Написал учебник теории категорий

[george66]

Существует альтернативный подход (в книге Фрейда и Щедрова), где все диаграммы по умолчанию предполагаются коммутативными, но он технически сложнее (некоммутативные части диаграммы приходится помечать специальными значками). Я даже колебался, не взять ли его за основу, но решил, что будет слишком сложно.

[george66]

У меня в учебнике есть одна некоммутативная диаграмма на стр. 363! Конечно, некоммутативные диаграммы нужны редко.

[Anton_Peplov]

А можно какой-нибудь практический пример естественного преобразования? Практический - в смысле из алгебры, теории множеств и т.д. А то на первый брошенный на определение взгляд оно выглядит очень странной и искусственной штукой, а называется "естественным".

[george66]

Вся глава "Топосы вида Set^K" состоит из примеров. Впоследствии будет также много примеров из самой теории категорий (все изоморфизмы, возникающие естественным путём, вроде $A\times B\cong B\times A$, естественны). Алгебраические примеры (с группами и кольцами) я, извините, придумывать не буду, но их много в книге Маклейна.

[kp9r4d]

Естественное преобразование - это наиболее естественное определение того, что хотелось бы называть "морфизмом между функторами". Я приведу несколько групп примеров.

1 Эквивалентность категорий. Если у нас есть категории $\mathbf{A},\mathbf{B}$, пара функторов $F: \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ и $G : \mathbf{B} \to \mathbf{A}$ таких, что $G \circ F = 1_\mathbf{A}$ и $F \circ G = 1_\mathbf{B}$, где под "$=$" понимается эквивалентность функторов - то такие категории называются эквивалентными и, в некотором смысле, неразличимыми с точки зрения категорных конструкций.
-Категория $\mathbf{Vect}_{Fin}$ конечномерных векторных пространств с морфизмами - линейными отображениями эквивалентна категории, объекты которой $\mathbb{R}^n$ а морфизмы - матрицы. Это означает, что язык матриц и $\mathbb{R}^n$ и линейных операторов и векторных пространств - один и тот же.
-Категория множеств эквивалентна категории кардиналов.
-Категория полных линейных порядков эквивалентна категории ординалов.
-Категория коммутативных унитальных $C^*$-алгебр антиэквивалентна категории компактных топологических пространств.
-Категория коммутативных колец с единицей антиэквивалентна категории аффинных схем.
-Если у нас есть группоид $\mathcal{B}$ с отмеченной точкой $b$, то категория орбит фундаментальной группы $\mathcal{O}(\pi(\mathcal{B},b))$ эквивалентна категории накрытий группоида $Cov(\mathcal{B})$.

2. Алгебраические конструкции
-Функтор из группы (категории с одной точкой и по стрелке на каждый элемент) в категорию $\mathbf{Vect}_{Fin}$ называется "линейным представлением группы", естественные преобразования - то, что в алгебре называется морфизмами представлений.
-Точно так же можно определить действия группоидов на категорию и их морфизмы.
-Функтор из категории $\mathbf{C}$ в $\mathbf{Set}^{op}$ называется "предпучком в $\mathbf{C}$", естественное преобразование - морфизм предпучков.
-$\det : \mathrm{GL}_n \to (-)^*$ тоже будет естественным преобразованием (определитель).

[Anton_Peplov]

Спасибо!

[vpb]

Попробую пояснить, что такое функторы и естественные преобразования, на примере.

Рассмотрим совокупность всех конечных множеств и всех отображений между ними. По множеству можно строить разные другие множества, например можно образовать его декартов квадрат (совокупность всех упорядоченных пар элементов данного множества), множество всех его подмножеств этого множества, множество всех отображений из данного множества в его декартов куб, и т.д. Короче, есть совокупность разных способов из одних множеств конструировать другие.

Более того, обычно "конструкция для множеств" определяет, совершенно естественным способом, и "конструкцию для отображений". Скажем, пусть мы уговорились каждому множеству $X$ сопоставлять его декартов квадрат $X\times X$. Тогда каждому отображению $f:X\longrightarrow Y$ естественно сопоставить отображение $\widehat f:X\times X\longrightarrow Y\times Y$, определяемое как $\widehat f((a,b))=(f(a),f(b))$. Эти сопоставления согласованы с операцией композиции отображений. А именно, пусть у нас есть три множества $A$, $B$, и $C$, и два отображения $f:A\longrightarrow B$, $g:B\longrightarrow C$, и пусть $h=gf:A\longrightarrow C$ --- композиция этих отображений. Сопоставим им отображения $\widehat f:A\times A\longrightarrow B\times B$, $\widehat g:B\times B\longrightarrow C\times C$, $\widehat h:A\times A\longrightarrow C\times C$, по правилу, описанному выше. Тогда легко проверить, оставим это читателю, что $\widehat h=\widehat g\widehat f$, т.е. $\widehat{gf}=\widehat g\widehat f$. Также несложно проверить (собственно, это ясно), что если $e={\rm id}_A$ --- тождественное отображение на множестве $A$, то $\widehat e$ --- тождественное отображение на $A\times A$.

