2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 19  След.
 
 
Сообщение08.04.2008, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Цитата:
Это ошибка. Легко показать, что это не так.

Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или $\cos 90\ne1$? Или одновременно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin писал(а):
Yarkin писал(а):
Все верно. Чистый нокаут. Сдаюсь. $n=2$ пока убираю.

    Обобщенная. “Если $ n $ означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 1, то уравнению
    $$
x^n + y^n = z^n,     \eqno     (1)
$$
    не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $ x, y $ и $ z $, [1, 11].
    Доказательство. Допустим противное: Решение уравнения (1) в целых положительных числах существует.Для уравнения (1) может не существовать или существовать прямоугольный треугольник с длинами сторон $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$. Это зависит от невыполнения или выполнения для него теоремы косинусов [2, 330]:
    $$ 
\left\{
\begin{aligned}
(x^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2x^{n/2}y^{n/2}\cos C = (z^{n/2})^2\\
(z^{n/2})^2 + (x^{n/2})^2 - 2(x^{n/2}) (z^{n/2}) \cos B  = (y^{n/2})^2\\
(z^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2(y^{n/2}) (z^{n/2}) \cos A = (x^{n/2})^2.\\
\end{aligned}
\right.  \eqno        (2)
$$

Цитата:
Бере пифагорову тройку 3, 4, 5 и подставим в соотношение (2), полагая там $n=2, \angle C = 90^0/$. Сокращая на $z \ne 0$, получим (cos A)^4 + (cos B)^4 = 1

Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 17:44 


29/09/06
4552
Someone, Вы, похоже, обсуждаете прямоугольный тр-к со сторонами $x,y,z$, а надо --- со сторонами $a,b,c$, где $a=x^2, b=y^2, c=z^2$. И треугольник со сторонами $a,b,c$ --- вырожденный (т.к. $a+b=c$),а тр-к со сторонами $x,y,z$ --- прямоугольный!!!
Ну типа как Вы купите картошки на $\pi$ рублей, яблок на $e$ рублей, потратите $\pi+e$, и треугольник со сторонами $\pi,e,\pi+e$ будет вырожденный!
Начинаю понимать! Ещё страниц 10 выяснения ЭТОГО, и буду корифеем!

Добавлено спустя 34 минуты 28 секунд:

Я имел в виду, конечно, американские рубли, дабы избежать вырождения второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 18:22 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Yarkin, давайте разберемся еще раз.

Алексей К., видимо, на правильном пути.

Действую в рамках обозначений, действовавших в вот этих форимулах (обозначения потом менялись):

Цитата:
$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2x^{n} y^{n} \cos C = (z^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (x^{n})^2 - 2x^{n} z^{n} \cos B = (y^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2y^{n} z^{n} \cos A = (x^{n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$


Сначала я вот что хочу прояснить.

Вот есть три числа $x$, $y$ и $z$. Из соотношения $x^2+y^2=z^2$ следует, что:

1. Треугольник со сторонами $x$, $y$ и $z$ прямоугольный. Тогда обозначим буквами $A$, $B$ и $C$ его углы, лежащие против сторон $x$, $y$ и $z$ соответственно. Тогда всё это вместе по тривиальным причинам удовлетворяет соотношениям (2) и (3).

2. Треугольник со сторонами $a=x^2$, $b=y^2$ и $c=z^2$ является вырожденным. Тогда обозначим буквами $A'$, $B'$ и $C'$ его углы, лежащие против сторон $x^2$, $y^2$ и $z^2$ соответственно. Это не те же самые $A$, $B$ и $C$, которые стоят в пункте 1!! В этой ситуации соотношения (3), конечно же, не выполняются. Тем не менее, соотношения (2) все равно выполняются.

