2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 22  След.
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 05:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4359
Brukvalub в сообщении #1210041 писал(а):
Это только ваше мнение.


Она, конечно, формулируется без теории категорий (через резольвенты), но в том же смысле, в котором (кажется) Ландау говорил "Всё, что можно сделать с помощью теории групп, можно сделать и без неё". Проведите эксперимент и спросите у любого специалиста, работающего в области гомологической алгебры, нужны ли для этой науки производные категории. Начните у себя в Москве, например, с Орлова или Кузнецова.

Brukvalub в сообщении #1209999 писал(а):
Но почти сразу этот же результат был доказан стандартными методами, и каких-либо других "прорывов" нестандартный анализ так и не принес, и тихо ушел на задворки математики.


Во-первых, нестандартный анализ был изначально на несколько порядков менее популярен, чем теория категорий. Во-вторых, он не так уж и бесполезен: например, с помощью него недавно была окончательно решена пятая проблема Гильберта

http://annals.math.princeton.edu/2010/172-2/p10

Brukvalub в сообщении #1209988 писал(а):
дилетантам, начитавшимся форумов, но толком ничего не понявшим


Мне кажется, к вам это относится в равной степени.

-- Вс, 16 апр 2017 19:52:17 --

Red_Herring в сообщении #1209995 писал(а):
и насколько такое доказательство будет длиннее.


После беглого просмотра доказательства

http://link.springer.com/chapter/10.100 ... _17#page-1

сильно подозреваю, что нинасколько.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 06:40 
Аватара пользователя


22/08/15
12
Brukvalub в сообщении #1209980 писал(а):
новый, интересный и существенный результат

Tannaka–Krein duality - достаточно интересный результат?

Brukvalub в сообщении #1210041 писал(а):
Это только ваше мнение.

Вот вам предельно конкретная просьба: сформулируйте аксиомы Стинрода-Эйленберга, не используя теорию категорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 06:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1951
Минск, Беларусь
kp9r4d в сообщении #1210032 писал(а):
Вопрос о том, в каком смысле гильбертовы пространства естественны с категорной точки зрения я бы предпочёл отложить, так как он не совсем рилейтед.
Но вопрос весьма интересный тем не менее.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
557
МО
kp9r4d в сообщении #1210032 писал(а):
А без неё даже Риман-Рох не доказывается

Можно тут поподробнее - что Вы имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 13:56 


18/01/15
121
Chanzaa в сообщении #1210096 писал(а):
Вот вам предельно конкретная просьба: сформулируйте аксиомы Стинрода-Эйленберга, не используя теорию категорий.

"Милостиво повелеть соизволил"... :lol: В отношении Brukvalub это, кажется, не уместно. А вот у меня к Вам тоже конкретный вопрос: на сколько десятилетий раньше появилась алгебраическая топология, чем теория категорий?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
vpb в сообщении #1210143 писал(а):
А вот у меня к Вам тоже конкретный вопрос: на сколько десятилетий раньше появилась алгебраическая топология, чем теория категорий?

Тут надо уточнить, в каком смысле "появилась". Есть разные результаты. Есть стадия, когда "мы, наконец, начали понимать, что мы делаем". Если же ориентироваться только по несколькими результатам (или ещё хуже, по названию, по базовым определениям), то так можно дойти до утверждения, что интегральное исчисление появилось в трудах Архимеда.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 15:14 


04/11/16
33
Brukvalub в сообщении #1209999 писал(а):
Где-то четыре десятилетия назад активно пропагандировался так называемый "Нестандартный анализ" Робинсона, и щедро раздавались обещания, что возникший новый взгляд на основы математического анализа позволит обнаружить и доказать новые теоремы, а также перевернет основы преподавания математического анализа! Средствами нестандартного анализа даже был получен новый результат, кажется, в ТВП. Но почти сразу этот же результат был доказан стандартными методами, и каких-либо других "прорывов" нестандартный анализ так и не принес, и тихо ушел на задворки математики.
Вот мне и интересно, не является ли теория категорий подобным же эффектом?


Привести можно много чего (большая теорема Ферма, например). Но это не имеет смысла, потому что уровень уже не тот, теория категорий сейчас - это как множества, или абстрактная алгебра, то есть спрашивать "а что вы дохазали с помощью этой вашей теории категории" - это очень и очень странно, соответственно, и отвечать тоже странно, поэтому не стоит.

Теория категорий - это язык чуть ли не всей математики, кроме отдельных обособленных областей, типа классического анализа, или комбинаторики.
Впрочем, и в мэйнстриных науках, как, например, дифференциальная геометрия и топология, есть отдельных сюжеты (обычно очень "тяжелые" на классических анализ), где теория категорий не помогает.
Интересным вопросом был бы другой: перечислить науки, для занятия которыми можно вообще не знать теории категорий. (Кто хочет попробовать? Видимо, не такая уж и тривиальная задача, потому что в этой теме вся критика идет лишь со стороны анализа и диф-уравнений - одной области; ещё судя подходит комбинаторика в стиле Т.Тао и П.Эрдоша).

То есть сравнивать с нестандартным анализом, о котором 95% математиков и не слышало, даже не смешно.

Господин Бруквалуб, как я понимаю, может сейчас сказать, что в математике (даже в гомологической алгебре) можно и без категорий совсем, а её колоссальный успех обсуловлен "удачей", или там "лоббированием масонов-бурбакизаторов, занимающих руководящие посты", но я надеюсь, что все-таки не скажет, потому что это была бы уже чушь из раздряда теории заговора.
У Бурбаки, кстати, была альтернатива категориям, но время рассудило: спустя 60-70 лет на языке теории категорий говорят практически все области математики (пусть и одни в большей степени, а другие - в меньшей), а про подход Бурбаки к "структурам" никто и не вспомнит.

-- 17.04.2017, 16:26 --

Кстати, извиняюсь за оффтопик, но вот вопрос к присутствующим. Когда-то механико-математический факультет МГУ считался чудеснейшим научным и образовательным центром в чистой математике, сравнимым с математическими департаментами университетов Лиги Плюща, Стэнфорда, MIT, Оксфорда.

Но кто-нибудь может представить, чтобы tenured professor в вышеупомянутых университетах в 2017-м году не знал мейнстримной математики вообще, кроме своей узкой области, недоумевая "зачем нужны категории"?

Судя по жесточайщей конкуренции, когда даже выпускники PhD программ Harvard University с великолепнейшими результатами в науке, не могут найти работу в достойном месте, нет.

А вот у руководства МГУ - лучшего университета РФ - проблем с наймом таких людей почему-то нет. А потом мы спрашиваем, почему уровень образования и науки в стране падает? Может быть, отчасти потому, что мы сами недостаточно себя ценим, не считаем, например, что мех-мат МГУ достоин лучших профессоров, нежели тех, кто не знаком ни с алгебраической геометрией, ни с алгебраической топологией, ни с К-теорией, ни с теорией представлений?

-- 17.04.2017, 16:39 --

Red_Herring писал(а):
Я подозреваю, что ситуация такая: раньше требовалось для доказательства тривиальной вещи 10 страниц, а сегодня только 10 строк, однако для доказательства, что эта вещь тривиальна требуется 20 страниц.


А вот тут вы как раз (несовсем точно) говорите о философии Александра Гротендика, методе решения проблемы "затоплением моря".
Вот, кажется, интересная ссылка на эту тему: http://case.edu/artsci/phil/RisingSea.pdf

Это идеал математического знания - когда все теория состоит в основном из определений, а доказательства тривиальны. К сожалению, это утопия, и работает далеко не везде.

Спорить о том, что важнее - "100 страниц определений, но 1 страница доказательства" или "10 страниц определений, но 50 страниц доказательства" - по-моему, смысла не имеет: это то же самое, что спорить о сущености математического исследования.
В математике люди хотят понять реальность, понять, "почему" это верно, а не просто настрогать бессмысленное доказательство из трюков и ad-hoc методов на 50 страниц. Проблема лишь в том, что "Rising Sea метод" не всегда работает. В классическом анализе, например, не работает соврешенно. Думаю, если бы работал, то у вас таких вопросов бы не возникало.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 15:51 


18/01/15
121
Наверняка мехмат и сейчас чудеснейший центр, и там есть достаточно профессоров, знакомых с новейшей "мейнстримной"
математикой. А автор последнего поста, помню, заводил тему про "Анализ" Шварца, стоит мол читать или нет, а потом очень быстро разговор на охаивание мехмата перешел. Однако тенденция...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):
Господин Бруквалуб, как я понимаю, может сейчас сказать, что в математике (даже в гомологической алгебре) можно и без категорий совсем, а её колоссальный успех обсуловлен "удачей", или там "лоббированием масонов-бурбакизаторов, занимающих руководящие посты".

Именно это я и сказал бы, если бы вы не опередили бы меня.
GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):
У Бурбаки, кстати, была альтернатива категориям, но время рассудило: спустя 60-70 лет на языке теории категорий говорят практически все области математики (пусть и одни в большей степени, а другие - в меньшей), а про подход Бурбаки к "структурам" никто и не вспомнит.

А вот здесь вы выдаете желаемое за действительное.
GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):
Теория категорий - это язык чуть ли не всей математики, кроме отдельных обособленных областей, типа классического анализа, или комбинаторики.

И здесь наблюдается значительная доля лукавства и явная попытка силой навязать категорный язык всем математикам.
GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210163 писал(а):
Интересным вопросом был бы другой: перечислить науки, для занятия которыми можно вообще не знать теории категорий. (Кто хочет попробовать? Видимо, не такая уж и тривиальная задача, потому что в этой теме вся критика идет лишь со стороны анализа и диф-уравнений - одной области; ещё судя подходит комбинаторика в стиле Т.Тао и П.Эрдоша).

Я хочу попробовать! Итак, начнем. Пойдем прямо по кафедрам.
1. Кафедра ТФФА. ТФДП-ники, школа которых берет начало от Лузина, Колмогорова, Меньшова, Бари если и используют категории, то только в смысле Бэра. :D ТФКП-шники одной переменной тоже их не используют. В большинстве разумных разделов ТФКП многих переменных, типа пространств функций в шаре, граничных свойств, геометрии областей и т.п категории не используются. В функане, теории операторов категории, если и используются, то сбоку-припеку, как новомодная дань, но новых результатов они не приносят.
2. Теория вероятностей и мат.статистика. Вот уж где нет категорий, так там.
3. ОДУ и УРЧП, Динамические системы. Категории не используются.
4. Общие проблемы управления. Категории не используются.
5. Дискретная математика и МАТИС. Категории не используются.
6. ОТГ, ВГТ, ДГи приложения - если категории и используют, то мал-мало, совсем не видно, нужно долго искать.
7. Матлогика и теория алгоритмов. Где же там категории??? Ау?
8. Кафедра теоретической информатики. Вот где категории живут? Или нет? :D
9. Теория чисел. Эти дня не проживут, чтобы категориями не воспользоваться! :D
10. Кафедра вычмата. Вот здесь без категорий точно все рухнет! :D
Фу, устал.
Жду новых вопросов от читателей, возмущенных низким уровнем профессорско-преподавательского состава мехмата в стиле:
"Я смотрел в эти лица и не мог им простить
Того, что у них нет тебя знания категорий и они могут жить!" :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:04 


04/11/16
33
vpb в сообщении #1210170 писал(а):
Наверняка мехмат и сейчас чудеснейший центр, и там есть достаточно профессоров, знакомых с новейшей "мейнстримной"
математикой. А автор последнего поста, помню, заводил тему про "Анализ" Шварца, стоит мол читать или нет, а потом очень быстро разговор на охаивание мехмата перешел. Однако тенденция...


Вы ошибаетесь. Я помню тот разговор.

Во-первых, "Анализ" Шварца меня интересовал с педагогической точки зрения: какой учебник можно рекомендовать нынешнему поколению. По оглавлению выглядело очень интересно, но странно. (Я и сейчас не знаю, стоит ли рекомендовать этот учебник, или нет, я учился по Зоричу)

Во-вторых, "разговор на охаивание мехмата перешел" лишь для вышеупомянутого профессора. Я лишь написал, что аргументация по типа "так надо учить потому, что на мехмате так учат" несостоятельно, потому что на мехмате много проблем с обязательной программой.

Я не знаю, чудеснейший ли центр мехмат сейчас, или нет. Но то, что там работают люди, не знакомые с 60-70% стовременной математики (именно такой процент в какой-то мере использует теорию категорий), это очень грустно.

P.S. Ну и напоследок. То, что вы называете математику, использующую теорию категорий, "новейшей", говорит лишь о вашем невежестве. К слову, алгебраическая топология перешла на язык категорий в сороковых годах, а алгебраическая геометрия - в пятидесятых. Многие достижения в анализе будут намного современее.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:06 
Аватара пользователя


22/08/15
12
Brukvalub в сообщении #1210173 писал(а):
7. Матлогика и теория алгоритмов. Где же там категории??? Ау?

