Существует или может существовать.

[Бодигрим]

Цитата:

Это ошибка. Легко показать, что это не так.

Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или $\cos 90\ne1$? Или одновременно?

[shwedka]

Yarkin писал(а):

Yarkin писал(а):

Все верно. Чистый нокаут. Сдаюсь. $n=2$ пока убираю.

Обобщенная. “Если $ n $ означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 1, то уравнению

$$ x^n + y^n = z^n, \eqno (1) $$

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $ x, y $ и $ z $, [1, 11].
Доказательство. Допустим противное: Решение уравнения (1) в целых положительных числах существует.Для уравнения (1) может не существовать или существовать прямоугольный треугольник с длинами сторон $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$. Это зависит от невыполнения или выполнения для него теоремы косинусов [2, 330]:

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2x^{n/2}y^{n/2}\cos C = (z^{n/2})^2\\ (z^{n/2})^2 + (x^{n/2})^2 - 2(x^{n/2}) (z^{n/2}) \cos B = (y^{n/2})^2\\ (z^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2(y^{n/2}) (z^{n/2}) \cos A = (x^{n/2})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

Цитата:

Бере пифагорову тройку 3, 4, 5 и подставим в соотношение (2), полагая там $n=2, \angle C = 90^0/$. Сокращая на $z \ne 0$, получим (cos A)^4 + (cos B)^4 = 1

Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

[Алексей К.]

Someone, Вы, похоже, обсуждаете прямоугольный тр-к со сторонами $x,y,z$, а надо --- со сторонами $a,b,c$, где $a=x^2, b=y^2, c=z^2$. И треугольник со сторонами $a,b,c$ --- вырожденный (т.к. $a+b=c$),а тр-к со сторонами $x,y,z$ --- прямоугольный!!!
Ну типа как Вы купите картошки на $\pi$ рублей, яблок на $e$ рублей, потратите $\pi+e$, и треугольник со сторонами $\pi,e,\pi+e$ будет вырожденный!
Начинаю понимать! Ещё страниц 10 выяснения ЭТОГО, и буду корифеем!

Добавлено спустя 34 минуты 28 секунд:

Я имел в виду, конечно, американские рубли, дабы избежать вырождения второго порядка.

[AD]

Yarkin, давайте разберемся еще раз.

Алексей К., видимо, на правильном пути.

Действую в рамках обозначений, действовавших в вот этих форимулах (обозначения потом менялись):

Цитата:

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2x^{n} y^{n} \cos C = (z^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (x^{n})^2 - 2x^{n} z^{n} \cos B = (y^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2y^{n} z^{n} \cos A = (x^{n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Сначала я вот что хочу прояснить.

Вот есть три числа $x$, $y$ и $z$. Из соотношения $x^2+y^2=z^2$ следует, что:

1. Треугольник со сторонами $x$, $y$ и $z$ прямоугольный. Тогда обозначим буквами $A$, $B$ и $C$ его углы, лежащие против сторон $x$, $y$ и $z$ соответственно. Тогда всё это вместе по тривиальным причинам удовлетворяет соотношениям (2) и (3).

2. Треугольник со сторонами $a=x^2$, $b=y^2$ и $c=z^2$ является вырожденным. Тогда обозначим буквами $A'$, $B'$ и $C'$ его углы, лежащие против сторон $x^2$, $y^2$ и $z^2$ соответственно. Это не те же самые $A$, $B$ и $C$, которые стоят в пункте 1!! В этой ситуации соотношения (3), конечно же, не выполняются. Тем не менее, соотношения (2) все равно выполняются.

Yarkin писал(а):

Бере пифагорову тройку 3, 4, 5 и подставим в соотношение (2), полагая там $n=2, \angle C = 90^0/$. Сокращая на $z \ne 0$, получим (cos A)^4 + (cos B)^4 = 1

А не надо подставлять $n=2$. Здесь правильно подставлять $n=1$, как и в равенство (1) (ведь $3^2+4^2=5^2$ - это равенство (1), записанное именно при $n=1$, и, соответственно, $x=3$, $y=4$, $z=5$). Если в разные равенства разные $n$ подставить, то конечно ничего не сойдется!!.

[Алексей К.]

AD писал(а):

Алексей К., видимо, на правильном пути.

А куда ему ещё деваться, когда все силы форума брошены на теорему Yarkina, а его, Алексея К., задачка о выпуклой функции висит нерёшаная! И завись гложет...

[Someone]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

1) Что такое состояние геометрической фигуры?

На этот вопрос я ответил.

Нет, ответа не было. Совершенно точно. Если Вы имеете в виду пример "состояние существования и вырожденности", то это не определение.

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

2) Каким образом для треугольника может выполняться одно и только одно соотношение из большого множества доказывавшихся в школьном курсе геометрии?

Вполне законный вопрос. Согласен, что здесь я перегнул, а потому внесу поправку.

Спасибо, хоть что-то признали.

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

[3) Продемонстрируйте нам три положительных числа $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих условию $a^2+b^2=c^2$, для которых не существует треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.

Демонстрирую для общего случая, ибо частный случай легко проверить на численном примере.

Нет уж, давайте числа.

Yarkin писал(а):

Для этого положим в (1) $n=1$, получим соотношение

$$ x^2 + y^2 = z^2, \eqno (6) $$

получить из соотношений (2) при $n=2, \angle C = 180^0, \angle A = \angle B = 0$.

Вы с дуба рухнули? (Извините за грубость). Где Вы видели прямоугольный треугольник с углом $180^{\circ}$??? И причём здесь $n=2$? Вы вопрос-то внимательно прочитали? Или специально морочите голову?

