2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 19:44 
Заслуженный участник


13/12/05
4166
kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.

На этом пространстве любой линейный функционал непрерывен, а в гильбертовом - не любой. Значит, это пространство не изоморфно гильбертову пространству как топологическое векторное пространство.
kp9r4d в сообщении #1209523 писал(а):
Вообще вторая мысль, которая сразу на ум пришла: это то, что гильбертовы - это объекты с базисом, а значит это просто свободные объекты в категории TVSов и именно так на них нужно смотреть, но я теперь проверю тщательнее

Нет, свободный объект в категории хаусдорфовых топологических векторных пространств - это как раз и есть Ваш индуктивный предел конечномерных пространств. Любое отображения множества $\{e_n=(0,\ldots,0,1,0,0,\ldots)\}_{n=1}^\infty$ в хаусдорфово топологическое векторное пространство однозначно продолжается до линейного отображения. И это линейное отображение будет непрерывным, т.к. его ограничение на любое $\mathbb R^n$ непрерывно.

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
Конечно, это не очень удовлетворительная конструкция, хотелось бы, чтобы они получались "процедурой пополнения" категории евклидовых конечномерных пространств, но я ничего такого не находил, но уверен, что такое быть должно

Интересно. Итак, задача: охарактеризовать в категорных терминах гильбертовы пространства в категории хаусдорфовых ТВП. Либо в категории локально выпуклых пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10320
Hogtown
Padawan в сообщении #1209931 писал(а):
охарактеризовать в категорных терминах гильбертовы пространства в категории хаусдорфовых ТВП. Либо в категории локально выпуклых пространств.

Напоминает
И. Ильф, Е. Петров в «Разговоры за чайным столом» писал(а):
- Кто была Екатерина Вторая?
- Продукт.
- Как продукт?
- Я сейчас вспомню. Мы прорабатывали... Ага! Продукт эпохи нарастающего
влияния торгового капита...
- Ты скажи, кем она была? Должность какую занимала?
- Этого мы не прорабатывали.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13617
Москва
Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Этот вопрос на форуме уже был, и на него подробно отвечали, так что уважаемый Brukvalub не спросить, а погуглисть стесняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13617
Москва
Munin, мой вопрос обращен к тем, кто компетентен, а не к дилетантам, начитавшимся форумов, но толком ничего не понявшим, поэтому можете не беспокоиться, вас мой вопрос не касается, и ваше мнение мне глубоко не интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10320
Hogtown
В книге Хелемского утверждается, что было решено несколько важных задач. Конкретно называлась "проблема Халмоша о подобии":
https://en.wikipedia.org/wiki/Gilles_Pisier
Цитата:
in 1997, he constructed an operator that was polynomially bounded but not similar to a contraction, answering a famous question of Paul Halmos.

В книге Introduction to Operator Space Theory. By Gilles Pisier, вероятно, имеется доказательство. Отдельные вопросы: насколько важную роль играют категории (а) в доказательстве (б) в мотивировке доказательства (иной раз на доказательство наталкивают соображения, которые в итоге в доказательстве не используются) (в) можно ли доказать без теории категорий, и насколько такое доказательство будет длиннее.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13617
Москва
Где-то четыре десятилетия назад активно пропагандировался так называемый "Нестандартный анализ" Робинсона, и щедро раздавались обещания, что возникший новый взгляд на основы математического анализа позволит обнаружить и доказать новые теоремы, а также перевернет основы преподавания математического анализа! Средствами нестандартного анализа даже был получен новый результат, кажется, в ТВП. Но почти сразу этот же результат был доказан стандартными методами, и каких-либо других "прорывов" нестандартный анализ так и не принес, и тихо ушел на задворки математики.
Вот мне и интересно, не является ли теория категорий подобным же эффектом?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну, как минимум вся гомологическая алгебра без категорий не формулируется. А без неё даже Риман-Рох не доказывается - одна из самых центральных теорем в геометрии алгебраических и комплексно-аналитических кривых.

Больше можно почитать тут: applications of (higher) category theory.

Вопрос о том, в каком смысле гильбертовы пространства естественны с категорной точки зрения я бы предпочёл отложить, так как он не совсем рилейтед.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение16.04.2017, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13617
Москва
kp9r4d в сообщении #1210032 писал(а):
Ну, как минимум вся гомологическая алгебра без категорий не формулируется.

Это только ваше мнение. Например, когда-то преподававший мне на семинарах высшую алгебру профессор Е.С. Голод думает иначе.Вот его совместная с Пионтковским публикация для Большой Российской энциклопедии, в которой они, конечно, упоминают, что функториальный взгляд на гомологии позволил унифицировать некоторые конструкции, но вовсе не ставят этот взгляд как главный и необходимый компонент гомологической алгебры.
Как-то больше мне верится Голоду с Пионтковским, по крайней мере, я достоверно знаю уровень их компетенции в алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17668
Москва
Someone в сообщении #1209711 писал(а):
Может быть, обратный предел попробовать?
Кстати, тоже не получится.
Someone в сообщении #1209754 писал(а):
Если ТВП имеет достаточно много непрерывных линейных отображений на конечномерные векторные пространства, то легко соорудить обратный спектр, пределом которого и будет данное ТВП.
Гильбертово пространство не имеет достаточного множества линейных отображений на конечномерные пространства. Собственно, нужно, чтобы для любой точки гильбертова пространства и для любого не содержащего её замкнутого множества нашлось отображение, при котором образ точки не принадлежит замыканию образа этого множества.

g______d в сообщении #1209739 писал(а):
Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал. Все конечномерные хаусдорфовы ТВП выглядят с точки зрения топологии абсолютно одинаково.
Ну, само по себе это ничего не означает. Например, всякий нульмерный (би)компакт можно представить как обратный предел конечных пространств (с дискретной топологией).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Это не моё мнение, это стандарт de facto которому следуют все учебники гомологической алгебры. Главный и необходимый он или нет - это оценки более-менее субъективные и эстетические (которые, кстати, в упомянутой вами статье озвучены не были, так что не знаю, откуда вы их взяли). Приведённая вами статья вполне современная, там, помимо стандартного "детского" подхода с производными функторами от точного (слева/справа) в абелевой категории с достаточным количеством инъективных/проективных объектов упомянуты так же операды, производные и триангулированные категории, так что, казалось бы, впечатление она должна создавать прямо обратное тому, что высказали вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Brukvalub в сообщении #1209988 писал(а):
Munin, мой вопрос обращен к тем, кто компетентен, а не к дилетантам

Вот там как раз кто компетентен - и отвечали. Гуглите и обрящете.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 01:45 
Заслуженный участник


31/12/15

895
Brukvalub в сообщении #1209980 писал(а):
Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий? :oops:

Я так понимаю, теорию категорий придумали именно как технический инструмент для алгебраической топологии. Но в алгебраической топологии я не силён, а вообще интересная область науки в первую очередь открывает свои новые объекты исследований (для теории категорий это, допустим, топосы). По себе скажу, что математический логик может жить, не зная категорий, но с категориями жизнь гораздо интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Не смотря на то, что конкретные примеры таких теорем уже привели я бы ещё добавил, что этот тест о "задаче, которая не решается без этих терминов, но решается с ними" такой себе и его, так-то, добрая часть всех этих *QFT не проходит (кажется).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение17.04.2017, 02:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5928
Brukvalub в сообщении #1209980 писал(а):
Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий? :oops:


Гипотeза Блоха--Като, напримeр.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 325 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group