Существует или может существовать.

[Someone]

Yarkin писал(а):

Если что-то не имеет определения, то оно не имеет смысла?

В математике - да.

Yarkin писал(а):

Интересный вывод. Число не имеет определения, значит...

Это смотря в какой теории. В теории множеств, например, число как объект имеет определение. В арифметике число как объект не определено, однако указаны свойства, которыми должны обладать числа. Числом может быть что угодно, обладающее требуемыми свойствами, причём, объекты с этими свойствами существуют. Тут положение точно такое же, как, например, в евклидовой геометрии, где конкретные объекты "точка", "прямая", "плоскость" не указаны, а только перечислены их свойства (аксиомы евклидовой геометрии). Эта ситуация в математике, на самом деле, является общей, и именно это является причиной эффективности математики, потому что одно и то же математическое понятие можно в каждом случае интерпретировать по-своему, лишь бы выполнялись аксиомы, относящиеся к этому понятию.

У Вас же нет вообще ничего, кроме фразы "состояния существования и вырожденности". Если понимать "состояние" в обычном смысле, как некоторый атрибут объекта, который для одного и того же объекта в разных случаях может иметь разные значения, то получится, что одна и та же фигура в одном случае "существует", в другом - "не существует", в одном случае "вырожденная", в другом - "не вырожденная". Это явная нелепица.

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Это другой треугольник, с другими сторонами и с другими углами.

С другими углами - да, но не с другими сторонами.

Я приведу более полную цитату:

Someone писал(а):

Речь идёт только о существовании треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$, удовлетворяющими соотношению $a^2+b^2=c^2$, и более ни о чём. Но, разумеется, "несуществование" этого треугольника является краеугольным камнем Вашего доказательства.

Итак, где пример? Только не приплетайте сюда треугольник со сторонами $a^2$, $b^2$, $c^2$. Это другой треугольник, с другими сторонами и с другими углами.

То есть, Вы утверждаете, что числа $a$, $b$, $c$ совпадают с числами $a^2$, $b^2$, $c^2$?

[Yarkin]

AD писал(а):

Если я правильно понимаю, о чем идет речь, то у одного треугольника стороны 3,4,5 а у другого 9,16,25.

Именно так.

Добавлено спустя 8 минут 39 секунд:

Someone писал(а):

Yarkin писал(а):
Если что-то не имеет определения, то оно не имеет смысла?


В математике - да.

В таком случае реальные объекты в математике могут не иметь смысла, ибо все определить невозможно.

Добавлено спустя 4 минуты 36 секунд:

Someone писал(а):

Это явная нелепица.

Она получилась из-за неопределенности и недостаточного исследования этих ситуаций..

[AD]

Yarkin писал(а):

В таком случае реальные объекты в математике могут не иметь смысла, ибо все определить невозможно.

Ну, я думаю, для начала, это так потому, что законы реальности не изучены как следует. То есть не понятно, как именно надо определять. Определить-то можно что угодно, только это определение не обязятельно будет с действительностью хоть как-то согласовано. А вообще, если вы можете привести пример чего-то, что невозможно определить, я бы послушал.

[Yarkin]

AD писал(а):

А вообще, если вы можете привести пример чего-то, что невозможно определить, я бы послушал.

Хотя бы то, что указал Someone. А определения тоже могут не отражать действительность, а они основа доказательств.

[AD]

Yarkin писал(а):

Хотя бы то, что указал Someone.

Это "состояние треугольника", что ли? Или я что-то пропустил?

Yarkin писал(а):

А определения тоже могут не отражать действительность, а они основа доказательств.

Так я про определения и говорил. Ну да, могут не отражать. Никто их и не обязывает вообще что-то отражать.

[Yarkin]

Я пока не вижу причин изменять доказательство, ибо замечания Someone убедительны, но бездоказательны. Привожу его снова с пояснением основного противоречия.
Редкий бред
Теорема антикосинусов. Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Доказательство. Допустим, что для произвольного $n$ > 0, существует треугольник со сторонами $x^n, y^n, z^n$, для которого имеет место соотношение (1). Однако для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов.

