пусть у нас есть индуктивная система
конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна
со стрелками "вложение в первые
координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет
а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым
замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.
На этом пространстве любой линейный функционал непрерывен, а в гильбертовом - не любой. Значит, это пространство не изоморфно гильбертову пространству как топологическое векторное пространство.
Вообще вторая мысль, которая сразу на ум пришла: это то, что гильбертовы - это объекты с базисом, а значит это просто свободные объекты в категории TVSов и именно так на них нужно смотреть, но я теперь проверю тщательнее
Нет, свободный объект в категории хаусдорфовых топологических векторных пространств - это как раз и есть Ваш индуктивный предел конечномерных пространств. Любое отображения множества
в хаусдорфово топологическое векторное пространство однозначно продолжается до линейного отображения. И это линейное отображение будет непрерывным, т.к. его ограничение на любое
непрерывно.
Конечно, это не очень удовлетворительная конструкция, хотелось бы, чтобы они получались "процедурой пополнения" категории евклидовых конечномерных пространств, но я ничего такого не находил, но уверен, что такое быть должно
Интересно. Итак, задача: охарактеризовать в категорных терминах гильбертовы пространства в категории хаусдорфовых ТВП. Либо в категории локально выпуклых пространств.