Написал учебник теории категорий

[george66]

Ключевая мысль такая "учебников должно быть несколько". По-английски так и есть, есть выбор. Может, теперь кто-нибудь переведёт и Ловера.

[Munin]

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):

Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий

А это вообще хорошо? Может, ради гомотопий всё и затевалось?

[mathematics_fan]

Munin в сообщении #1227772 писал(а):

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):

Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий

А это вообще хорошо? Может, ради гомотопий всё и затевалось?

Может, ради гомотопий всё и затевалось, но потом-то область их применения стала шире.

"Сами категории, функторы и естественные преобразования были открыты Эйленбергом и Маклейном при изучении пределов (при естественных преобразованиях) в связи с теоремами об универсальных коэффициентах когомологий Чеха. В этой статье были напечатаны коммутативные диаграммы (вероятно, впервые). Таким образом, одним из первых рассмотренных функторов оказался Ext"

[george66]

Маклейн учился логике у Гильберта в Германии. Видимо, он шире смотрел на вещи.

[Munin]

mathematics_fan в сообщении #1227879 писал(а):

Может, ради гомотопий всё и затевалось, но потом-то область их применения стала шире.

Ну и пускай. Это не повод (ещё) стремиться изложить всё без гомотопий. Зачем искать неестественные пути?
(Подчеркну: в учебниках. Как исследовательское направление - пожалуйста. Надо попробовать и так и сяк, и потом смотреть, получилось ли вообще, и как лучше.)

[g______d]

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):

Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий

mathematics_fan в сообщении #1227879 писал(а):

Может, ради гомотопий всё и затевалось, но потом-то область их применения стала шире.

Можете пояснить, пожалуйста, что означает "без гомотопий" в данном контексте?

[mathematics_fan]

g______d в сообщении #1227956 писал(а):

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):

Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий

mathematics_fan в сообщении #1227879 писал(а):

Может, ради гомотопий всё и затевалось, но потом-то область их применения стала шире.

Можете пояснить, пожалуйста, что означает "без гомотопий" в данном контексте?

"Без гомотопий" - это значит, что учебник не ставит своей целью преподать теорию категорий как инструмент для изучения гомотопий, а ставит целью преподать ее как самостоятельный предмет

[g______d]

mathematics_fan в сообщении #1228022 писал(а):

учебник не ставит своей целью преподать теорию категорий как инструмент для изучения гомотопий

А какие учебники теории категорий ставят? Я просто не очень понимаю противопоставления.

[mathematics_fan]

Munin в сообщении #1227934 писал(а):

mathematics_fan в сообщении #1227879 писал(а):

Может, ради гомотопий всё и затевалось, но потом-то область их применения стала шире.

Ну и пускай. Это не повод (ещё) стремиться изложить всё без гомотопий. Зачем искать неестественные пути?
(Подчеркну: в учебниках. Как исследовательское направление - пожалуйста. Надо попробовать и так и сяк, и потом смотреть, получилось ли вообще, и как лучше.)

Это уже скорее вопрос из области педагогики. Если учебник предназначен для тех, кто планирует специализироваться на гомотопиях, то вы, наверное, правы, и излагать эту теорию так, как она складывалась исторически, с гомотопиями, будет целесообразным. Если же стоит цель, цитирую автора исходного сообщения, написать "учебник теории категорий, доступный мат.логикам и функциональным программистам", то излагать гомотопии будет излишним.

-- 21.06.2017, 22:24 --

g______d в сообщении #1228030 писал(а):

mathematics_fan в сообщении #1228022 писал(а):

учебник не ставит своей целью преподать теорию категорий как инструмент для изучения гомотопий

А какие учебники теории категорий ставят? Я просто не очень понимаю противопоставления.

Автор исходного поста написал, что "поставил целью написать учебник теории категорий, доступный мат.логикам и функциональным программистам, в котором не будет ни слова про гомотопии и гомологии".

[g______d]

mathematics_fan в сообщении #1228038 писал(а):

Автор исходного поста написал, что "поставил целью написать учебник теории категорий, доступный мат.логикам и функциональным программистам, в котором не будет ни слова про гомотопии и гомологии".

Если говорить про гомотопическую топологию, то я не знаю ни одного учебника по ТК, который явно или неявно заявлял, что она является конечной целью. Если говорить про гомологическую алгебру, то такое бывает, и даже гомотопическая категория там используется как промежуточная на пути к построению производной категории, но каким боком там "конечной целью являются гомотопии" -- тоже не понимаю.

Перефразировать таким образом слова ТС, понимая их, довольно сложно.

[ivvan]

george66 в сообщении #1218238 писал(а):

Теоретико-множественная функция определяется как множество пар. Например, функция на натуральных числах, тождественно равная нулю, определяется как множество пар $(0,0), (1,0), (2,0)\ldots$ По ней можно восстановить область определения, но нельзя восстановить область значений (виден один 0), что написано в Примере 1.3

А почему для функторов будет хуже?

Цитата:

по функтору (то есть, паре отображений)
восстановить категории $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ в общем случае нельзя

(Оффтоп)

Каким образом сделать обозначения как в учебнике?

[george66]

По функтору мы можем восстановить множество объектов и множество морфизмов области определения, но как делается композиция стрелок, уже не видно. Поэтому даже категорию, из которой он действует, восстановить нельзя.
\mathsf{K} (рекомендовал В.Е.Плиско)

[ivvan]

george66 в сообщении #1236692 писал(а):

По функтору мы можем восстановить множество объектов и множество морфизмов области определения, но как делается композиция стрелок, уже не видно.

Правильно понимаю, что также могут не восстановиться начала с концами и тождества?

(Оффтоп)

$\mathsf{K}_1,\mathsf{K}_2$

[george66]

ivvan в сообщении #1236710 писал(а):

george66 в сообщении #1236692 писал(а):

По функтору мы можем восстановить множество объектов и множество морфизмов области определения, но как делается композиция стрелок, уже не видно.

Правильно понимаю, что также могут не восстановиться начала с концами и тождества?

Правильно. Простой пример - гомоморфизм полугрупп с единицей. Для ещё большей простоты пусть он действует в полугруппу из одного элемента (единичного). Про первую полугруппу мы не знаем ничего, кроме множества элементов.

[ivvan]

george66 в сообщении #1236692 писал(а):

\mathsf{K}

george66 в сообщении #1236712 писал(а):

Правильно.

Все понял, спасибо за ответ.