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2x^{n} y^{n} \cos C = (z^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (x^{n})^2 - 2x^{n} z^{n} \cos B = (y^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2y^{n} z^{n} \cos A = (x^{n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для сторон, которые выполняются и условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Из трех соотношений (2), только одно может совпасть с соотношением (1).
Это может быть если $\angle C = \pi/2$, но

$$ x^n \ne z^n \cos B, y^n \ne z^n \cos A, \eqno (4) $$

Получили противоречие основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 1$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (5) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, вместо $2n$ подставить $n$.
Следствие 2. ВТФ. Полагая в соотношениях (2) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (5), для которого, как следует из доказанной теоремы, нет не только целых решений, но и положительных действительных решений.
Следствие 3. Пифагоровы тройки – корни уравнения (1) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2. \eqno (6) $$

не являются его решением, так как не удовлетворяют условию (4), поэтому в ВТФ, условие $n> 2$ можно заменить условием $n > 1$.


В этом доказательстве есть только один пункт (4), с которым не согласны мои оппоненты, а я не соглашаюсь с ними. Я считал, что мои пояснения не нужны, поскольку мои сообщения математики форума (за редким исключением) считают бредом. Ну, а с того, кто бредит и спрашивать не удобно. Тем не менее, требуют! Пожалуйста.
Рассмотрим соотношение (нумерацию не меняю)

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

вместе с соотношениями

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2x^{n} y^{n} \cos C = (z^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (x^{n})^2 - 2x^{n} z^{n} \cos B = (y^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2y^{n} z^{n} \cos A = (x^{n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

и

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{2n})^2 + (y^{2n})^2 - 2x^{2n} y^{2n} \cos C` = (z^{2n})^2\\ (z^{2n})^2 + (x^{2n})^2 - 2x^{2n} z^{2n} \cos B` = (y^{2n})^2\\ (z^{2n})^2 + (y^{2n})^2 - 2y^{2n} z^{2n} \cos A` = (x^{2n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2*) $$

Положив в соотношениях (2*) $\angle C` = 180^0, \angle A` = \angle B` = 0^0$, получим три соотношения (1). С другой стороны, положив в соотношениях (2) $\angle C` = 90^0$

$$ x^n = z^n \cos B, y^n = z^n \cos A, \eqno (4*) $$

снова получим соотношение (1), но поскольку никакие треугольники (тем более прямоугольные) соотношений (2) не могут принадлежать соотношениям (2*) и наоборот, так как у них разные стороны и разные углы (спасибо AD), то, отсюда заключаем, что для соотношений (2) должны выполняться неравенства (4).
Численный пример для тройки 3, 4, 5. Подставив эту тройку в соотношения (2) и (2*} вместо $x, y, z, \angle C` = 180^0, \angle C = 90^0, 3 = 5 \cos B, 4 = 5 \cos A$, получим одно и то же соотношение $3^2 + 4^2 = 5^2$, которое, согласно доказанному, означает, что треугольника с указанными сторонами не существует. Очевидное – невероятное. Но, если считать, что такой треугольник существует, то он должен существовать одновременно либо с треугольником со сторонами $3^4, 4^4, 5^4$, либо с треугольником со сторонами $3^{1/2}, 4^{1/2}, 5^{1/2}$. Ваши примеры и приведенный показывают существование таких треугольников, теория этого не признает. Разберитесь уважаемые математики, в этой ситуации и дайте строгое математическое опровержение этого, чтобы я перестал бредить.

[AD]

Вообще, кажется, я понял. Если мы никогда не познаем действительность, то нельзя определить понятие "отражать действительность".

Добавлено спустя 6 минут 50 секунд:

Даю строгое математическое опровержение.

Yarkin писал(а):

но поскольку никакие треугольники (тем более прямоугольные) соотношений (2) не могут принадлежать соотношениям (2*)

Из этого никак не следует, что

Yarkin писал(а):

для соотношений (2) должны выполняться неравенства (4).

Ну для каких-то треугольников есть (2), а для каких-то совсем других есть (2*). А что для них обоих выполняется (1) - ну так и должно быть, противоречия не вижу. Да, к соотношению (1) можно прийти двумя способами. Из соотношений (2) и из соотношений (2*). Ну и?

[Yarkin]

AD писал(а):

"отражать действительность".

