геометрический - в виде графика, алгебраический - в виде формулы, и в виде ряда, как Тейлора, так и других;
- функции рассматриваются произвольные, монотонные, (кусочно)-непрерывные, (кусочно)-дифференцируемые, бесконечно дифференцируемые, аналитические;
- функции действительного аргумента, комплексного, нескольких аргументов, векторные;
- и в основном посвящён операциям дифференцирования, интегрирования, предельного перехода и суммирования ряда.
В какой-то одномерной последовательности изложить всё это невозможно, так что и воспринимать последовательно - тоже безнадёжная мечта. Системность здесь как раз не совпадает с последовательностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение16.04.2018, 11:42 


21/02/16
483
Я давно вернулся из своей поездки и продолжаю долбиться об эту задачу с рядом обратных квадратов и прорабатывать Зельдовича. С Зельдовичем все хорошо, а вот задачу я так и не решил. Так что прошу еще подсказок по ней. Тем более что в Зельдовиче я уже подошел вплотную к параграфу про ряды (часть 3, пар. 17), и там наверное будет разбираться их сходимость.

Какие у меня были идеи по этому ряду.

$$
P_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}=
$$ $$
=\left(1-\frac{1^2-1}{1^2}\right)+\left(1-\frac{2^2-1}{2^2}\right)+\ldots+\left(1-\frac{n^2-1}{n^2}\right)=
$$ $$
=\underbrace{(1+1+\ldots+1)}_{n\ \text{слагаемых}}-\left(\frac{1^2-1}{1^2}+\frac{2^2-1}{2^2}+\ldots+\frac{n^2-1}{n^2}\right)=
$$ $$
=n-\ldots
$$
Не знаю что с этим дальше можно сделать.

Пробовал по аналогии с гармоническим рядом:
$$
P_{2n}-P_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\ldots+\frac{1}{2n^2}<
\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}
$$
Тогда
$$
P_{4n}-P_{2n}<\frac{1}{2n}
$$
Просуммируем два последних неравенства:
$$
P_{4n}-P_n<\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}
\Leftrightarrow
P_{4n}<P_n+\frac{3}{2n}
$$
Начальное условие: $P_1=1$. Что делать дальше - непонятно.

Была идея разделить на четные и нечетные члены, но кажется это тоже тупиковый путь.

-- 16.04.2018, 11:45 --

vpb
Как считаете, до какого места мне продолжать Зельдовича? Закончить первые три части, или еще четвертую ("Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии") захватить? То что пятую часть и дальше читать не надо - понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение16.04.2018, 16:54 
Заслуженный участник


18/01/15
694
irod
Про затруднения с обратными квадратами стоило раньше написать. Да, видать недостаточно я понимаю закономерности процесса обучения...

Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.

Про Зельдовича чуть позже отвечу, надо самому туда глянуть.

-- 16.04.2018, 16:52 --

Зельдовича на день-два отложите, пока с задачей про обратные квадраты не закончим. Потом до конца 4-й главы, и задачи
конечно решайте, по мере возможности. Если что непонятно, или хотите проверить, правильно ли решили задачу, или какую-то совсем непонятно, как решать --- пишите. Еще, возможно, я буду давать Вам дальше задачи по рядам, чтобы Вы их понемногу решали на фоне Зельдовича параллельно (считаю такое разнообразие --- одно основное занятие, и что-нибудь на фоне его побочное --- полезным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение16.04.2018, 18:06 
Заслуженный участник


18/01/15
694
Скажите, а Вы что такое "сумма бесконечной геометрической прогрессии", знаете ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение17.04.2018, 17:17 


