Написал учебник теории категорий

[Padawan]

Я естественное преобразование понимаю так: если есть какая-то картинка из объектов и стрелок в категории $\mathcal C$, то функторы $\Phi$ и $\Psi$ переводят её в аналогичную картинку в категории $\mathcal D$. Естественное преобразование позволяет объединить эти две картинки в одну коммутативную диаграмму, соединив каждую вершину $\Phi(X)$ c соответствующей вершиной $\Psi(X)$ стрелочкой $T_X$.

-- Ср май 31, 2017 21:11:33 --

Anton_Peplov
Естественное преобразование определяется для двух функторов, это не отображение из одного семейства функторов в другое.

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1220561 писал(а):

Возьмем две категории $\mathcal C$ и $\mathcal D$ и некоторый класс функторов вида $\mathcal C \to \mathcal D$, который мы обозначим $\mathbb F$. Естественно было бы назвать преобразованием функторов функцию $\tau: \mathbb {F \to F}$.

Мы хотим организовать функторы $C\to D$ в категорию. Объекты уже есть: это функторы $C\to D$. Теперь надо придумать стрелки. То есть для каждой пары функторов -- множество стрелок между ними, а также композицию стрелок.

А вы хотите взять какой-то подкласс класса объектов и каждый объект оттуда куда-то послать. Это что-то не то. Если бы вы говорили про группы, то ваша фраза звучала бы так:

Возьмём некоторый класс групп $\mathbb F$. Естественно было бы назвать гомоморфизмом в категории групп функцию $\tau: \mathbb {F \to F}$...

Дальше не комментирую, потому что сначала тут бы разобраться (дальше тоже странное написано).

А чтобы разобраться, советую внимательно подумать про пример с определителем. А именно, возьмём два функтора из категории полей в категорию групп: один $GL_n$, который полю $F$ сопоставляет группу $GL_n(F)$ невырожденных $n\times n$ матриц с элементами из $F$ (а как он действует на гомоморфизмах полей, сообразите сами); другой $M$, который полю $F$ сопоставляет мультипликативную группу $M(F)$ этого поля (а как он действует на гомоморфизмах полей, сообразите сами). Докажите, что определитель $\det$ задаёт естественное преобразование $GL_n\to M$.

Обратите в частности внимание, что если мы знаем гомоморфизм полей $F\to G$ и умеем считать определитель любой матрицы из $GL_n(F)$, то у нас имеется совершенно естественный кандидат на роль определителя соответствующей матрицы из $GL_n(G)$...

[george66]

Антон, а понятна ли глава "Топосы вида Set^K"? Она вся состоит из примеров естественных преобразований. Я, честно, говоря, не понимаю ваших затруднений. Каждое естественное преобразование действует из одного функтора в другой, никакие классы функторов не нужны, нужно ровно два функтора -- начало и конец. Как между двумя категориями есть функторы, так между двумя функторами есть естественные преобразования. Между точками поверхности есть пути, между путями есть гомотопии путей друг в друга. Категории как точки, функторы как пути, естественные преобразования как гомотопии. В главе "Топосы вида Set^K" нарисованы некоторые функторы над простыми K, их можно рисовать. Между ними нарисованы некоторые естественные преобразования. В каком месте там непонятно?

[Anton_Peplov]

Slav-27
Честное слово, я не понимаю, как можно было фразу

Anton_Peplov в сообщении #1220561 писал(а):

Возьмем две категории $\mathcal C$ и $\mathcal D$ и некоторый класс функторов вида $\mathcal C \to \mathcal D$, который мы обозначим $\mathbb F$. Естественно было бы назвать преобразованием функторов функцию $\tau: \mathbb {F \to F}$.

прочитать как

Slav-27 в сообщении #1220571 писал(а):

А вы хотите взять какой-то подкласс класса объектов и каждый объект оттуда куда-то послать.