Говоря научным языком, вышесказанное означает, что правило $(A\mapsto A\times A,\ f\mapsto\widehat f)$ --- это
функтор из категории конечных множеств в себя. Более точно, если ${\mathcal C}$ и ${\mathcal D}$ --- две категории, то функтор $\Phi:{\mathcal C}\longrightarrow{\mathcal D}$ --- это правило, которое относит каждому объекту
$X\in{\rm Ob\,}{\mathcal C}$ некоторый объект $\Phi(X)\in{\rm Ob\,}{\mathcal D}$, а каждому морфизму $f\in{\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ --- некоторый морфизм $\Phi(f)\in{\rm Hom}_{\mathcal D}(\Phi(X),\Phi(Y))$, причем для любых трех объектов $X$, $Y$, $Z$ и двух ${\mathcal C}$-морфизмов $f:X\longrightarrow Y$, $g:Y\longrightarrow Z$ выполнено равенство $\Phi(gf)=\Phi(g)\Phi(f)$, а также $\Phi({\rm id}_X)={\rm id}_{\Phi(X)}$ для любого объекта $X$ из $\mathcal C$.

Разумеется, может быть много функторов из одной категории в другую. Вот еще один функтор из категории всех конечных множеств и их отображений в себя. Для конечного множества $X$ пусть $X^{\leq2}$ --- это множество всех непустых подмножеств, состоящих из $\leq2$ элементов. Если $f:X\longrightarrow Y$ --- отображение двух множеств, а $A\subseteq X$ --- подмножество из $\leq2$ элементов, то ясно, что и $f(A)\subseteq Y$ тоже содержит не более двух элементов. Поэтому $f$ индуцирует отображение $X^{\leq2}\longrightarrow Y^{\leq2}$, которое обозначим $f^{\leq2}$.
Упражнение. Проверить, что правило $X\mapsto X^{\leq2}$, $f\mapsto f^{\leq2}$ --- функтор.
(По-видимому, это упражнение очевидно... все же оставим.)

Как соотносятся между собой различные функторы из одной категории в другую? Пусть опять $X$ --- конечное множество. Есть некий совершенно естественный способ отобразить $X\times X$ в $X^{\leq2}$, а именно, упорядоченная пара $(x,y)\in X\times X$ переходит во множество $\{x,y\}\in X^{\leq2}$; последнее содержит один элемент, если $x=y$, и два иначе, так что действительно получается отображение из $X\times X$ в $X^{\leq2}$. Обозначим это отображение $T_X$. Легко видеть, что отображения $T_X$ для различных множеств $X$ согласованы между собой, в следующем смысле: $T_Y\circ\widehat f=f^{\leq2}\circ T_X$ для любого отображения $f:X\longrightarrow Y$ (в последнем равенстве, заметим, и левая, и правая части являются отображениями из $X\times X$ в $Y^{\leq2}$). Иначе говоря, диаграмма

$$ \xymatrix{ X\times X \ar[r]^{\widehat f} \ar[d]_{T_X} & Y\times Y \ar[d]^{T_Y} \\ X^{\leq2} \ar[r]^{f^{\leq2}} & Y^{\leq2} } $$

коммутативна.

Дадим общее определение.
Определение. Пусть ${\mathcal C}$ и ${\mathcal D}$ --- две категории, $\Phi$ и $\Psi$ --- функторы из ${\mathcal C}$ в ${\mathcal D}$. Естественное преобразование $T$ функтора $\Phi$ в $\Psi$ --- это правило, сопоставляющее каждому объекту $X\in{\rm Ob\,}{\mathcal C}$ морфизм $T_X\in{\rm Hom}_{\mathcal D}(\Phi(X),\Psi(X))$ так, что для любых $X,Y\in{\rm Ob\,}{\mathcal C}$ и $f\in{\rm Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ диаграмма

$$ \xymatrix{\Phi(X) \ar[r]^{\Phi(f)} \ar[d]_{T_X} & \Phi(Y) \ar[d]^{T_Y} \\ \Psi(X) \ar[r]^{\Psi(f)} & \Psi(Y) } $$

коммутативна.

Если ${\mathcal C}$ и ${\mathcal D}$ --- две категории, то множество всех функторов из ${\mathcal C}$ в ${\mathcal D}$
и всех их естественных преобразований само образует категорию (объекты этой категории --- функторы, а морфизмы ---
естественные преобразования функторов).

Теперь, для закрепления пройденного, предлагается задача.
Задача. Пусть ${\mathcal C}$ --- категория всех конечных множеств, $I$ --- тождественный функтор на ${\mathcal C}$, а $\Phi:X\mapsto X\times X$ и $\Psi:X\mapsto X^{\leq2}$ ---- функторы из ${\mathcal C}$ в себя, описанные выше.
Найти все естественные преобразования между каждыми двумя из трех функторов $I$, $\Phi$, $\Psi$, и доказать (!!!), что
других нет. (Их всего конечное число, в пределах двух десятков). (Т.е., описать "полную подкатегорию в категории всех
функторов из ${\mathcal C}$ в себя, порожденную объектами $I$, $\Phi$, $\Psi$.")

