В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[Geen]

Ilja в сообщении #1071961 писал(а):

при маленькой случайной вариации решение уже не будет

Берём маленькую случайную вариацию плотности пыли - что там будет с решением Гёделя?

[schekn]

manul91 в сообщении #1071780 писал(а):

$r$ это никакой не "радиус" а просто координата ("радиальная"), и ее "смысл" и область значений определяются не буковкой которой она записана - а многообразием определяемом метрикой в которой эта координата участвует.

Если вы не умеете связать координату $r$ с физическими величинами, но не надо катить баллоны на других. Укажите , где в вашей статье указано на области определения координат : $r,\varphi, \theta, t$ для метрики Керра в координатах Б-Л ?

[epros]

Munin в сообщении #1071902 писал(а):

Если это задача Коши, и символы имеют стандартные значения, то $t\in\mathbb{R}^+.$

Видите ли, $t$ -- это всего лишь координата. Аналогично с координатой $\varphi$ в сферической системе: Мы же не делаем из того, что она определена на $\mathbb{R}$, такой вывод, что $0$ и $2\pi$ соответствуют разным точкам пространства.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1071960 писал(а):

Устремляем массу в ноль $M = 0$ получаем..... Координата $r$ - радиусная координата в сфероидальной системе координат

Опять какое-то никчемное возражение... Обращая массу в нуль мы теряем всю геометрию Керра; неудивительно что при этом домен значений координат на новом многообразии может оказаться другим.
Например для двухмерной поверхности параболоида Фламма с параметром $r_s$, в стандартных координат (длина окружности при радиусе R равна $2{\pi}R$) - для $R$ допустимы как положительные значения $R \geqslant r_s$ так и отрицательные $R \leqslant -r_s$. "Устремляя $r_s$ к нулю", горловина "закрывается" и мы "остаемся" с $R \geqslant 0$.

SergeyGubanov в сообщении #1071960 писал(а):

Допустим мы по-волшебству проникли в область отрицательных $r$ туда где $g_{\varphi \varphi} > 0$. С какой стати времениподобная координата обозначаемая буквой $\varphi$ считается циклической?
Эта времени подобная координата, вообще говоря, не имеет ничего общего с циклической пространственно подобной координатой обозначаемой той же буквой $\varphi$ из области $g_{\varphi \varphi} < 0$.
Полагать времениподобную $\varphi$ циклической - произвольное допущение, которое ни откуда не следует.

Координата может менять свой характер от "времениподобный" на "пространственноподобный" в разных областей (как например r в Шварцшильде) - это отнюдь не значит, что это "не та" координата.

Но, суть этого вашего возражения - "полагать времениподобную $\varphi$ циклической [в данной области] - произвольное допущение, которое ни откуда не следует" - на порядки "качественнее", чем все предыдущие вместе взятых.
Я сам думал об этом....
Это конечно "та же самая координата" как и снаружи - но откуда следует, что она в данной области продолжает быть циклической?

Более того, вроде можно представить себе координатизацию - например, того же параболоида Фламма где "центр" взят не в горловину а "в сторону" - когда циклическая координата по "верхней стороны" параболоида, "пропадая через горловину" по другой стороны уже не замыкается а становится открытой.
При этом вроде должна возникнуть типа координатная сингулярность там, где циклическая координата "размыкается" становясь открытой.

У меня недостаточно знаний в метрической топологии чтобы ответить четко на этот вопрос (но это разумеется не значит, что ответа не существует).

Могу представить следующую неформальную обосновку:

- самО полное многообразие в данном случае, обязано иметь полностью центрально-симметричной геометриeй (за исключением обращения знака времени t), вне зависимости от координат (просто потому что по условию берется такое многообразие, как решение для физической ситуации с той же симметрией)

- но выбранные координаты Керра, обладают ту же самую симметрию как и самО многообразие - это можно проверить непосредственно из вида метрики Керра.

- Для больших положительных $r$ координата $\varphi$ очевидно циклична "вокруг центра симметрии"; многообразие обладает центральной симметрии и $r$ - радиальная координата именно этой радиальной симметрии; если введем булевувую функцию типа $IsCyclic(\varphi(r))$, то обращение ее значения из true в false для какого-то $r_0$ - означало бы нарушение центральной симметрии координат и самого многообразия за этого $r_0$ (что противоречит сказанному выше)

- вроде не наблюдаются никакие дополнительные координатные сингулярности связанные с том что координата $\varphi$ "размыкается" становясь от закрытой (снаружи) в открытой (в области некоторых r). По меньшей мере, их существование надо доказать (если например утверждать что такое происходит на внутреннем горизонте Коши)

Для меня она достаточно убедительна (хотя на данном этапе не могу сразу поклясться что не отметает допустимость неких навороченных фокусов - типа что можно согласованно допустить что в данной области $r$ обращается в циклической, а при этом $\varphi$ заодно размыкается).

-- 10.11.2015, 18:49 --

epros в сообщении #1072043 писал(а):

Видите ли, $t$ -- это всего лишь координата. Аналогично с координатой $\varphi$ в сферической системе: Мы же не делаем из того, что она определена на $\mathbb{R}$, такой вывод, что $0$ и $2\pi$ соответствуют разным точкам пространства.

epros
В предложенном вами конкретном примере, это конечно так - потому что про многообразием "над" котором ставится ваша задачка - "ничего не известно", и "никакие ограничения" не поставлены.
Но вы забываете о том, что в ОТО геометрия пространства времени является частью решения неразрывно связанной с самой "задачи Коши" на пространственноподобной гиперповерхности над этом многообразии - геометрия и "решение задачи Коши" должны быть взаимосогласованны через выполнения УЭ в любой точке многообразия.
Для вашей задачи вы никак не указали (даже отдельно) какую-нибудь метрику многообразия, над котором задается эта примерная "задача Коши".

Далее как я ранее говорил - метрика иногда (в некоторых случаев) вполне может накладывать ограничения на топологию полного многообразия. Например, если решения для изотропных метрики $ds=0$ такие что изотропные исходящие из некоторой (регулярной) точкe многообразия опять сближаются и самопересекаются (возможно, обратив ориентацию) еще раз в якобы "другой точке" и при этом причинные конусы будущего (и прошлого) данной точки имеет конечный 4-объем - то вроде соответное времениподобное направление с необходимостью циклично (эти якобы "разные точки", должны быть физически идентичны).

Похоже этого (представить "с потолка" метрику из которой с необходимостью следуют хронопетли для данной геометрии) возможно добиться уже даже в двух измерений (1+1). Посмотрите например на эту ссылку, интересно.

[epros]

manul91 в сообщении #1072063 писал(а):

Но вы забываете о том, что в ОТО геометрия пространства времени является частью решения неразрывно связанной с самой "задачи Коши" на пространственноподобной гиперповерхности над этом многообразии - геометрия и "решение задачи Коши" должны быть взаимосогласованны через выполнения УЭ в любой точке многообразия.

Вы заблуждаетесь. Локальная геометрия, определяемая уравнениями ОТО, и топология многообразия -- совершенно параллельные вещи. Из утверждения, что кривизна везде нулевая, не обязательно следует пространство Минковского. А из утверждения, что топология тривиальна и нет хронопетель -- не следует нулевая кривизна.

[manul91]

epros в сообщении #1072081 писал(а):

Локальная геометрия, определяемая уравнениями ОТО, и топология многообразия -- совершенно параллельные вещи.

Это неверно, не "совершенно параллельные".

epros в сообщении #1072081 писал(а):

Из утверждения, что кривизна везде нулевая, не обязательно следует пространство Минковского.

Это, для данного случая везде нулевой кривизны - верно.

Но, как я вам раньше дал простейший пример - для двухмерной эвклидовой поверхности, из условии что кривизна положительна и равна константой везде - следует однозначно что топология полного многообразия замкнута (есть такая теорема).
В случае псевдоевклида все несколько навороченнее из-за того что есть разные времениподобные и пространственноподобные направления - но суть не меняется (посмотрите на ссылку которую я дал).

Так что из некоторых конкретных условий на кривизну/метрику - можно ничего не следовать про топологию (может быть как открытой так и замкнутой) - а из других конкретных условий - может следовать однозначно.
Ваш пример с нулевой кривизной относится к первом случае; это не доказывает что второго не существует (наоборот - я привел конкретный пример для 2-эвклида который доказывает, что второй случай существует).

epros в сообщении #1072081 писал(а):

А из утверждения, что топология тривиальна и нет хронопетель -- не следует нулевая кривизна.

