Во втором сообщении "Основание физики 2" в 1924 (Избранное, 2 том, стр. 379) Гильберт сформулировал ограничения на допустимые преобразования координат. Ниже я приведу полностью его текст.
Если мы хотим, чтобы координата
по смыслу была временем, а остальные
- пространственными координатами, необходимо выполнения неравенств (31) ( в современной записи интервала все знаки неравенств надо поменять на противоположные).
В этом случае, если 2 события А и В находятся на временной линии в причинной зависимости
, то никакими преобразованиями координат нельзя добиться, чтобы было
.
Данные неравенства считаются обязательными в ряде классических работ по ОТО: Фока, Зельманова, Но они полностью игнорируются в учебнике Ландау-Лифшица, и 3-х томнике Мизнер-Торн-Уилер. В современных теориях они обязательны в РТГ А. Логунова и в монографии В. Темчина по ОТО.
У Зельманова они обязательны еще и потому, что он вводит понятие Системы Отсчета и хромоинварианты именно при таком расщеплении (3+1). Так, по его определению, преобразования пространственных координат, не затрагивающих время, оставляют нас в одной СО.
В литературе по ОТО неравенства Гильберта нарушаются сплошь и рядом. 2 примера.
1. Метрика Эддингтона-Финкельштейна.
В области
, которая допускается в данной модели пространства-времени,
.
2. Метрика вращающейся вселенной Гёделя.
Видно, что при некотором значении r :
угловой член меняет знак и нарушаются неравенства Гильберта. В этом случае возникает замкнутая времениподобная. Частица гипотетически может вернуться в точку с теми же пространственными координатами. Если зафиксировать
, то при этом
, то есть такая кривая времениподобна.
При этом у сторонников ОТО часто звучит такая фраза: "ничто не запрещает нам использовать любыми допустимыми (гладкими и невырожденными) преобразованиями координат, если это удобно для расчетов". В данном случае имеется в виду математическое удобство. Но, если при этом нарушаются физические законы, насколько они допустимы?
В чем ошибка Гильберта и как формулируется принцип причинности в современной литературе?
Полный текст из Гилберта: