В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[Munin]

epros в сообщении #1072305 писал(а):

Ведь для задачи Коши, в которой получается периодическое решение, безразличен физический смысл переменной $t$.

Математикам - безразличен. Физикам - нет.

epros в сообщении #1072305 писал(а):

Это ведь вполне может оказаться, например, географическая долгота.

Речь идёт о задаче Коши в теории поля. Где $t$ - время.

[manul91]

epros в сообщении #1072222 писал(а):

Откуда у Вас вообще взялись евклидовы многообразия?

Как пример попроще когда конкретные условия на локальной кривизны могут обуславливать топологическую замкнутость.
Для хронопетлей в псевдоэвклидовом случае, я вам дал ссылку (там есть теорема на необходимые и достаточные условия; как и ссылки на другие доказательства).

epros в сообщении #1072222 писал(а):

Напоминаю, что по условиям (Вашим же) есть двумерие заданной скалярной кривизны $\frac {1}{R^2}$, про вкладываемость его куда-либо ничего не сказано. Продемонстрируйте, что если отойти от данной точки $O$ по прямой на расстояние $2\pi R$, то попадём в ту же точку $O$.

Я ничего не говорил про точно $2\pi R$ - мы можем попасть в ту же самую точку по геодезической как через $2\pi R$ ($S^2$ - сфера), через $\pi R$ ($SP^2$ - проекционная плоскость) так и через кратные $\frac{2\pi R}{n}$ (любые фактор-пространства); но $2\pi R$ - максимум.

Ладно, скицирую доказательство т.к. быстрее чем искать наготове уж слишком случай частный.
Пусть дано эвклидово 2-многообразие для котором в любой точке инвариант Гауссовой кривизны положителен и везде одинаков (равен одной и той же константы).

1) Впервых, мы говорим про многообразии. Это означает что окрестность любой точки - гомеоморфна окрестности точки в эвклидовой плоскости - топологические "разветвления/пересечения" исключены в любой точке (одномерная буква P или восьмерка; сфера касающаяся плоскости, или две пересекающиеся сферы - не многообразия).

2) Из (1) (с добавки метрики к многообразию) следует, что через любой точки многообразия по заданном конкретном направлении проходит единственная геодезическая, принадлежащая многообразию. Также, геодезическая конечной длины $L$ по заданному направлению из исходной точки $P_1$ - приводит к единственной точке на многообразии $P_2(L)$ (нельзя чтобы в одном и том же направлении из одной и той же исходной точке $P_1$ провели геодезической одной и той же длины - и пришли к разных точек многообразия $P_2'(L)$ и $P_2''(L)$)

3) Из прежнего также следует, что если из точку $P_1$ проведем геодезический отрезок $\Gamma$ до точку $P_2$ чья длина равна $L$ - и потом из точки $P_2$ геодезическую в обратном направлении и той же длины $L$ - то оба геодезических отрезка самоидентичны и мы возвращаемся обратно именно к точки $P_1$ а не к какой-нибудь другой.

4) Теперь берем наше конкретное многообразие с постоянной положительной гауссовой кривизны, и некоторую точку $P$ на нем. Строим "веером" геодезические во всех направлений из $P$. Из-за того что кривизна на двухмерии везде положительна и одинакова (полная однородность, и симметрия по любых направлений из $P$) - любая пара геодезических в разных направлений рано или поздно сойдется и пересечется снова; притом все точки пересечения идентичны и будут на одинаковом расстоянии от $P$ - т.е. все геодезические из $P$ исходящие из нее в любых направлений, пересекутся в одну и ту же единственную точку, на одном и том же расстоянии $L$ от $P$ по любой из геодезических; обозначим эту точку как $P'$.

5) Семья геодезических во всех направлений $\Gamma(L)$ изходящих из $P$ пересекающихся в $P'$ - является также и семьей геодезических во всех направлений $\Gamma(L)$ через $P'$ пересекающихся в некоторой точке $P''$. Но так как геодезические по всех направлений из $P$ к $P'$ исчерпывают все многообразие притом даже возможно, с "избытком" (это следует из 2, то что мы строили геодезические "веером" из $P$ то что все они пересекаются в одну и ту же точку $P'$) - то точка $P''$ обязана быть идентичной с $P$.

6) Следовательно данное многообразие замкнуто; все геодезические через $P$ замыкаются обратно на $P$, и их длина не больше $2L$ (есть еще случай когда их длина равна $L$ отвечающий проективной плоскости, где $P'$ идентична $P$ и веер исчерпывает многообразие "с двойным избытком"; ну и всякие там фактор-пространства типа lens но это сути не меняет).
ЧТД.