Это разумеется тоже верно (из топологию про кривизны вообще ничего не следует), но я говорю про возможных следствий в обратном направлении.

-- 10.11.2015, 19:33 --

Munin в сообщении #1071902 писал(а):

А на $t\in\mathbb{R}/2\pi$ вообще задачу Коши поставить нельзя, если вы не в курсе.

Munin - в каком смысле "поставить нельзя"?
По моему ее вполне можно поставить - только на отличие от открытого случая, останутся только взаимосогласованные периодические по t решения (сузится спектр решений и соответно допустимых начальных условий). Т.е. будем искать решения в виде $f(x,t)$ где $f$ периодична по $t$, т.е. $f(x_0,0) \equiv f(x_0,2\pi)$ для любого $x_0$.

Ведь на измерение ниже, например над замкнутой струной - никто не говорит что нельзя поставить задачу Коши - хотя и берутся только условия и их решения которые самосогласованны по отношению периодичности $x$. Аналогично для двухмерном напр. волновые решения над сферы, тора и т.д.

[Munin]

epros в сообщении #1072043 писал(а):

Видите ли, $t$ -- это всего лишь координата.

Не только. Это ещё и многообразие. Ну задали его так, оно не виновато.

[epros]

manul91 в сообщении #1072089 писал(а):

Это неверно, не "совершенно параллельные".

Я же сказал в каком смысле "совершенно": В том, что ни первое из второго, ни второе из первого не следует. Вполне чёткий логический смысл.

manul91 в сообщении #1072089 писал(а):

для двухмерной эвклидовой поверхности, из условии что кривизна положительна и равна константой везде - следует однозначно что топология полного многообразия замкнута (есть такая теорема).

По-моему, Вы в этой теореме кое-что упускаете. Например дополнительное условие, что это двумерие вложено в евклидово трёхмерие.

-- Вт ноя 10, 2015 20:42:06 --

Munin в сообщении #1072099 писал(а):

Это ещё и многообразие. Ну задали его так, оно не виновато.

Я, вроде, не задавал. А если кто и задал, так это, стало быть, совсем не то многообразие, точки которого обозначают точки интересующего нас пространства.

[manul91]

epros в сообщении #1072109 писал(а):

Я же сказал в каком смысле "совершенно": В том, что ни первое из второго, ни второе из первого не следует. Вполне чёткий логический смысл.

Нет, "второе" (топология) из "первого" (локальной геометрии) иногда (в некоторых конкретных случаев) следует.
Так что "совершенство" в этом смысле, нарушается.

epros в сообщении #1072109 писал(а):

По-моему, Вы в этой теореме кое-что упускаете. Например дополнительное условие, что это двумерие вложено в евклидово трёхмерие.

Нет, никакое "вложение" не требуется - так как топологические инварианты многообразия - внутренние - и от "возможности его вложения" (и как именно оно сделано) в высших над-пространств никак не зависят.
Это теоремы связывающие внутренние локальные метрические характеристики с топологических инвариантов риманова эвклидового многообразия; насколько помню можно искать в связи с теорем Беннета-(еще кто-то кажется был).
Возможность изометрического вложения (и как оно делается) в конкретных над-пространств высших размерностей, никакую роль при этом не играет (более того таких вложений всегда можно сделать нужно просто брать над-пространстнво достаточно большой размерности).

В псевдоэвклидовом случае, для хронопетель даже в некотором смысле "нагляднее"...
Неформально говоря если изотропные из регулярном событии $P_0$ пересекаются еще раз в событии $P_1$ и замыкают конечный 4-объем - то этот 4-объем (скорее любая пространственноподобная гиперповерхность на нем) казуально обеспечивает одно и то же происходящее во всех событий $P_1, P_2, ... P_n ...$ как и в любой точке "последующих" замкнутых "конусов" (что тут и не конусы вовсе, а вроде того что называют lens) - поэтому эти события (как и внутренности "4-конусов" между ними) физически идентичны (в обратном направлении, это должно следовать также из обратимости фундаментальных законов физики).

