2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.
 
 В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение11.05.2014, 10:06 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Во втором сообщении "Основание физики 2" в 1924 (Избранное, 2 том, стр. 379) Гильберт сформулировал ограничения на допустимые преобразования координат. Ниже я приведу полностью его текст.

Если мы хотим, чтобы координата $x^0$ по смыслу была временем, а остальные $x^1,x^2,x^3$ - пространственными координатами, необходимо выполнения неравенств (31) ( в современной записи интервала все знаки неравенств надо поменять на противоположные).

В этом случае, если 2 события А и В находятся на временной линии в причинной зависимости $x^0(A)<x^0(B)$ , то никакими преобразованиями координат нельзя добиться, чтобы было $x’^0(A)=x’^0(B)$ .
Данные неравенства считаются обязательными в ряде классических работ по ОТО: Фока, Зельманова, Но они полностью игнорируются в учебнике Ландау-Лифшица, и 3-х томнике Мизнер-Торн-Уилер. В современных теориях они обязательны в РТГ А. Логунова и в монографии В. Темчина по ОТО.

У Зельманова они обязательны еще и потому, что он вводит понятие Системы Отсчета и хромоинварианты именно при таком расщеплении (3+1). Так, по его определению, преобразования пространственных координат, не затрагивающих время, оставляют нас в одной СО.
В литературе по ОТО неравенства Гильберта нарушаются сплошь и рядом. 2 примера.

1. Метрика Эддингтона-Финкельштейна.

$ds^2=(1-r_g/r)dV^2-2dVdr-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$

В области $ r<r_g $, которая допускается в данной модели пространства-времени, $g_{00}<0$.

2. Метрика вращающейся вселенной Гёделя.

$ds^2=4a^2(dt^2-dr^2+(\sh^4{r}-\sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}\sh^2{r}d{\varphi}dt^2-dz^2)$


Видно, что при некотором значении r : $\sh^4{r}-\sh^2{r}>0$ угловой член меняет знак и нарушаются неравенства Гильберта. В этом случае возникает замкнутая времениподобная. Частица гипотетически может вернуться в точку с теми же пространственными координатами. Если зафиксировать $t, r, z $, то при этом $ds^2>0$, то есть такая кривая времениподобна.
При этом у сторонников ОТО часто звучит такая фраза: "ничто не запрещает нам использовать любыми допустимыми (гладкими и невырожденными) преобразованиями координат, если это удобно для расчетов". В данном случае имеется в виду математическое удобство. Но, если при этом нарушаются физические законы, насколько они допустимы?
В чем ошибка Гильберта и как формулируется принцип причинности в современной литературе?

Полный текст из Гилберта:

Изображение
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение12.05.2014, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
schekn, по-моему, Вы слишком всерьез отнеслись к «требованиям» Гильберта. На самом деле, системы координат допустимы любые и никакого отношения к причинности они не имеют. Но если очень хочется, то можно наложить дополнительное требование: чтобы времени-подобная координата была строго одна. Но это только вопрос удобства, связанный с возможностью привязки к телу отсчета.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение12.05.2014, 15:25 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
epros в сообщении #862233 писал(а):
schekn, по-моему, Вы слишком всерьез отнеслись к «требованиям» Гильберта.

Как видите, не только я, но и серьезные теоретики относятся серьезно к данным неравенствам. Темчин вообще заявляет, что функции $g_{\mu\nu}$, которые получаются при решении уравнений Эйнштейна становятся метрическими компонентами только при выполнении данных условий (31).
epros в сообщении #862233 писал(а):
На самом деле, системы координат допустимы любые и никакого отношения к причинности они не имеют

А что тогда понимают под причинностью? Гильберт не зря все таки оговорил данный момент.
Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.
Можете ли Вы быть уверенны, что решения задач в тех областях, где нарушаются данные неравенства, имеет физический смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение12.05.2014, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
schekn в сообщении #862238 писал(а):
А что тогда понимают под причинностью? Гильберт не зря все таки оговорил данный момент.
Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.
Можете ли Вы быть уверенны, что решения задач в тех областях, где нарушаются данные неравенства, имеет физический смысл?
Ничего иного кроме хронопетель я Вам предложить не могу. Почему Вы их считаете за абсурд — не понимаю. Да, не очень «физичны», но такие решения есть и в рамках ОТО они логически непротиворечивы.

А эти неравенства вообще имеют отношение только к выбору координат, что для «физики процесса» не имеет значения. Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение12.05.2014, 23:09 


02/11/11
1310
Требования Гильберта воспринимаются сейчас как анахронизм. Ведь давно понятно, что необязательно рассматривать задачи в системах координат, где есть одна привычная времениподобная координата. Какая бы ни была СК, инвариантные величины меняться не будут. К примеру, времениподобные интервалы между причинно-связанными событиями будут времениподобными в любой другой СК.

