2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6496
Т.е. естественное преобразование - это не морфизм, а протоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 18:23 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Да. Функтор тоже. Начала и концы надо указывать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 20:52 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
Общепринятая позиция --- что естественное преобразование всегда считается данным вместе со своими началом и концом.
У преобразования $T$ из примера начало --- это $F^\times$, а конец $F^{1,2}$. Естественное преобразование --- это не просто коллекция стрелок $\{T_X\mid X\in{\mathcal C}\}$. В принципе, может быть, что $F,G,F',G': {\mathcal C} \longrightarrow {\mathcal D}$ --- четыре функтора, причем $F(X)=F'(X)$, $G(X)=G'(X)$ для каждого объекта $X\in\:{\rm Ob\,}{\mathcal C}$, а $T=\{T_X:F(X)\longrightarrow G(X)\mid X\in{\mathcal C}\}$ --- некоторая коллекция морфизмов в ${\mathcal D}$, причем являющаяся естественным преобразованием как между $F$ и $G$, так и между $F_1$ и $G_1$. Почему бы и нет? Правда, мне этакие примеры никогда не встречались. Короче, вполне аналогично тому, что отображения ${\mathbb Z}\longrightarrow {\mathbb Z}$ и ${\mathbb Z}\longrightarrow{\mathbb R}$, переводящие каждый элемент в нуль --- это таки разные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 21:11 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Тогда надо каждый раз объяснять "функтор -- это тройка (начало, что-то полезное, конец), естественное преобразование -- это тройка (начало, что-то полезное, конец)" и так далее. Не лучше ли объяснить схему один раз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 23:20 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
george66
Вы знаете, я привык к более традиционному способу изложения учения о категориях, при котором у всякого морфизма, функтора или естественного преобразования одно начало и один конец. Да и во всех книжках, вроде бы, так поступают
(во всяком случае раньше так было).

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение01.06.2017, 23:36 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Я же не сам придумал, а взял в книге Фрейда и Щедрова (двух очень больших авторитетов). Книжка, кстати, радикальная, я далеко не всё оттуда взял. Например, они доводят до ума язык диаграмм, но их вариант сложнее обычного и я, поразмыслив, решил не брать (хотя хотелось).

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 04:00 
Заслуженный участник


18/01/15
2237
Ну, стало быть, я более-менее радикальных книжек не читал, да оно мне как-то и не надо... Да и как-то сил и времени на это нет. Вообще, я думаю, разным математикам, логикам и компьютерным ученым нужна разная теория категорий, а большинству вообще никакая, и ни по агрессивному невежеству, а просто не нужна для их задач. А некоторым иногда нужна.
Мне, например, бывает нужна и полезна, но так ... не шибко. В пределах элементарного. (Честно говоря, боюсь дальше развивать эту тему, а то тут та-акая ругня может начаться, хоть святых выноси. Было уже месяца два назад :wink: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
george66 в сообщении #1221340 писал(а):
Книжка, кстати, радикальная

А вот это хорошо ли? Лучше давать в учебнике нечто общепринятое, консенсус. Или предупреждать о разных вариантах (в физике рассказывают о разных системах единиц, о соглашениях выбора знака). А вы берёте за основу нечто необщепринятое, и не предупреждаете об этом читателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 16:12 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Консенсус был такой: теорию категорий у нас никто не знает. Маленький кусочек знают алгебраисты, обо всём остальном есть книжка Голдблатта, по которой учиться невозможно. Учился я по книгам Фрейда-Щедрова и Ламбека-Скотта, обе книжки довольно трудные для чтения (особенно Фрейда-Щедрова). Всё заново пришлось делать, азбуку писать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6496
Возьмем два функтора $F_1: \mathcal {C \to D}$ и $F_2: \mathcal {C \to D}$. Правильно ли я понимаю, что, в зависимости от того, что это за функторы и что за категории, может оказаться, что естественных преобразований $F_1 \to F_2$
1) ровно одно;
2) более одного;
3) ни одного?

В частности, последний вариант возможен, когда для некоторого объекта $X \in Ob(\mathcal C)$:
3.1) в категории $\mathcal D$ нет ни одной стрелки $F_1(X) \to F_2(X)$;
3.2) стрелки $F_1(X) \to F_2(X)$ есть, но ни одна из них не обеспечивает коммутативности известной диаграммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 16:49 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Да, всё правильно. Аналогично, между двумя множествами может быть ровно одна функция, более одной, ни одной, примерно по тем же причинам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1201
МО
george66 в сообщении #1221538 писал(а):
есть книжка Голдблатта, по которой учиться невозможно

Почему невозможно? Там нет нужного?
На первый взгляд, вполне читабельно..
И еще вопрос: а в лекциях Манина по алгебраической геометрии, в первом томе есть по категориям - это годное чтение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение02.06.2017, 18:26 
Заслуженный участник


31/12/15
884
В книжке Голдблатта много интересного, но написана она на редкость бестолково и как учебник, на мой взгляд, не годится. Если уже что-то знать, её можно читать с удовольствием. Лекции Манина не помню, помню книжку Манина-Гельфанда (сам Манин мне её рекомендовал на вопрос, что почитать, хочу похвастать). Но там на нескольких страницах излагается теория категорий, после чего переходят к изучению любимых гомотопий, и так во всех алгебраических книгах. Алгебраистам интересны категории, похожие на категорию групп или линейных пространств. Про категории, похожие на Set (декартово замкнутые, топосы), про объекты натуральных чисел, про связь с логикой и программированием они не знают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение14.06.2017, 18:40 


14/06/17
42
Читали Lawvere, Schanuel "Conceptual Mathematics. A First Introduction to Categories" ? Один из лучших иностранных учебников по теории категорий без гомотопий, относительно свежий (1997), от одного из лидеров в чистой теории категорий (Ловер), написанный простым языком для интуитивного понимания идей теории категорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение14.06.2017, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6249

(mathematics_fan)

mathematics_fan в сообщении #1225449 писал(а):
Читали Lawvere, Schanuel "Conceptual Mathematics. A First Introduction to Categories" ?
Вы как раз успели попасть в десятку посоветовавших эту книгу на форуме :D Она упоминается в большинстве разделов и во многих списках литературы, рекомендованных на форуме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 157 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group