Yarkin писал(а):
Бере пифагорову тройку 3, 4, 5 и подставим в соотношение (2), полагая там $n=2, \angle C = 90^0/$. Сокращая на $z \ne 0$, получим (cos A)^4 + (cos B)^4 = 1
А не надо подставлять $n=2$. Здесь правильно подставлять $n=1$, как и в равенство (1) (ведь $3^2+4^2=5^2$ - это равенство (1), записанное именно при $n=1$, и, соответственно, $x=3$, $y=4$, $z=5$). Если в разные равенства разные $n$ подставить, то конечно ничего не сойдется!!.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 18:38 


29/09/06
4552
AD писал(а):
Алексей К., видимо, на правильном пути.

А куда ему ещё деваться, когда все силы форума брошены на теорему Yarkina, а его, Алексея К., задачка о выпуклой функции висит нерёшаная! И завись гложет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
1) Что такое состояние геометрической фигуры?

    На этот вопрос я ответил.


Нет, ответа не было. Совершенно точно. Если Вы имеете в виду пример "состояние существования и вырожденности", то это не определение.

Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
2) Каким образом для треугольника может выполняться одно и только одно соотношение из большого множества доказывавшихся в школьном курсе геометрии?

    Вполне законный вопрос. Согласен, что здесь я перегнул, а потому внесу поправку.


Спасибо, хоть что-то признали.

Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
[3) Продемонстрируйте нам три положительных числа $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих условию $a^2+b^2=c^2$, для которых не существует треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
    Демонстрирую для общего случая, ибо частный случай легко проверить на численном примере.


Нет уж, давайте числа.

Yarkin писал(а):
Для этого положим в (1) $n=1$, получим соотношение
$$
x^2 + y^2 = z^2,     \eqno   (6)
$$
получить из соотношений (2) при $n=2, \angle C = 180^0, \angle A = \angle B = 0$.


Вы с дуба рухнули? (Извините за грубость). Где Вы видели прямоугольный треугольник с углом $180^{\circ}$??? И причём здесь $n=2$? Вы вопрос-то внимательно прочитали? Или специально морочите голову?

Someone писал(а):
Продемонстрируйте, пожалуйста, три положительных числа $a=x^n$, $b=y^n$, $c=z^n$, для которых выполняется соотношение (1) $x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$, то есть, $a^2+b^2=c^2$, и которые не являются длинами сторон треугольника.


И был отдельный вопрос про вырожденный треугольник:

Someone писал(а):
Предъявите численный пример: длины сторон вырожденного треугольника такие-то (численные значения), величины углов - такие-то (численные значения), и где там теорема косинусов нарушается. Без каких-либо общих рассуждений насчёт "существует или может существовать", только численные значения. Если Вы возьмёте неправильные значения углов, Вам это немедленно укажут.


Где Вы взяли вот эту цитату?

Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90^0$, и его косинус равен $1$. Никакого вырождения нет.

    Это ошибка. Легко показать, что это не так.


У меня было так:

Someone писал(а):
Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90°$, и его косинус равен $0$. Никакого вырождения нет.


Но раз уж Вы утверждаете, что это не так - приведите численный пример: стороны и углы прямоугольного треугольника, который является вырожденным, то есть, его вершины лежат на одной прямой.

Общие рассуждения непонятно о чём вместо численных примеров не принимаются.

Алексей К. писал(а):
Someone, Вы, похоже, обсуждаете прямоугольный тр-к со сторонами $x,y,z$, а надо --- со сторонами $a,b,c$, где $a=x^2, b=y^2, c=z^2$.