21/02/16
483
vpb в сообщении #1304814 писал(а):
Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.
Пока подумаю над этим, прошу пока больше не подсказывать :-)
vpb в сообщении #1304814 писал(а):
Зельдовича на день-два отложите, пока с задачей про обратные квадраты не закончим. Потом до конца 4-й главы, и задачи
конечно решайте, по мере возможности. Если что непонятно, или хотите проверить, правильно ли решили задачу, или какую-то совсем непонятно, как решать --- пишите.
Ок. В целом из того что я прошел мне все понятно. Даже с дифференциалом немного подружился, хотя раньше никогда его не понимал.
vpb в сообщении #1304814 писал(а):
Еще, возможно, я буду давать Вам дальше задачи по рядам, чтобы Вы их понемногу решали на фоне Зельдовича параллельно (считаю такое разнообразие --- одно основное занятие, и что-нибудь на фоне его побочное --- полезным).
Я сам так и делаю - прохожу два предмета одновременно, мне удобно этот процесс представлять в виде двух слабо связанных друг с другом потоков. Основной поток сейчас - это матан, а второй - линал и все что с ним может быть связано (ангем, комплексные числа и введение в теорию групп). Больше двух потоков одновременно мне проходить сложно. Может быть мне лучше в качестве второго потока продолжать линал? По нему еще достаточно работы. Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?
vpb в сообщении #1304843 писал(а):
Скажите, а Вы что такое "сумма бесконечной геометрической прогрессии", знаете ?
Убывающей? Да, и знаю как эту формулу вывести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение18.04.2018, 06:01 
Заслуженный участник


18/01/15
694
irod в сообщении #1305109 писал(а):
Даже с дифференциалом немного подружился, хотя раньше никогда его не понимал.
Слово "дифференциал" в 18 веке обозначало одно, а сейчас совсем другое. Точнее, сейчас в одних книжках оно имеет тот же смысл, что и в 18 веке (а именно, бесконечно малое приращение переменной или функции), а в других совсем другое (касательное отображение). А в третьих вообще третье. В книжках для физиков, как правило, первое.
irod в сообщении #1305109 писал(а):
Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?
Да, напишите как-нибудь.
irod в сообщении #1305109 писал(а):
Убывающей? Да, и знаю как эту формулу вывести.
Да, я по предыдущим сообщениям уже увидел, что знаете. Вот и хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение18.04.2018, 15:01 


21/02/16
483
vpb в сообщении #1304814 писал(а):
Да Вы уже большую часть решения нашли. Разбейте сумму, скажем, как $P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$. Если через несколько часов не увидите, что с этим делать, напишите.
Простите, но в упор не вижу куда двигаться дальше. Кажется, у меня по этой задаче уже проторенные дорожки в мозгу появились, и мысль все норовит по этим дорожкам ходить, без шага в сторону.
А в индексах Вы наверное ошиблись, там ведь выше $P_{k+1}-P_{k}$ на самом деле?
Ваш вопрос про сумму геометрической прогрессии был подсказкой к этой задаче? Если да, то знаменатель прогрессии $\frac{n^2-1}{n^2}$? В любом случае, я не вижу как можно наш ряд с убывающей прогрессией полезно сравнить.

-- 18.04.2018, 15:30 --

vpb в сообщении #1305200 писал(а):
irod в сообщении #1305109 писал(а):
Я могу позже расписать свои текущие взаимоотношения с линалом, может быть Вы мне сильно порекомендуете что-то изменить, как с Давидовичем вышло. Что скажете?
Да, напишите как-нибудь.
Я прошел несколько онлайн-курсов по линалу начального уровня, и знаю базовые вещи, типа как решать СЛАУ, определение векторного пространства и манипуляции с матрицами и определителями, собственные числа (но не дальше, например квадратичные формы я уже не знаю). После всего этого я решил взять более серьезную книгу, выбрал по рекомендациям Linear Algebra Done Right (далее LADR) - очень популярную на Западе книгу, насколько я понял. Там все изложение строится вокруг линейных операторов, утверждается что суть линала именно в них. В конце каждого параграфа есть задачи (в т.ч. на доказательство, что мне очень нравится), сверяюсь я по решебнику, найденному в сети. В процессе я осознал что у меня есть некоторые пробелы, главные из них - в плохом понимании геометрической интерпретации, незнание мотивировок к некоторым темам, ну и плюс я плохо знаком с комплексными числами и многочленами (а там в LADR целая глава про многочлены, и предполагаются какие-то предварительные знания по ним). Вообще с линалом у меня чувство что я пытаюсь разобраться с какими-то шибко абстрактными обобщениями, а что обобщается на низком уровне - не очень-то понимаю. Короче, я отложил LADR и решил пройти курс по аналитической геометрии https://openedu.ru/course/msu/ANGEOM/. Этот курс мне показался полезным, я понял откуда вылезли формулы для определителей 2-го и 3-го порядков, перестал бояться всех этих уравнений прямых, плоскостей и расстояний между ними, поразбирался со сменой системы координат. Прошел я этот курс к настоящему моменту наполовину - до линий второго порядка, и думаю проходить ли мне его сейчас до конца, или пока достаточно. Был бы Вам благодарен за совет. Я так понимаю все эти линии и поверхности второго порядка понадобятся мне в многомерном матане, до которого я еще не дошел, и возможно лучше мне допроходить этот курс непосредственно перед началом многомерного матана, чтобы из головы по-меньше выветрилось.
Я также прошел наполовину книгу «Теорема Абеля», собираюсь ее добить до конца перед возобновлением линала. Там есть перестановки с точки зрения теории групп, комплексные числа и многочлены, т.е. все мои пробелы.
Как думаете, все правильно делаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение18.04.2018, 16:32 