Someone писал(а):

Продемонстрируйте, пожалуйста, три положительных числа $a=x^n$, $b=y^n$, $c=z^n$, для которых выполняется соотношение (1) $x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$, то есть, $a^2+b^2=c^2$, и которые не являются длинами сторон треугольника.

И был отдельный вопрос про вырожденный треугольник:

Someone писал(а):

Предъявите численный пример: длины сторон вырожденного треугольника такие-то (численные значения), величины углов - такие-то (численные значения), и где там теорема косинусов нарушается. Без каких-либо общих рассуждений насчёт "существует или может существовать", только численные значения. Если Вы возьмёте неправильные значения углов, Вам это немедленно укажут.

Где Вы взяли вот эту цитату?

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90^0$, и его косинус равен $1$. Никакого вырождения нет.

Это ошибка. Легко показать, что это не так.

У меня было так:

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90°$, и его косинус равен $0$. Никакого вырождения нет.

Но раз уж Вы утверждаете, что это не так - приведите численный пример: стороны и углы прямоугольного треугольника, который является вырожденным, то есть, его вершины лежат на одной прямой.

Общие рассуждения непонятно о чём вместо численных примеров не принимаются.

Алексей К. писал(а):

Someone, Вы, похоже, обсуждаете прямоугольный тр-к со сторонами $x,y,z$, а надо --- со сторонами $a,b,c$, где $a=x^2, b=y^2, c=z^2$.

Мой вопрос сформулирован выше.

[Коровьев]

Держись Yarkin!
Теорема косинусов верна для любых $a, b, c.$ Тока угол иногда будет мнимым.

[Sonic86]

Если интересно, могу предложить следующую терминологию.
"Эмпирически существует" - в смысле существует как эмпирический предмет, как вещь. Примеры: эмпирически существуют стол, ж-д вагон, знак 3, треугольник, например, как совокупность чернильных линий на бумаге. Иначе говоря, эмпирически существуют те предметы, которые можно потрогать, увидеть непосредственно или с помощью каких-то приборов.
"Математически существует в данной теории Т" или "непротиворечив в данной теории Т" - абстрактный объект (кстати, абстрактные объекты эмпирически существуют как состояния клеток мозга), добавление которого в теорию не ведет к противоречию. Пояснять, кажется, не надо. Можно выделить более узкий вариант этого свойства - "конструктивен в данной теории Т" - существющий объект в Т, который можно конкретно описать. К примеру, множество Коэна, мощность которого больше, чем счетна, но меньше, чем несчетна, существует математически (непротиворечив), но неконструктивен. Сразу получим также, что любой конструктивный объект теории Т непротиворечив в теории Т. В частности, если Т противоречива в обычном смысле, то в ней любой объект конструктивен - непротиворечив в моем смысле. Наконец, математический объект может быть конструктивен, но не существовать эмпирически - это как раз в том смысле, что когда х+y>z, то треугольник существует математически (непротиворечив), но не существует эмпирически - как реальный объект. То есть 2 типа существования были смешаны. Это - в стиле Зиновьева, рекомендую.

[bot]

Sonic86 писал(а):

Если интересно, могу предложить следующую терминологию.

Э-э-э ..., уважаемый, вижу, что человек Вы здесь новый - Вы это кому предлагаете, Яркину?
Так у него даже на уровне чернильных клякс, которые вдруг треугольник образовали, проблемы имеются.

[Yarkin]

Бодигрим писал(а):

Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или

Речь идет о вырожденности и невырожденности.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

Бодигрим писал(а):

Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или

Речь идет о вырожденности и невырожденности.

То есть такой вопрос как "чему равен угол" только может существовать, но поскольку Yarkin его никогда сам себе не задавал, вопрос этот для Yarkin'а не существуе.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

Вы подставили не в те формулы. На с. 5 последнее мое доказательство.

[shwedka]

Yarkin писал(а):

shwedka писал(а):

Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

Вы подставили не в те формулы. На с. 5 последнее мое доказательство.

Повторите формулы, в которые нужно подставлять. Из того варианта, который теперь окончательный.

[Yarkin]

AD писал(а):

Если в разные равенства разные $n$ подставить, то конечно ничего не сойдется!!.

Согласен. Только в этом случае мы получим при $\angle C=180^0 соотношение (5), которое должно выполняться одновременно с соотношением (1).

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

Someone писал(а):

Если Вы имеете в виду пример "состояние существования и вырожденности", то это не определение.

Может быть я неправильно выражаюсь, но я имею в виду только это.

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Someone писал(а):

Нет уж, давайте числа.

Подставте в моем доказательстве числа 3, 4, 5 и придете к тому же результату.

Добавлено спустя 8 минут 9 секунд:

Someone писал(а):

Вы с дуба рухнули? (Извините за грубость).

Не извеню, потомучто Вы считаете, что соотношение (1) имеете право рассматриваь, как прямоугольный треугольник со сторонами $x^n, y^n, z^n$, а я не имею права рассматривать его как треугольник со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^{2n}$

[Алексей К.]

Yarkin писал(а):

Не извеню, потомучто Вы считаете, что соотношение (1) имеете право рассматриваь, как прямоугольный треугольник

Да НИКТО не имеет права рассматривать СООТНОШЕНИЕ как ТРЕУГОЛЬНИК!!! Говорите, наконец, по-русски, .. .... ....!

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

(за матерщину извИняюсь, но право же --- издевательство над читателем!)