Ключевая фраза написана именно вами:
schekn в сообщении #861620 писал(а):
Если мы хотим, чтобы координата $x^0$ по смыслу была временем, а остальные $x^1,x^2,x^3$ - пространственными координатами

Если мы хотим... Но это необязательно.

schekn в сообщении #862238 писал(а):
Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.

В физичности решений ОТО с замкнутыми времениподобными есть сомнения, которые, насколько мне известно, связаны с квантовой механикой. Но принцип причинности здесь не при чем. Хронопетли его не нарушают.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение13.05.2014, 00:33 


30/05/13
253
СПб
KVV в сообщении #862452 писал(а):
Если мы хотим... Но это необязательно.

Более того, похоже что в общем случае $x^0$ не является "физическим" временем.

schekn в сообщении #861620 писал(а):
как формулируется принцип причинности в современной литературе?

В КТП постулируют, что операторы поля, относящиеся к точкам, разделённым пространственно-подобным интервалом, должны коммутировать. Можно также сформулировать на языке матрицы рассеяния т.н. условие микропричинности Боголюбова.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение13.05.2014, 12:10 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
schekn в сообщении #861620 писал(а):
В чем ошибка Гильберта и как формулируется принцип причинности в современной литературе?
В каком-то смысле "принцип причинности" есть система условий накладываемых на пространство событий, чтобы в каком-то народно-бытовом смысле оно оказывалось "причинным". В книге Бим, Эрлих: "Глобальная лоренцева геометрия" авторы вводят восемь классов причинности пространства событий (упорядочено по "силе" налагаемых условий): "хронологическое", "причинное", "различающее", "сильно причинное", "устойчиво причинное", "причинно непрерывное", "причинно простое", "глобально гиперболическое".

В каком-то другом смысле "принцип причинности" есть требования накладываемые на систему уравнений теории поля. По-моему, самое сильное требование на систему уравнений теории поля, которое только можно придумать в связи с народно-бытовой "причинностью", заключается в следующем: система уравнений должна допускать задание произвольных начальных данных. Задали произвольные начальные данные в прошлом, далее согласно уравнениям теории поля получили поля в будущем. Будущее завист от прошлого. Прошлое не зависит от будущего (что проявляется в возможности произвольного задания начальных данных без оглядки на то во что поля превратятся в будущем). Это очень сильное требование. В частности, система уравнений ОТО этому требованию не удовлетворяет: в ОТО нельзя задавать начальные данные произвольно. Там допускаются хроноручки возвращающие в прошлое. При допустимости хроноручек возвращающих в прошлое начальные данные задаваемые в прошлом приходится согласовывать с тем, что произойдёт в будущем; то есть не всякое прошлое допустимо, но "известно" об этом становится только в будущем (прошлое "зависит" от будущего).

epros в сообщении #862265 писал(а):
Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.
Ну это Вы очень сильно сказали. В ОТО "очень мало" реализуемых решений. Бедная теория. Если взять наугад какую-нибудь во всех остальных смыслах "хорошую" метрику, то с большой вероятностью окажется, что она не может быть решением уравнений ОТО ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса, в силу требования всюду положительной определённости плотности энергии обычной материи. Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение13.05.2014, 15:33 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Спасибо все за комментарии.

epros в сообщении #862265 писал(а):
Почему Вы их считаете за абсурд — не понимаю

Нарушение причинно-следственных связей это также ужасно, как нарушение законов сохранения энергии.
schekn в сообщении #862238 писал(а):
Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.

Я недавно приводил пример, как Петров А.З. в обычной сферически-симметричной задаче расширил класс допустимых преобразований координат от $C^2$ до $C^1$ и получил странные решения в виде ударных волн, физичность которых вызывает сомнения. Данный пример, конечно, выходит за рамки темы, но показателен. Очень может быть, что все решения с нарушением неравенств Гильберта также нефизические. Все таки Вы не будете отрицать, что времениподобная координата имеет некоторую выделенность по сравнению с пространственными координатами.
Обратите внимание также на последний абзац из Гильберта. Там говорится о теореме Коши, которую Гильберт привязывает к принципу причинности в ОТО. В коректной постановке, если мы знаем потенциалы поля и их производные по времени в некоторый момент времени на гиперповерхности, то мы можем предсказать, что будет с системой в будущем. Корректно задача Коши ставится не во всех системах координат. В некоторых она неоднозначна.
Об этом видимо и говорит SergeyGubanov :
SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):
Задали произвольные начальные данные в прошлом, далее согласно уравнениям теории поля получили поля в будущем.


-- 13.05.2014, 15:36 --

KVV в сообщении #862452 писал(а):
Требования Гильберта воспринимаются сейчас как анахронизм.