22/06/09
756
irod в сообщении #1305293 писал(а):
Простите, но в упор не вижу куда двигаться дальше.

Попробуйте доказать сходимость не этого ряда, а другого, похожего на него. Такого, в котором каждый член можно представить в виде разницы двух чисел так, чтобы эти числа в соседних членах друг друга уничтожали, как в цитате:
vpb в сообщении #1304814 писал(а):
$P_1+(P_2-P_1)+\ldots+ (P_{2^{k+1}}-P_{2^k})+\ldots$


irod в сообщении #1305293 писал(а):
После всего этого я решил взять более серьезную книгу, выбрал по рекомендациям Linear Algebra Done Right (далее LADR) - очень популярную на Западе книгу, насколько я понял. Там все изложение строится вокруг линейных операторов, утверждается что суть линала именно в них. В конце каждого параграфа есть задачи (в т.ч. на доказательство, что мне очень нравится), сверяюсь я по решебнику, найденному в сети. В процессе я осознал что у меня есть некоторые пробелы, главные из них - в плохом понимании геометрической интерпретации, незнание мотивировок к некоторым темам, ну и плюс я плохо знаком с комплексными числами и многочленами (а там в LADR целая глава про многочлены, и предполагаются какие-то предварительные знания по ним).

А вы её с какой скоростью читаете? Помните, с какой скоростью советовал читать математическую литературу автор в предисловии к этой книге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение18.04.2018, 19:47 
Заслуженный участник


18/01/15
694
Dragon27 в сообщении #1305316 писал(а):
Попробуйте доказать сходимость не этого ряда, а другого, похожего на него. Такого, в котором каждый член можно представить в виде разницы двух чисел так, чтобы эти числа в соседних членах друг друга уничтожали, как в цитате:

Dragon27
По моему мнению, обоснованному моим опытом (каким именно, не пишу, поскольку не хочу хвастаться и всякие личные подробности сюда писать; если хотите, могу в ЛС), тот путь, на который я пытаюсь товарища навести, гораздо более поучителен и полезен, чем то, что Вы подразумеваете. Не могли бы Вы не давать товарищу советов до тех пор, пока он не решит данную задачу, самостоятельно или с теми подсказками, которые я ему даю? Потом, если хотите, можете дать ему какую-нибудь свою задачу и руководить процессом решения, я отнюдь не против. Но в данный момент Ваша подсказка очень нежелательна.
irod в сообщении #1305293 писал(а):
Ваш вопрос про сумму геометрической прогрессии был подсказкой к этой задаче?
Да.
irod в сообщении #1305293 писал(а):
А в индексах Вы наверное ошиблись, там ведь выше $P_{k+1}-P_{k}$ на самом деле?
Отнюдь. Я именно то и написал, что в виду имел.

Подумайте еще несколько часов, и потом уж следующую подсказку дам (не далее чем через сутки).

-- 18.04.2018, 18:52 --

Чтобы не было недоразумений, повторим еще раз. Члены в сумме группируются так:
$1$;
$1/2^2$;
$1/3^2$, $1/4^2$;
$1/5^2$, $1/6^2$, $1/7^2$, $1/8^2$;
и так далее.

-- 18.04.2018, 18:57 --

Dragon27
Не хочу Вас задеть и ценю Ваш энтузиазм, но все же прошу проявить некоторое терпение, по крайней мере применительно к данной задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса
Сообщение18.04.2018, 20:47 


22/06/09
756
vpb
Мне просто показалось, что irod - fair game :-)
Ладно, не буду ничего подсказывать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 282 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group