Но уровень познания зависит от того, насколько правильно в математике отражается действительность.

Добавлено спустя 5 минут 26 секунд:

AD писал(а):

Да, к соотношению (1) можно прийти двумя способами. Из соотношений (2) и из соотношений (2*). Ну и?

Это, как раз для соотношения (1), да и для нас безразлично - без наличия углов оно отражает только несуществующий треугольник. Никаких выводов, что существует другой треугольник делать нельзя.

[Someone]

Yarkin писал(а):

В таком случае реальные объекты в математике могут не иметь смысла, ибо все определить невозможно.

Откуда в математике реальные объекты?

Yarkin писал(а):

Ваши примеры и приведенный показывают существование таких треугольников, теория этого не признает.

Какая именно "теория"? Сочинённая Yarkinым? А кто-нибудь ещё эту "теорию" признаёт, кроме самого Yarkinа? Нет, все дружно считают её бредом. Хотя бы потому, что ключевые для всего этого соотношения (4) взяты "с потолка", ни из каких оснований не следуют и прямо противоречат школьной геометрии.

Yarkin писал(а):

Разберитесь уважаемые математики, в этой ситуации и дайте строгое математическое опровержение этого, чтобы я перестал бредить.

Опровержение Вам дали. Но Вы с ним не соглашаетесь. Не потому, что оно недостаточно строгое, а по совсем другой причине. И будете не соглашаться далее. Просто обсуждение пойдёт по $n$-ому кругу.

Yarkin писал(а):

замечания Someone убедительны, но бездоказательны

Я, однако, ничего не доказывал. Я задал Вам ряд вопросов, ответить на которые Вы либо не можете, либо не хотите, потому что эти ответы разрушают Ваши рассуждения. На вопросы других участников дискуссии Вы тоже не отвечали.

[Yarkin]

Someone писал(а):

Откуда в математике реальные объекты?

Вы правы.

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

Someone писал(а):

ключевые для всего этого соотношения (4) взяты "с потолка",

Это не так.

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Someone писал(а):

ни из каких оснований не следуют и прямо противоречат школьной геометрии.

Это не обосновано.

Добавлено спустя 6 минут 48 секунд:

Someone писал(а):

Опровержение Вам дали. Но Вы с ним не соглашаетесь.

Рассуждения - не опровржение. Да и Вы сами это подтверждаете:

Yarkin писал(а):

Я, однако, ничего не доказывал.

Yarkin писал(а):

Я задал Вам ряд вопросов, ответить на которые Вы либо не можете, либо не хотите, потому что эти ответы разрушают Ваши рассуждения.

На все Ваши вопросы с приведением численного примера, я ответил.

[AD]

Еще раз. Пожалуйста, обоснуйте цитируемый ниже переход. Я утверждаю, что он неверен. Потому что могу привести контрпример. Но поскольку вы вообще не обосновываете этот переход, то я не могу сказать, где именно у вас ошибка.

Yarkin писал(а):

поскольку никакие треугольники (тем более прямоугольные) соотношений (2) не могут принадлежать соотношениям (2*) и наоборот, так как у них разные стороны и разные углы (спасибо AD), то, отсюда заключаем, что для соотношений (2) должны выполняться неравенства (4)

_____________________

По поводу численного примера:

Yarkin писал(а):

получим одно и то же соотношение $3^2 + 4^2 = 5^2$, которое, согласно доказанному, означает, что треугольника с указанными сторонами не существует.

Вас просят провести доказательство для частного случая, а не сослаться на ваше доказательство для общего случая. Именно потому, что последнее предполагается неверным, и это должно проявиться в этом частном случае. Так что еще раз. Ответьте "да" или "нет" на следующий вопрос: существует ли треугольник со сторонами 3, 4 и 5?.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ответьте "да" или "нет" на следующий вопрос: существует ли треугольник со сторонами 3, 4 и 5?.

О чем может быть речь, безусловно, существует, поскольку для них выполняются основные неравенства для прямоугольного треугольника. Но Вы утверждаете не это. Ваше утверждение, равно, как и утвеждение Someone идет о том, что соотношение (1), получаемое при разных условиях из соотношений (2) и (2*}, дает Вам право рассматривать его, как условие существования таких треугольников. Это ведет к выводу, что одни и те же тругольники принадлежат как соотношениям (2) так и соотношениям (2*), что является абсурдным.

