Возьмем две категории
и
и некоторый класс функторов вида
, который мы обозначим
. Естественно было бы назвать преобразованием функторов функцию
.
Мы хотим организовать функторы
в категорию. Объекты уже есть: это функторы
. Теперь надо придумать стрелки. То есть для каждой пары функторов -- множество стрелок между ними, а также композицию стрелок.
А вы хотите взять какой-то подкласс класса объектов и каждый объект оттуда куда-то послать. Это что-то не то. Если бы вы говорили про группы, то ваша фраза звучала бы так:
Возьмём некоторый класс групп . Естественно было бы назвать гомоморфизмом в категории групп функцию ...
Дальше не комментирую, потому что сначала тут бы разобраться (дальше тоже странное написано).
А чтобы разобраться, советую внимательно подумать про пример с определителем. А именно, возьмём два функтора из категории полей в категорию групп: один
, который полю
сопоставляет группу
невырожденных
матриц с элементами из
(а как он действует на гомоморфизмах полей, сообразите сами); другой
, который полю
сопоставляет мультипликативную группу
этого поля (а как он действует на гомоморфизмах полей, сообразите сами). Докажите, что определитель
задаёт естественное преобразование
.
Обратите в частности внимание, что если мы знаем гомоморфизм полей
и умеем считать определитель любой матрицы из
, то у нас имеется совершенно естественный кандидат на роль определителя
соответствующей матрицы из
...