Откуда у Вас вообще взялись евклидовы многообразия?
Как пример попроще когда конкретные условия на локальной кривизны могут обуславливать топологическую замкнутость.
Для хронопетлей в псевдоэвклидовом случае, я вам дал ссылку (там есть теорема на необходимые и достаточные условия; как и ссылки на другие доказательства).
Напоминаю, что по условиям (Вашим же) есть двумерие заданной скалярной кривизны
, про вкладываемость его куда-либо ничего не сказано. Продемонстрируйте, что если отойти от данной точки
по прямой на расстояние
, то попадём в ту же точку
.
Я ничего не говорил про точно
- мы можем попасть в ту же самую точку по геодезической как через
(
- сфера), через
(
- проекционная плоскость) так и через кратные
(любые фактор-пространства); но
- максимум.
Ладно, скицирую доказательство т.к. быстрее чем искать наготове уж слишком случай частный.
Пусть дано эвклидово 2-многообразие для котором в любой точке инвариант Гауссовой кривизны положителен и везде одинаков (равен одной и той же константы).
1) Впервых, мы говорим про многообразии. Это означает что окрестность любой точки - гомеоморфна окрестности точки в эвклидовой плоскости - топологические "разветвления/пересечения" исключены в любой точке (одномерная буква P или восьмерка; сфера касающаяся плоскости, или две пересекающиеся сферы - не многообразия).
2) Из (1) (с добавки метрики к многообразию) следует, что через любой точки многообразия по заданном конкретном направлении проходит единственная геодезическая, принадлежащая многообразию. Также, геодезическая конечной длины
по заданному направлению из исходной точки
- приводит к единственной точке на многообразии
(нельзя чтобы в одном и том же направлении из одной и той же исходной точке
провели геодезической одной и той же длины - и пришли к разных точек многообразия
и
)
3) Из прежнего также следует, что если из точку
проведем геодезический отрезок
до точку
чья длина равна
- и потом из точки
геодезическую
в обратном направлении и той же длины
- то оба геодезических отрезка самоидентичны и мы возвращаемся обратно именно к точки
а не к какой-нибудь другой.
4) Теперь берем наше конкретное многообразие с постоянной положительной гауссовой кривизны, и некоторую точку
на нем. Строим "веером" геодезические во всех направлений из
. Из-за того что кривизна на двухмерии везде положительна и одинакова (полная однородность, и симметрия по любых направлений из
) - любая пара геодезических в разных направлений рано или поздно сойдется и пересечется снова; притом все точки пересечения идентичны и будут на одинаковом расстоянии от
- т.е. все геодезические из
исходящие из нее в любых направлений, пересекутся в одну и ту же единственную точку, на одном и том же расстоянии
от
по любой из геодезических; обозначим эту точку как
.
5) Семья геодезических во всех направлений
изходящих из
пересекающихся в
- является также и семьей геодезических во всех направлений
через
пересекающихся в некоторой точке
. Но так как геодезические по всех направлений из
к
исчерпывают все многообразие притом даже возможно, с "избытком" (это следует из 2, то что мы строили геодезические "веером" из
то что все они пересекаются в одну и ту же точку
) - то точка
обязана быть идентичной с
.
6) Следовательно данное многообразие замкнуто; все геодезические через
замыкаются обратно на
, и их длина не больше
(есть еще случай когда их длина равна
отвечающий проективной плоскости, где
идентична
и веер исчерпывает многообразие "с двойным избытком"; ну и всякие там фактор-пространства типа lens но это сути не меняет).
ЧТД.
Не пользовались никакие вложения; все понятия - "внутренные"; длина
м/у "антиподальных точек" очевидно является функцией из положительной константой кривизны (единственного "параметра" задачи).
-- 11.11.2015, 19:00 --В случае с римановым многообразием постоянной положительной кривизны топология определяется неоднозначно. Кроме сферы есть ещё проективное пространство.
Речь идет про конкретном топологическом свойстве (римановым многообразием постоянной положительной кривизны) - что геодезическая из исходной точке делает петлю возвращаясь обратно именно к исходной точке (в смысле идентичности) не позднее чем на длины
.
Как проективное пространство, так и сфера и любые их фактор-пространства обладают этим свойством.
epros не верит, что в некоторых специальных случаев метрика (без необходимости каких-нибудь конкретных вложений) может накладывать ограничения на топологических свойств - в смысле именно обеспечивать наличие петель по некоторых геодезических.