Ну категорично можно и утверждать, что и ОТО есть анахрониз, потому что допускает бесчисленное множество нелепых нефизических решений.
KVV в сообщении #862452 писал(а):
К примеру, времениподобные интервалы между причинно-связанными событиями будут времениподобными в любой другой СК.

Гёдель показал в своей модели, что двигаясь по некоторой кривой можно вернуться в ту же пространственную точку, но в прошлое, при этом оставаясь на времениподобной.
Nirowulf в сообщении #862474 писал(а):
КТП постулируют, что операторы поля, относящиеся к точкам, разделённым пространственно-подобным интервалом, должны коммутировать. Можно также сформулировать на языке матрицы рассеяния т.н. условие микропричинности Боголюбова.

Нет, все таки останемся в рамках ОТО. Пенроуз и Хокинг говорят о причинности именно в рамках данной теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение13.05.2014, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):
ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса

Свойства ТЭИ не имеют отношения к применимости ОТО.

schekn в сообщении #862662 писал(а):
Нарушение причинно-следственных связей это также ужасно, как нарушение законов сохранения энергии.

Непонятно, каким образом могут нарушиться «причинно-следственные связи» в решении без хронопетель.

schekn в сообщении #862662 писал(а):
расширил класс допустимых преобразований координат

Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.

schekn в сообщении #862662 писал(а):
времениподобная координата имеет некоторую выделенность по сравнению с пространственными координатами

Это не имеет никакого отношения к физической реализуемости решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 09:09 


02/11/11
1310
schekn в сообщении #862662 писал(а):
Ну категорично можно и утверждать, что и ОТО есть анахрониз, потому что допускает бесчисленное множество нелепых нефизических решений.

Нельзя так утверждать. Вы очень вольно употребляете слово "анахронизм".

schekn в сообщении #862662 писал(а):
Гёдель показал в своей модели, что двигаясь по некоторой кривой можно вернуться в ту же пространственную точку, но в прошлое, при этом оставаясь на времениподобной.

Да, я в курсе. Еще раз повторю: замкнутые времениподобные не нарушают принцип причинности.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 10:50 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):
Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.

Хорошо бы , если Вы привели бы простой пример для этого утверждения.
epros в сообщении #862862 писал(а):
Непонятно, каким образом могут нарушиться «причинно-следственные связи» в решении без хронопетель.

Ну, например, фронт гравитационной волны или вообще пробное тело движется со скоростью большей фундаментальной.
epros в сообщении #862862 писал(а):
Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.

Здесь мы постоянно ругаемся с Someone. Я пытался это уже объяснить, но несколько неуклюже.
Есть математическое удобство выбора координат. Когда мы уже составили полную систему дифференциальных уравнений, то предположу, что переход к другим координатам в неком классе $C^N$ невырожденными преобразованиями дают некоторое множество решений. Эти решения можно записать обратными преобразованиями в прежних координатах. При этом можно быть уверенным, что мы не потерям и не получим новых решений в той области данных, где эти преобразования допустимы. Пример хорошо известен - переход от прямоугольных координат к сферическим , если вырезать координатно-зависимую точку r=0.
Но в ОТО есть еще и "физическое" удобство, когда выбираются условия связи ( или координатные условия), подстраиваясь под конкретную физическую задачу или под способ измерений наблюдателем. Поскольку понятно, что мы не всесильны и измерительный прибор находится в той СО, где он находится. Так например, в ЛЛ-2 , когда рассматривается коллапс пыли , выбирается сопутствующая система отсчета (синхронные координаты) , в которых ТЭИ принимает диагональный вид, что удобно при решении. Но при этом система дифференциальных уравнений меняется очень заметно по сравнению с со случаем, когда выбираются Шварцшильдовские условия связи.
А условия для получения шварцшильдовского решения выбирается видимо исходя из предположения, что мы можем в астрономических измерениях измерить длину дуги со сколь угодно высокой точностью.
epros в сообщении #862862 писал(а):
Это не имеет никакого отношения к физической реализуемости решения.

Если я с потолка напишу метрику, которая будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна, Вы можете гарантировать , что она соответствует какой либо физической модели поля?

-- 14.05.2014, 10:56 --

KVV в сообщении #863070 писал(а):
Еще раз повторю: замкнутые времениподобные не нарушают принцип причинности.

Тогда хотелось бы новую формулировку этого принципа, которая видимо отличается от того, что предложил Гильберт.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 13:00 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
schekn в сообщении #863112 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):
Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.
Хорошо бы , если Вы привели бы простой пример для этого утверждения.
Например, чёрная дыра живущая в расширяющемся пространстве Эйнштейна - де Ситтера.

Искомая метрика строится следующим образом.

1) Берётся обычная чёрная дыра на фоне пространства Минковского в координатах Пэнлеве:
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(1)
$$ Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю - это решение принадлежит ОТО.