[AD]

Yarkin писал(а):

Ваше утверждение, равно, как и утвеждение Someone идет о том, что соотношение (1), получаемое при разных условиях из соотношений (2) и (2*}, дает Вам право рассматривать его, как условие существования таких треугольников.

Ничего подобного. Существование треугольника со сторонами 3, 4 и 5 мы доказываем так же, как и вы. Из равенства $3^2+4^2=5^2$ следует только то, что он прямоугольный. Это - известная теорема, которая называется "теорема, обратная теореме Пифагора". И вообще, если вы признаете, что треугольник существует, то мы можем теперь это не доказывать.

он(а) же писал(а):

Это ведет к выводу, что одни и те же тругольники принадлежат как соотношениям (2) так и соотношениям (2*), что является абсурдным.

Ничего абсурдного. Я как раз вам и указал, что в этих соотношениях фигурируют разные треугольники. У них разные стороны и углы. Треугольники разные, и соотношения разные. В них разные стороны и разные углы как раз фигурируют. Соотношения (2) и (2*) говорят, что для некоторых двух треугольников выполняется теорема косинусов. Ну и что? Для всех треугольников выполняется теорема косинусов. Это не значит, что существует только один треугольник.

[Yarkin]

AD писал(а):

Из равенства $3^2+4^2=5^2$ следует только то, что он прямоугольный. Это - известная теорема, которая называется "теорема, обратная теореме Пифагора". И вообще, если вы признаете, что треугольник существует, то мы можем теперь это не доказывать.

Неверно. Вы противоречите себе. Доказательство этого.

AD писал(а):

Да, к соотношению (1) можно прийти двумя способами. Из соотношений (2) и из соотношений (2*). Ну и?


Эти способы разные. Для соотношений (2) Вы выбираете стороны – случай, когда соотношения теоремы косинусов вырождаются в одно, которое можно получить из соотношений (2*) только, нарушая условия (3). Так что будьте объективны в своих ответах.
И еще. Преобразование (4*) вообще недопустимо, поскольку при всяком преобразовании, должен сохраняться угловой элемент треугольника, т. е. выполняться соотношение (С. И. Новоселов, специальный курс тригонометрии, с. 339).

$$ F(a, b, c, A, B, C) = F(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C) $$

При замене (4*), это соотношение не соблюдается, т. е., мы теряем угловой элемент треугольника.

AD писал(а):

Я как раз вам и указал, что в этих соотношениях фигурируют разные треугольники. У них разные стороны и углы. Треугольники разные, и соотношения разные. В них разные стороны и разные углы как раз фигурируют.

Это все работает в мою пользу, ибо теперь я могу предпологать существование среди этих прямоугольных треугольников как равных, так и подобных. Оба эти предположения приводят к абсурду.

[AD]

Yarkin писал(а):

Доказательство этого.

Не понял доказательство.

Yarkin писал(а):

только, нарушая условия (3)

Условия (3) вообще к делу отношения не имеют. Из их нарушения не следует неверность теоремы косинусов.

Yarkin писал(а):

Это все работает в мою пользу, ибо теперь я могу предпологать существование среди этих прямоугольных треугольников как равных, так и подобных.

Не можете ни того, ни другого. У них углы разные.

Добавлено спустя 51 секунду:

Yarkin писал(а):

Преобразование (4*) вообще недопустимо

Это вообще не преобразование.

Yarkin писал(а):

угловой элемент треугольника

Что это такое?

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

Yarkin писал(а):

Вы противоречите себе.

На себя смотрим.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

Yarkin писал(а):

Эти способы разные. Для соотношений (2) Вы выбираете стороны – случай, когда соотношения теоремы косинусов вырождаются в одно, которое можно получить из соотношений (2*) только, нарушая условия (3).

Ну и? В чем дело-то?

Добавлено спустя 9 минут 53 секунды:

Чувствую, мы друг в друге запутались. По крайней мере, вы меня в такой беседе не поймёте. Давайте следующую версию доказательства.