Где-то четыре десятилетия назад активно пропагандировался так называемый "Нестандартный анализ" Робинсона, и щедро раздавались обещания, что возникший новый взгляд на основы математического анализа позволит обнаружить и доказать новые теоремы, а также перевернет основы преподавания математического анализа! Средствами нестандартного анализа даже был получен новый результат, кажется, в ТВП. Но почти сразу этот же результат был доказан стандартными методами, и каких-либо других "прорывов" нестандартный анализ так и не принес, и тихо ушел на задворки математики.
Вот мне и интересно, не является ли теория категорий подобным же эффектом?
Привести можно много чего (большая теорема Ферма, например). Но это не имеет смысла, потому что уровень уже не тот, теория категорий сейчас - это как множества, или абстрактная алгебра, то есть спрашивать "а что вы дохазали с помощью этой вашей теории категории" - это очень и очень странно, соответственно, и отвечать тоже странно, поэтому не стоит.
Теория категорий - это язык чуть ли не всей математики, кроме отдельных обособленных областей, типа классического анализа, или комбинаторики.
Впрочем, и в мэйнстриных науках, как, например, дифференциальная геометрия и топология, есть отдельных сюжеты (обычно очень "тяжелые" на классических анализ), где теория категорий не помогает.
Интересным вопросом был бы другой: перечислить науки, для занятия которыми можно вообще не знать теории категорий. (Кто хочет попробовать? Видимо, не такая уж и тривиальная задача, потому что в этой теме вся критика идет лишь со стороны анализа и диф-уравнений - одной области; ещё судя подходит комбинаторика в стиле Т.Тао и П.Эрдоша).
То есть сравнивать с нестандартным анализом, о котором 95% математиков и не слышало, даже не смешно.
Господин Бруквалуб, как я понимаю, может сейчас сказать, что в математике (даже в гомологической алгебре) можно и без категорий совсем, а её колоссальный успех обсуловлен "удачей", или там "лоббированием масонов-бурбакизаторов, занимающих руководящие посты", но я надеюсь, что все-таки не скажет, потому что это была бы уже чушь из раздряда теории заговора.
У Бурбаки, кстати, была альтернатива категориям, но время рассудило: спустя 60-70 лет на языке теории категорий говорят практически все области математики (пусть и одни в большей степени, а другие - в меньшей), а про подход Бурбаки к "структурам" никто и не вспомнит.
-- 17.04.2017, 16:26 --Кстати, извиняюсь за оффтопик, но вот вопрос к присутствующим. Когда-то механико-математический факультет МГУ считался чудеснейшим научным и образовательным центром в чистой математике, сравнимым с математическими департаментами университетов Лиги Плюща, Стэнфорда, MIT, Оксфорда.
Но кто-нибудь может представить, чтобы tenured professor в вышеупомянутых университетах в 2017-м году не знал мейнстримной математики вообще, кроме своей узкой области, недоумевая "зачем нужны категории"?
Судя по жесточайщей конкуренции, когда даже выпускники PhD программ Harvard University с великолепнейшими результатами в науке, не могут найти работу в достойном месте, нет.
А вот у руководства МГУ - лучшего университета РФ - проблем с наймом таких людей почему-то нет. А потом мы спрашиваем, почему уровень образования и науки в стране падает? Может быть, отчасти потому, что мы сами недостаточно себя ценим, не считаем, например, что мех-мат МГУ достоин лучших профессоров, нежели тех, кто не знаком ни с алгебраической геометрией, ни с алгебраической топологией, ни с К-теорией, ни с теорией представлений?
-- 17.04.2017, 16:39 --Red_Herring писал(а):
Я подозреваю, что ситуация такая: раньше требовалось для доказательства тривиальной вещи 10 страниц, а сегодня только 10 строк, однако для доказательства, что эта вещь тривиальна требуется 20 страниц.
А вот тут вы как раз (несовсем точно) говорите о философии Александра Гротендика, методе решения проблемы "затоплением моря".
Вот, кажется, интересная ссылка на эту тему:
http://case.edu/artsci/phil/RisingSea.pdfЭто идеал математического знания - когда все теория состоит в основном из определений, а доказательства тривиальны. К сожалению, это утопия, и работает далеко не везде.
Спорить о том, что важнее - "100 страниц определений, но 1 страница доказательства" или "10 страниц определений, но 50 страниц доказательства" - по-моему, смысла не имеет: это то же самое, что спорить о сущености математического исследования.
В математике люди хотят понять реальность, понять, "почему" это верно, а не просто настрогать бессмысленное доказательство из трюков и ad-hoc методов на 50 страниц. Проблема лишь в том, что "Rising Sea метод" не всегда работает. В классическом анализе, например, не работает соврешенно. Думаю, если бы работал, то у вас таких вопросов бы не возникало.
В отношении 
ТФКП-шники одной переменной тоже их не используют. В большинстве разумных разделов ТФКП многих переменных, типа пространств функций в шаре, граничных свойств, геометрии областей и т.п категории не используются. В функане, теории операторов категории, если и используются, то сбоку-припеку, как новомодная дань, но новых результатов они не приносят.