Извините, что влезаю в чужой разговор, но ваше утверждение настолько шокирующе, что я не могу удержаться и вынужден переспросить. Вы утверждаете, что на кафедре матлогики не слышали про топосы? Я правильно вас понял? Вы подписываетесь под этим утверждением?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4359
Brukvalub в сообщении #1210173 писал(а):
8. Кафедра теоретической информатики. Вот где категории живут? Или нет? :D


В функциональном программировании (например, язык haskell). Причём они пользуются довольно сложными конструкциями из категорий, сложнее, чем в большинстве разделов математики.

Любой специалист в современной theoretical computer science об этом знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:18 


04/11/16
33
Brukvalub писал(а):
Именно это я и сказал бы, если бы вы не опередили бы меня.


На таком уровне разговор бессмысленен. Потому что спросить с адептами теории заговора - себе дороже.
Но не могу удержаться от комментирования одного ответа.

Bruklavub писал(а):
Пойдем прямо по кафедрам.


Кафедрам чего? Мехмата? А на мехмате математика закачивается?

Пункт один - зачет. Но его и я упомянул.

Цитата:
2. Теория вероятностей и мат.статистика. Вот уж где нет категорий, так там.


В теории вероятностей их действительно нет.
"Мат.статистика" никакого отношения к современной математической науке не имеет.

Цитата:
ОДУ и УРЧП, Динамические системы. Категории не используются.


А вы хитрый!
Я же написал - классический анализ.
Очевидно, что туда входит и то, чем занимаются на кафедре ТФФА, и ОДУ, и УРЧП, и динсистемы.

Тогда давайте и все науки, где люди используют категории, разделять на десятки тематических разделов? А уж "алгебраическая геометрия" растянется на 50 пунктов, не меньше.

Цитата:
4. Общие проблемы управления. Категории не используются.


Что за наука? "Общие проблемы управления".
Как называется тег на сайте математических препринтов arXiv?

Цитата:
7. Матлогика и теория алгоритмов. Где же там категории??? Ау?
8. Кафедра теоретической информатики. Вот где категории живут? Или нет?


А вот это даже не смешно.
Мы говорим о математике, или о компьютерных науках (pure mathematics или computer science? Везде это разные департаменты)

Цитата:
Теория чисел. Эти дня не проживут, чтобы категориями не воспользоваться!


Видно, что вы никогда не изучали теорию чисел дальше маленького обязательного курса там, где получали математическое образование специалиста.
Посмотрите, например, что такое "арифметическая геометрия". Или "теория мотивов".

Цитата:
Кафедра вычмата.

Такого раздела в математике просто нет. Ни "кафедры вычматы", ни "кафедры", ни "вычмата", ни даже "вычислительной математики".
Под "вычислительной математикой" обычно подразумевают отдельные сюжеты Computer Science.

Тут стоило бы сделать вывод, да я не хочу. Пусть каждый сделает его для себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Brukvalub в сообщении #1210173 писал(а):
8. Кафедра теоретической информатики. Вот где категории живут? Или нет? :D
Спецкурс "Теория категорий в информатике и инженерии". Я бы удивился, если бы его там не было.

-- Пн апр 17, 2017 14:21:44 --

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210180 писал(а):
Что за наука? "Общие проблемы управления".
Как называется тег на сайте математических препринтов arXiv?
Optimization and Control, math.OC

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
Chanzaa в сообщении #1210177 писал(а):
Вы утверждаете, что на кафедре матлогики не слышали про топосы? Я правильно вас понял? Вы подписываетесь под этим утверждением?

Не нужно передергивать и как говорил М.С. Горбачев, "не надо нам подкидывать!"
Я утверждаю, что подавляющее большинство специалистов по мат.логике и, особенно, по теории алгоритмов не используют категорные рассуждения в своих исследованиях.
Кстати, в любимой мной монографии Кокс, Литтл, О'Ши Идеалы, многообразия и алгоритмы, которая, как я считаю, отражает именно то "тело" алгебраической геометрии, которое можно использовать, нет ни слова про категории и функторы.
Недавно был по своим делам в МЦНМО, зашел в их книжную лавку и прикупил перевод классической монографии Д. Айзенбада Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию. Вот уж где просто обязан быть разгул категорий и функторов. Открыл, расстроился: их там очень мало, в основном в разделе "Приложения"...Как же так? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 320 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group