Давайте, еще раз, по пунктам.
1. Есть категория $\mathcal C$ и категория $\mathcal D$.
2. Есть функторы из $\mathcal C$ в $\mathcal D$. Много функторов. Для простоты пусть их $100^{500}$. $F_1: \mathcal {C \to D}$, $F_2: \mathcal {C \to D}$,... $F_{100^{500}}: \mathcal {C \to D}$.
3. Все эти функторы вместе образуют множество $\mathbb F$, в котором $100^{500}$ элементов.
4. Мы хотим научиться из одного функтора, принадлежащего $\mathbb F$, делать другой.
5. Обычно, когда мы хотим научиться делать из яблок груши, мы задаем функцию из множества яблок в множество груш. В данном случае мы задаем функцию $\tau: \mathbb {F \to F}$.
До этого момента понятна мысль моя неглубокая? Если нет, в каком месте? Если да, в чем был корень непонимания в первый раз?

-- 31.05.2017, 21:09 --

Остальным участникам: обязательно отвечу всем, но давайте по порядку. А то здесь все запутается и смешается.

[george66]

Это не то. Естественное преобразование не делает из одного функтора другой (как линейное преобразование не делает из одного линейного пространства другое). Было, кстати, предложение называть естественные преобразования "функторными морфизмами", но не прижилось.

[Anton_Peplov]

george66 в сообщении #1220636 писал(а):

Естественное преобразование не делает из одного функтора другой (как линейное преобразование не делает из одного линейного пространства другое)

Мне кажется, это трудности применения бытового языка. Вот я сказал, что преобразование функтора $\Phi: \mathcal{C \to D}$ в функтор $\Psi: \mathcal{C \to D}$ - это функция $\tau$, заданная на одноэлементном множестве $\{\Phi\}$ такая, что $\tau(\Phi) = \Psi$, а если мы наложим на эту функцию еще одно условие (выраженное той самой диаграммой), то преобразование будет естественным. Совершил ли я ошибку, когда это сказал? Если да, какую?

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1220630 писал(а):

4. Мы хотим научиться из одного функтора, принадлежащего $\mathbb F$, делать другой.

Нет.

Идея в том, чтобы образовать категорию, объектами которой были бы функторы из $\mathcal C$ в $\mathcal D$. Морфизмы этой категории называются естественные преобразования (подобно тому как морфизмы в категории векторных пространств называются линейными отображениями). Поэтому нужно для каждой пары объектов (то есть функторов) определить множество морфизмов между ними, а также определить композиции морфизмов.

А то что вы пишете -- это, может, какой-то смысл и имеет, но это не про естественные преобразования.

[Anton_Peplov]

Я подумаю об этом завтра.

[george66]

Давайте соблюдать обозначения (не обозначать функторы буквами фи и пси). Пусть даны два функтора $F\colon K_1\to K_2$ и $G\colon K_1\to K_2$. "Функция, заданная на одноэлементном множестве $\{F\}$" это пара $(F,G)$. Разве нет? Налагать на неё какие-то условия бесполезно.

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1220643 писал(а):

Вот я сказал, что преобразование функтора $\Phi: \mathcal{C \to D}$ в функтор $\Psi: \mathcal{C \to D}$ - это функция $\tau$, заданная на одноэлементном множестве$\{\Phi\}$ такая, что $\tau(\Phi) = \Psi$... Совершил ли я ошибку, когда это сказал?

Я не знаю, что такое "преобразование функтора в функтор", подозреваю, что это вы придумали. "Естественное преобразование" -- единый термин, и он не означает функцию на одноэлементном множестве.

[Anton_Peplov]

george66 в сообщении #1220655 писал(а):

"Функция, заданная на одноэлементном множестве $\{F\}$" это пара $(F,G)$. Разве нет? Налагать на неё какие-то условия бесполезно.

Да. Я поставил телегу впереди лошади.