Мой вопрос сформулирован выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2008, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Держись Yarkin!
Теорема косинусов верна для любых $a, b, c.$ Тока угол иногда будет мнимым.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 13:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Если интересно, могу предложить следующую терминологию.
"Эмпирически существует" - в смысле существует как эмпирический предмет, как вещь. Примеры: эмпирически существуют стол, ж-д вагон, знак 3, треугольник, например, как совокупность чернильных линий на бумаге. Иначе говоря, эмпирически существуют те предметы, которые можно потрогать, увидеть непосредственно или с помощью каких-то приборов.
"Математически существует в данной теории Т" или "непротиворечив в данной теории Т" - абстрактный объект (кстати, абстрактные объекты эмпирически существуют как состояния клеток мозга), добавление которого в теорию не ведет к противоречию. Пояснять, кажется, не надо. Можно выделить более узкий вариант этого свойства - "конструктивен в данной теории Т" - существющий объект в Т, который можно конкретно описать. К примеру, множество Коэна, мощность которого больше, чем счетна, но меньше, чем несчетна, существует математически (непротиворечив), но неконструктивен. Сразу получим также, что любой конструктивный объект теории Т непротиворечив в теории Т. В частности, если Т противоречива в обычном смысле, то в ней любой объект конструктивен - непротиворечив в моем смысле. Наконец, математический объект может быть конструктивен, но не существовать эмпирически - это как раз в том смысле, что когда х+y>z, то треугольник существует математически (непротиворечив), но не существует эмпирически - как реальный объект. То есть 2 типа существования были смешаны. Это - в стиле Зиновьева, рекомендую.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Sonic86 писал(а):
Если интересно, могу предложить следующую терминологию.

Э-э-э ..., уважаемый, вижу, что человек Вы здесь новый - Вы это кому предлагаете, Яркину? :D
Так у него даже на уровне чернильных клякс, которые вдруг треугольник образовали, проблемы имеются.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 15:39 


16/03/07

823
Tashkent
Бодигрим писал(а):
Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или

    Речь идет о вырожденности и невырожденности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Yarkin писал(а):
Бодигрим писал(а):
Жаждем подробностей. Позвольте уточнить: в прямоугольном треугольнике угол между катетами не равен 90 градусам или

    Речь идет о вырожденности и невырожденности.
То есть такой вопрос как "чему равен угол" только может существовать, но поскольку Yarkin его никогда сам себе не задавал, вопрос этот для Yarkin'а не существуе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 15:44 


16/03/07

823
Tashkent
shwedka писал(а):
Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

    Вы подставили не в те формулы. На с. 5 последнее мое доказательство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Yarkin писал(а):
shwedka писал(а):
Проврались вы. Не получается здесь четвертых степеней!!! Посчитайте еще раз!!!

    Вы подставили не в те формулы. На с. 5 последнее мое доказательство.

Повторите формулы, в которые нужно подставлять. Из того варианта, который теперь окончательный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 16:12 


16/03/07

823
Tashkent
AD писал(а):
Если в разные равенства разные $n$ подставить, то конечно ничего не сойдется!!.

    Согласен. Только в этом случае мы получим при $\angle C=180^0 соотношение (5), которое должно выполняться одновременно с соотношением (1).

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

Someone писал(а):
Если Вы имеете в виду пример "состояние существования и вырожденности", то это не определение.

    Может быть я неправильно выражаюсь, но я имею в виду только это.

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Someone писал(а):
Нет уж, давайте числа.

    Подставте в моем доказательстве числа 3, 4, 5 и придете к тому же результату.

Добавлено спустя 8 минут 9 секунд:

Someone писал(а):
Вы с дуба рухнули? (Извините за грубость).

    Не извеню, потомучто Вы считаете, что соотношение (1) имеете право рассматриваь, как прямоугольный треугольник со сторонами $x^n, y^n, z^n$, а я не имею права рассматривать его как треугольник со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^{2n}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2008, 16:20 


29/09/06
4552
Yarkin писал(а):
Не извеню, потомучто Вы считаете, что соотношение (1) имеете право рассматриваь, как прямоугольный треугольник

Да НИКТО не имеет права рассматривать СООТНОШЕНИЕ как ТРЕУГОЛЬНИК!!! Говорите, наконец, по-русски, .. .... ....!

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

(за матерщину извИняюсь, но право же --- издевательство над читателем!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 284 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group