Следует сказать, что задача эта довольно сложная, думать над ней надо долго. Но ничего сверхъестественного, олимпиадного, в ней нет решительно. Ничего не требуется, окромя длительного размышления. Зато, как ее решите, у вас в голове должно улучшиться понимание того, что такое категория, функтор, и естественное преобразование. (Просьба, однако, к тем, кто будет решать эту задачу и захочет (если), чтоб их решения проверили (я имею в виду не только Anton_Peplov, но и вообще и в будущем), не писать прямо здесь, а завести отдельную тему или прятать решения под ярлычок (кажется, он называется спойлер, я в этой терминологии не силен?), чтоб других пользователей не лишать возможности решить задачу самостоятельно.)

[george66]

vpb в сообщении #1219292 писал(а):

Скажем, пусть мы уговорились каждому множеству $X$ сопоставлять его декартов квадрат $X\times X$.

Только не надо называть это "декартовым квадратом".

[Anton_Peplov]

george66 в сообщении #1219294 писал(а):

Только не надо называть это "декартовым квадратом".

Почему?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1219332 писал(а):

Почему?

Потому что :)

[Anton_Peplov]

"Двойственное понятие - кодекартов квадрат". В честь великого математика Кодекарта.

[Munin]

То есть, $X\times X$ является частным случаем декартова квадрата в категории множеств при $Z=\{*\}$? А, в английской wiki это и написано:

https://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_(category_theory) писал(а):

Pullback and product

The pullback is similar to the product, but not the same. One may obtain the product by "forgetting" that the morphisms $f$ and $g$ exist, and forgetting that the object $Z$ exists. [...] Instead of "forgetting" $Z, f,$ and $g,$ one can also "trivialize" them by specializing $Z$ to be the terminal object (assuming it exists). $f$ and $g$ are then uniquely determined and thus carry no information, and the pullback of this cospan can be seen to be the product of $X$ and $Y.$

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1219292 писал(а):

Скажем, пусть мы уговорились каждому множеству $X$ сопоставлять его декартов квадрат $X\times X$.

vpb в сообщении #1219292 писал(а):

Говоря научным языком, вышесказанное означает, что правило $(A\mapsto A\times A,\ f\mapsto\widehat f)$ --- это функтор из категории конечных множеств в себя.

Откуда во второй фразе взялась конечность множеств, если между первой и второй фразами она нигде не упоминалась? Вы хотели сказать "мы уговорились каждому конечному множеству $X$ сопоставлять его декартов квадрат $X\times X$"?

[vpb]

Про терминологию. Словосочетание "декартов квадрат" имеет два значения: (1) Прямое, оно же декартово произведение
множества на себя, и (2) Расслоенное произведение, в какой-либо категории. В значении (1) оно употребляется чаще,
по моему опыту (см., например, учебник "Введение в алгебру", в котором, в свою очередь, терминология, кажись, из Бурбаки заимствована; и много других источников, Гугл в помощь). Довольно очевидно, что (2) произошло от (1) (точнее, от декартова произведения), но со временем стало употребляться самостоятельно. Но и исходное значение отнюдь не отмерло (а как, в самом деле, еще называть $X\times X$ ?)

Про конечность. Я все время подразумеваю конечные множества, чтобы голову себе меньше морочить. Но можно считать и произвольные, разницы, по сути, нет.

[Anton_Peplov]

Я не могу понять логику этой терминологии. Возьмем две категории $\mathcal C$ и $\mathcal D$ и некоторый класс функторов вида $\mathcal C \to \mathcal D$, который мы обозначим $\mathbb F$. Естественно было бы назвать преобразованием функторов функцию $\tau: \mathbb {F \to F}$. Возьмем пару функторов $\Phi, \Psi$ такую, что $\tau(\Phi) = \Psi$. Рассмотрим детальнее, как преобразование $\tau$ действует на $\Phi$. Функтор $\Phi$ делает из объекта $X \in \mathrm{Ob} \ \mathcal C$ объект $\Phi(X)$, а функтор $\Psi$ - объект $\Psi(X)$. Значит, $\tau$ для каждого $X \in \mathrm{Ob} \ \mathcal C$ определяет стрелку $T_x: \Phi(X) \to \Psi(X)$. Естественно собрать эти $T_x$ в одно отображение $T$ из класса $\mathrm{Ob} \ \mathcal C$ в класс $\mathrm{Mor} (\Phi(X), \Psi(X))$ (класс всех стрелок вида $\Phi(X) \to \Psi(X)$ в категории $\mathcal D$). Аналогично определяется отображение $U$ из класса $\mathrm{Mor} \ \mathcal C$ в класс $\mathrm{Mor} (\Phi(f), \Psi(f))$. Преобразование $\tau: \mathbb {F \to F}$ задается упорядоченной парой $\langle T, U \rangle$.

Но мы почему-то напрочь забываем про $U$ и называем преобразованием функторов одно $T$, хотя одного $T$ недостаточно, чтобы по функтору $\Phi$ восстановить функтор $\Psi$. Или при условии, что для любого $f \in \mathrm{Mor} \ \mathcal C$ коммутативна упомянутая выше диаграмма, возможно? Но как?