[Anton_Peplov]

Хорошо, давайте рассмотрим пример vpb. Есть два функтора $\mathrm{Set \to Set}$:
1. Функтор $F^\times$ из множества $X$ делает $X \times X$, а из функции $f: X \to Y$ функцию $f^\times: X \times X \to Y \times Y: (x_1, x_2) \to (f(x_1), f(x_2))$
2. Функтор $F^{1,2}$ из множества $X$ делает [math]$X^{1,2}$ - систему всех подмножеств $X$, содержащих 1 или 2 элемента. Из функции $f: X \to Y$ функтор делает функцию $f^{1,2}: X^{1,2} \to Y^{1,2}: f^{1,2}(A) = f(A)$. Т.е. $f^{1,2}(\{x_1, x_2\}) = \{f(x_1), f(x_2)\}$.

Существует интуитивно естественный способ отобразить $X \times X$ на $X^{1,2}$: $(x_1, x_2) \to \{x_1, x_2\}$. Обозначим эту функцию $T_x$. Соответственно, функцию $Y \times Y$ на $Y^{1,2}$: $(y_1,y_2) \to \{y_1, y_2\}$ обозначим $T_y$.

Подметим то самое заветное свойство: для любой функции $f: X \to Y$ верно $f^{1,2} \circ T_x = T_y \circ f^\times$.

Взглянем на всю конструкцию еще раз. Есть два функтора с одним и тем же началом $\mathrm{Set}$. Функтор $F^\times$ делает из объекта $X$ $F^\times(X)$, Функтор $F^{1,2}$ делает из объекта $X$ $F^{1,2}(X)$. Для каждого аргумента $X$ мы определяем отображение $T_x$ между $F^\times(X)$ и $F^{1,2}(X)$. Естественно собрать эти $T_x$ в одно отображение $T$ из класса всех объектов $\mathrm{Set}$ в класс всех стрелок вида $F^\times(X) \to F^{1,2}(X)$, который в обозначениях учебника можно записать как $\mathrm{Set}(F^\times(X), F^{1,2}(X))$. Итого $T$ удовлетворяет определению естественного отображения $F^\times \to F^{1,2}$.

До этого момента все правильно?

[vpb]

Anton_Peplov
да, до сих пор Вы всё правильно поняли, вроде.

[Anton_Peplov]

Итак, естественное преобразование $T$ полностью задается классом функций $\{T_x: X \times X \to X^{1,2}\}$, где $X$ пробегает весь класс множеств. Для каждого $X$ отображение $T_x$ имеет вид $(x_1, x_2) \to \{x_1, x_2\}$. Говорят, что $T$ - это стрелка в категории функторов $\mathrm{Set \to Set}$. Раз это стрелка, начало у нее одно и конец тоже один. Я ожидаю, что класс $\{T_x\}$, раз он задает стрелку $T$, однозначно определит ее начало и конец. Вопрос: какой функтор является началом $T$, а какой концом $T$? Ответ:
1) Функтор $F_{begin}$ (начало $T$) из любого множества $X$ делает $X \times X$, т.е. область определения $T_x$.
2) Функтор $F_{end}$ (конец $T$) из любого множества $X$ делает $X^{1,2}$, т.е. область значений $T_x$ (я придерживаюсь определения функции $X \to Y$ как упорядоченной тройки $\langle X, \Gamma, Y\rangle$, т.е. у функции только одна область значений).
3) Для любой функции $f: X \to Y$ верно $F_{end}(f) \circ T_x = T_y \circ F_{begin}(f)$.

Вот и вопрос: условиям 1) - 3) удовлетворяет только одна пара функторов $\mathrm{Set \to Set}$ или много пар? Если опустить условие 3), то явно много, т.к. условия 1)-2) фиксируют только действие функторов на объекты $\mathrm{Set}$, но никак не фиксируют их действия на стрелки. Вносит ли однозначность условие 3)?

[george66]

По естественному преобразованию его начало и конец однозначно восстановить нельзя (по функтору тоже), поэтому приходится вводить понятие "протоморфизм". Смотрите определение 6.6.