Кстати я согласен с вашем возражении которое вы где-то писали прежде - что даже если и хронопетли "существуют" в некотором абстрактном смысле (как гипотетические части решений) - непонятно как их однозначно детектировать "снаружи". Ведь возможность однозначной экспериментальной регистрации автоматически означает что это уже и не хронопетли. А значит само понятие остается нефизичным типа "сферический конь в вакууме".
Это по-моему, самый убедительный аргумент "против" (возможно, не в таком ключе как другим нравится).

(Оффтоп)

Хотя..... при полной детерминированности законов на фундаментальном уровне (а "чистая ОТО" сама по себе, как и чистая классическая механика - именно такие парадигмы) - вообще-то не совсем понятно зачем нужно придавать "экспериментальных потверждений" хоть какой-то значимости.... Но это оффтоп.

[Munin]

epros в сообщении #1072109 писал(а):

Я, вроде, не задавал. А если кто и задал

Его задал Коши, формулируя, что такое "задача Коши". Так что, либо вы обсуждаете задачу Коши (и принимаете общепринятое многообразие), либо вы говорите не о физике.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1072133 писал(а):

Его задал Коши, формулируя, что такое "задача Коши". Так что, либо вы обсуждаете задачу Коши (и принимаете общепринятое многообразие), либо вы говорите не о физике.

Лёгким преобразованием координат общепринятое многообразие превращается... многообразие превращается... Превращается многообразие!.. В необщепринятое.

[epros]

manul91 в сообщении #1072129 писал(а):

Нет, "второе" (топология) из "первого" (локальной геометрии) иногда (в некоторых конкретных случаев) следует.

Не согласен. Только если "конкретность" в том и заключается, что дополнительно определена конкретная топология.

manul91 в сообщении #1072129 писал(а):

Нет, никакое "вложение" не требуется - так как топологические инварианты многообразия - внутренние - и от "возможности его вложения" (и как именно оно сделано) в высших над-пространств никак не зависят.
Это теоремы связывающие внутренние локальные метрические характеристики с топологических инвариантов риманова эвклидового многообразия; насколько помню можно искать в связи с теорем Беннета-(еще кто-то кажется был).

Откуда у Вас вообще взялись евклидовы многообразия? Напоминаю, что по условиям (Вашим же) есть двумерие заданной скалярной кривизны $\frac {1}{R^2}$, про вкладываемость его куда-либо ничего не сказано. Продемонстрируйте, что если отойти от данной точки $O$ по прямой на расстояние $2\pi R$, то попадём в ту же точку $O$.

[Someone]

В случае с римановым многообразием постоянной положительной кривизны топология определяется неоднозначно. Кроме сферы есть ещё проективное пространство.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1072194 писал(а):

Лёгким преобразованием координат общепринятое многообразие превращается... многообразие превращается... Превращается многообразие!.. В необщепринятое. :shock:

Преобразованием координат многообразие ни во что превратить невозможно. Странно, что вы про это забыли.
Многообразия можно превращать в другие многообразия топологическими операциями: разрезами, склейками, переклейками.

-- 11.11.2015 16:02:10 --

Someone в сообщении #1072272 писал(а):

В случае с римановым многообразием постоянной положительной кривизны топология определяется неоднозначно. Кроме сферы есть ещё проективное пространство.

Проективное плохо тем, что оно неориентируемое. Но проективное пространство - это сфера пополам. А сферу можно делить и мельче (например, по правильным и полуправильным многогранникам), и некоторые из таких факторпространств будут ориентируемыми. Среди широкой публики наиболее известна "сфера Пуанкаре" (тоже неориентируемая, кстати).

[epros]

Munin в сообщении #1072133 писал(а):

Так что, либо вы обсуждаете задачу Коши (и принимаете общепринятое многообразие), либо вы говорите не о физике.

Странно, а мне вот видится, что Вы, обсуждая задачу Коши, говорите не о физике. Ведь для задачи Коши, в которой получается периодическое решение, безразличен физический смысл переменной $t$. Это ведь вполне может оказаться, например, географическая долгота. И Ваши рассуждения о том, что эта переменная определена на $\mathbb{R}$, никоим образом не отменят того факта, что через 360 градусов мы попадаем в ту же физическую точку.