2) Берётся обычное пространство Эйнштейна - де Ситтера, метрика которого приводится к виду а-ля Пэнлеве (чтоб сечение $t=\operatorname{const}$ было евклидовым как и у чёрной дыры):
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - \frac{2 r}{3 t} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(2)
$$ Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю за исключением $G_{00}$:
$$
\frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} = \frac{ c^2 }{ 6 \pi k } \frac{1}{t^2}.
$$ Это решение принадлежит ОТО если насыпать нужное количество пыли.

3) Теперь легко построить метрику, которая при малых $r$ переходит в (1), а при больших $r$ переходит в (2):
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - \frac{2 r}{3 t} dt + \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2,
\quad M(t) = \frac{2 R^3}{9 k t^2}.
 \eqno(3)
$$ Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю за исключением $G_{00}$:
$$
\frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} = \frac{ c^2 }{ 6 \pi k } \frac{1}{t^2} \left( 1 - \sqrt{\frac{R^3}{r^3}}  \right).
$$ Это решение не может принадлежать ОТО так как в области $r < R$ в рамках ОТО требуется некая материя с отрицательной плотностью энергии.



epros в сообщении #862862 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):
ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса
Свойства ТЭИ не имеют отношения к применимости ОТО.
Речь была не про применимость ОТО, а про допустимость метрик в рамках ОТО. Метрика может быть во всех отношениях хорошей, но ОТО её может запретить потому, что не существует тензора энергии импульса обычной материи с отрицательной плотностью энергии.

epros в сообщении #862862 писал(а):
schekn в сообщении #862662 писал(а):
расширил класс допустимых преобразований координат
Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.
Там была речь про класс функций. Если компоненты метрики должны принадлежать классу дважды дифференцируемых функций, то допустимы одни решения, а если компонентам метрики разрешается принадлежать классу однократно дифференцируемых функций (непрерывность первой производной не требуется), то количество допустимых решений такой теории резко увеличивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 13:56 


02/11/11
1310
schekn в сообщении #863112 писал(а):
Тогда хотелось бы новую формулировку этого принципа, которая видимо отличается от того, что предложил Гильберт.

А разве Гильберт предложил какую-то особенную формулировку принципа причинности?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 15:17 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
KVV в сообщении #863164 писал(а):
А разве Гильберт предложил какую-то особенную формулировку принципа причинности?
В смысле Гильберта (как и в моём) хронопетли причинность нарушают. А вы говорите что хронопетли причинность не нарушают. Значит вы пользуетесь каким-то более слабым определением причинности чем у меня или у Гильберта.

У Гильберта:
schekn в сообщении #861620 писал(а):
Изображение

У меня: независимость прошлого от будущего заключена в возможности произвольного задания начальных данных в прошлом без оглядки на будущее. А при возможности возврата в прошлое начальные данные уже не могут быть заданы произвольно. В этом случае начальные данные должны быть согласованы со всей будущей эволюцией включающей и возврат в прошлое.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.
Сообщение14.05.2014, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
schekn в сообщении #863112 писал(а):
Ну, например, фронт гравитационной волны или вообще пробное тело движется со скоростью большей фундаментальной.

Если сигнатура правильная, значит у каждого события есть конусы будущего и прошлого. Что Вы ещё хотите от ОТО в плане «причинности»? Мало ли что Вы захотите рассматривать в качестве «пробного тела», может солнечный зайчик?

schekn в сообщении #863112 писал(а):
Но в ОТО есть еще и "физическое" удобство, когда выбираются условия связи ( или координатные условия), подстраиваясь под конкретную физическую задачу или под способ измерений наблюдателем. Поскольку понятно, что мы не всесильны и измерительный прибор находится в той СО, где он находится.

Это именно «удобство» и ничего более. Например, мы не можем подобрать такое тело отсчёта, которое сопутствует координатам Эддингтона-Финкельштейна ниже горизонта. Неудобно для проведения измерений, но отнюдь не фатально для существования таких объектов, как чёрные дыры.

schekn в сообщении #863112 писал(а):
Если я с потолка напишу метрику, которая будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна, Вы можете гарантировать , что она соответствует какой либо физической модели поля?

Можете написать вообще любую метрику — лишь бы гладко и правильной сигнатуры. Но я не понимаю, каким именно моделям и каких полей Вы собираетесь соответствовать?

SergeyGubanov в сообщении #863144 писал(а):
Метрика может быть во всех отношениях хорошей, но ОТО её может запретить потому, что не существует тензора энергии импульса обычной материи с отрицательной плотностью энергии.

ОТО не может запретить никакие ТЭИ, ибо все условия на ТЭИ выходят за рамки ОТО. Т.е. то, что плотность энергии какой-то там материи не может быть отрицательной или еще какой-то — это требования каких-то других теорий, а самой ОТО на это совершенно начхать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 309 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group