Не пользовались никакие вложения; все понятия - "внутренные"; длина $L$ м/у "антиподальных точек" очевидно является функцией из положительной константой кривизны (единственного "параметра" задачи).

-- 11.11.2015, 19:00 --

Someone в сообщении #1072272 писал(а):

В случае с римановым многообразием постоянной положительной кривизны топология определяется неоднозначно. Кроме сферы есть ещё проективное пространство.

Речь идет про конкретном топологическом свойстве (римановым многообразием постоянной положительной кривизны) - что геодезическая из исходной точке делает петлю возвращаясь обратно именно к исходной точке (в смысле идентичности) не позднее чем на длины $2\pi R$.
Как проективное пространство, так и сфера и любые их фактор-пространства обладают этим свойством.

epros не верит, что в некоторых специальных случаев метрика (без необходимости каких-нибудь конкретных вложений) может накладывать ограничения на топологических свойств - в смысле именно обеспечивать наличие петель по некоторых геодезических.

[Munin]

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

Как проективное пространство, так и сфера и любые их фактор-пространства обладают этим свойством.

Но любые ли накрытия таких фактор-пространств?

[manul91]

Munin в сообщении #1072337 писал(а):

Но любые ли накрытия таких фактор-пространств?

Eсли я правильно понимаю что имеете ввиду под "накрытия" - см. п. 1 из доказательстве; окрестность любой точки гомеоморфна окрестности точки обычной плоскости.
А значит, вроде исключаются "края/грани", всякие экзотики типа поворот на 2pi вокруг локальной окрестности точки приводит нас на "другом листе" и т.д.
Из этого вроде следует также, что два геодезических отрезка из исходной точке - с одинаковой длины и в разных, но "бесконечно близких" направлений - должны приводить также к "бесконечно-близких" конечных точек.

Ну я все это не оговаривал - если нужно более строго и детально про НДУ, пусть скажет кто-нибудь кто лучше разбирается например Someone.

[Ilja]

Geen в сообщении #1071979 писал(а):

Ilja в сообщении #1071961 писал(а):

при маленькой случайной вариации решение уже не будет

Берём маленькую случайную вариацию плотности пыли - что там будет с решением Гёделя?

Хороший вопрос, и мой честный ответ: не знаю.

Кое-что знаю, а именно то, что обычную задачу Коши для таких решении не получишь. Что может служить заменой непонятно. И в этом смысле задача не поставлена корректно.

В ОТО всегда можно поставить локальную задачу Коши - для этого надо выбрать пространственно-подобную поверхность и там определить начальные данные, и в этом случае будет локальное решение. Но склеить разные такие локальные решения наверное не получится.

[Geen]

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

пара геодезических в разных направлений рано или поздно сойдется и пересечется снова

Не очевидно.

[manul91]

Geen в сообщении #1072429 писал(а):

Цитата:

пара геодезических в разных направлений рано или поздно сойдется и пересечется снова

Не очевидно.

Мне кажется одна только положительность кривизны в любой точке (не стремящаяся к нулю) обеспечивает это; как минимум в случае 2х измерений?
Контрпример есть?

[Munin]

manul91
В 4-х измерениях тензор кривизны Римана сложнее, чем в $\leqslant 3.$ Это надо учитывать. Появляются члены вида $R_{1234}.$

[Geen]

manul91 в сообщении #1072441 писал(а):

Мне кажется одна только положительность кривизны в любой точке (не стремящаяся к нулю) обеспечивает это

Скорее всего нет. Можно "провернуть" стягивающуюся "горловину".

manul91 в сообщении #1072441 писал(а):

Контрпример есть?

Был бы наготове - сразу бы привёл...

[manul91]

Geen в сообщении #1072483 писал(а):

Скорее всего нет. Можно "провернуть" стягивающуюся "горловину".

Не совсем понятно что за "горловина" - но если это то что я думаю, то оно без отрицательной/нулевой гауссовой кривизны ("седловидных точек") в кое-каких мест не обойдется. Скажем так - для итогового повторного пересечения двух геодезических в разных направлений исходящих из одной начальной точке - достаточно, чтобы кривизна на поверхности везде была не меньше некоторой зафиксированной положительной величины.

Munin в сообщении #1072460 писал(а):

В 4-х измерениях тензор кривизны Римана сложнее, чем в $\leqslant 3.$ Это надо учитывать. Появляются члены вида $R_{1234}.$

Само собой; в ОТО еще и сигнатура не та (псевдоэвклидовость) что дополнительно осложняет вещи - нужно рассматривать несколько видов направлений (изотропных, времениподобных, пространственноподобных) и т.д.

Вопрос-то был принципиальным - что в некоторых специальных случаев, из метрики следует существование реально замкнутых геодезических на многообразии (и отвертеться от замкнутости только декларируя "неидентичности точек" с одинаковых координат в начале и конце петли - не получится).

[epros]

Munin в сообщении #1072309 писал(а):

Речь идёт о задаче Коши в теории поля. Где $t$ - время.

Меня просто восхищают эти извивания.
1) В задаче Коши физический смысл переменной -- не обязательно время. Про задачу Коши не я заговорил, а Вы.
2) Если даже рассмотреть исключительно тот случай, когда физический смысл переменной -- именно время, то в контексте вопроса о хронопетлях ничто не мешает этой переменной зациклиться точно в таком же смысле, в котором зацикливается географическая долгота.

manul91, пока не могу прочитать внимательно, отвечу позже.

[Munin]

epros в сообщении #1072609 писал(а):

Меня просто восхищают эти извивания.

Меня ваша демагогия опять утомила. О физике вы не желаете ни разговаривать, ни думать - мне этой констатации достаточно.

Я хотел вам что-то из физики показать - вы опять отмахнулись, как уже и много раз. Воля ваша. Чёрт с вами.

epros в сообщении #1072609 писал(а):

2) Если даже рассмотреть исключительно тот случай, когда физический смысл переменной -- именно время, то в контексте вопроса о хронопетлях ничто не мешает этой переменной зациклиться точно в таком же смысле, в котором зацикливается географическая долгота.

Самой по себе - не мешает. При постановке задачи Коши (в физическом смысле!) - мешает.

[epros]

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

Пусть дано эвклидово 2-многообразие для котором в любой точке инвариант Гауссовой кривизны положителен и везде одинаков (равен одной и той же константы).

К этому возникает чисто терминологическое замечание: Я привык именовать "евклидовым" пространство нулевой кривизны.

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

1) Впервых, мы говорим про многообразии. Это означает что окрестность любой точки - гомеоморфна окрестности точки в эвклидовой плоскости - топологические "разветвления/пересечения" исключены в любой точке (одномерная буква P или восьмерка; сфера касающаяся плоскости, или две пересекающиеся сферы - не многообразия).

Условие принято.

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

2) Из (1) (с добавки метрики к многообразию) следует, что через любой точки многообразия по заданном конкретном направлении проходит единственная геодезическая, принадлежащая многообразию. Также, геодезическая конечной длины $L$ по заданному направлению из исходной точки $P_1$ - приводит к единственной точке на многообразии $P_2(L)$ (нельзя чтобы в одном и том же направлении из одной и той же исходной точке $P_1$ провели геодезической одной и той же длины - и пришли к разных точек многообразия $P_2'(L)$ и $P_2''(L)$)

Принято.

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

3) Из прежнего также следует, что если из точку $P_1$ проведем геодезический отрезок $\Gamma$ до точку $P_2$ чья длина равна $L$ - и потом из точки $P_2$ геодезическую в обратном направлении и той же длины $L$ - то оба геодезических отрезка самоидентичны и мы возвращаемся обратно именно к точки $P_1$ а не к какой-нибудь другой.

Принято. И, право, не стоило употреблять для этого так много слов.

manul91 в сообщении #1072331 писал(а):

4) Теперь берем наше конкретное многообразие с постоянной положительной гауссовой кривизны, и некоторую точку $P$ на нем. Строим "веером" геодезические во всех направлений из $P$. Из-за того что кривизна на двухмерии везде положительна и одинакова (полная однородность, и симметрия по любых направлений из $P$) - любая пара геодезических в разных направлений рано или поздно сойдется и пересечется снова;

А вот это надо доказать. Вы очень интересно всё обернули, потребовав от оппонентов контрпримеров. Это не доказательство.

Впрочем, у меня кажется вырисовывается в голове схема доказательства. Так что Вы меня наполовину убедили. Буду смотреть дальше.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1072642 писал(а):

Я хотел вам что-то из физики показать

Что главное в физической величине - это какой буквой она обозначается...

[epros]

manul91, ладно, Вы меня убедили. Случай двумерия постоянной положительной кривизны накладывает ограничения на топологию. Но, по-моему, это как раз то частное исключение, которое только подтверждает общее правило.