Теория поверхностей: кто ошибается?

[Munin]

ИСН в сообщении #1029585 писал(а):

Минимизировать поверхностную энергию - значит получить поверхность с постоянной средней кривизной.

Нет, сразу всю поверхностную энергию. И свободной поверхности, и той, которая соприкасается с плоскостями. (В частности, угол смачивания получается именно из такой минимизации.)

-- 22.06.2015 12:19:10 --

Получится вариационная задача, имеющая условный экстремум.

[ИСН]

Sender в сообщении #1029594 писал(а):

Представьте себе куб, целиком заполненный жидкостью.

Нет нужды ходить так далеко. Представьте себе любой многогранник, заполненный жидкостью в любой степени, достаточной для того, чтобы жидкость не могла плавать изолированным шаром. Разумеется, тогда у неё (у жидкости) будут участки прилегания к стенам. Разумеется, у них будет та же кривизна, что у стен, сиречь у плоскости, сиречь нулевая - а у остальной поверхности ненулевая. Мы рассматриваем такие объекты с самого первого сообщения в этой теме. Мы эти плоские участки игнорируем, потому что с ними всё и так понятно. Да, мне следовало уточнить "свободная поверхность". Но когда говоришь об одном и том же объекте на протяжении трёх страниц, некоторые его общие качества перестают проговариваться и начинают подразумеваться сами собой. Извините.

-- менее минуты назад --

Munin в сообщении #1029606 писал(а):

Нет, сразу всю поверхностную энергию. И свободной поверхности, и той, которая соприкасается с плоскостями. (В частности, угол смачивания получается именно из такой минимизации.)

Да, разумеется, всю. Если бы мы минимизировали только свободную поверхность, это было бы эквивалентно нулевой поверхностной энергии смоченных стенок - т.е. ситуации "абсолютной смачиваемости", противоположной тому, что мы хотим - и вылилось бы в картину, когда жидкость вся размазана по стенкам, а пустое пространство плавает шариком в середине (если оно достаточно мало для этого). Я чуть раньше неточно выразился, выходит. Мы игнорируем плоские участки в рассмотрении геометрии, потому что зачем на них смотреть, они и так плоские. А в исчислении поверхностной энергии мы их не игнорируем, нет.

[svv]

ИСН в сообщении #1029610 писал(а):

Да, мне следовало уточнить "свободная поверхность".

А может быть, и не следовало, потому что энное сообщение в теме не обязано быть самодостаточным.

[upgrade]

ИСН в сообщении #1029610 писал(а):

Разумеется, у них будет та же кривизна, что у стен, сиречь у плоскости, сиречь нулевая - а у остальной поверхности ненулевая.

ну, плоскость то они таки деформируют немного, куб то может состоять из очень тонких стенок, другое дело, что этим пренебрегают, считая куб идеальным и не деформируемым.

[upgrade]

"Опыт второй был постав­лен чешскими физиками. На полированную поверхность массивного кристалла железа наносилась капля расплав­ленного свинца. Железо было раскалено до температуры более $1000^0$ С, и поэтому свин­цовая капля оставалась жид­кой. Кристалл железа — не полимерная пленка, и изо­гнуть его вокруг себя капля не может. Поэтому поступает она иным способом: выкапы­вает под собой ямку такой формы, чтобы вдоль контуров капли все три силы скомпенсировались так, как показано на рисунке. Эта «удобная» ям­ка должна иметь такую форму, чтобы давление, обусловленное изогнутой поверхностью жидкий свинец — воздух, было в точности равно тому давлению, которое обусловлено искривленностью поверх­ности жидкий свинец — твердое железо, т. е. дна ямки.

Равенство двух этих давлений означает, что $a_{10}/R_{10}= a_{12}/R_{12}$ . Итак, давления равны, а кривизна двух поверхностей различна, потому что различны соответствующие поверхностные энер­гии.

Выкопав под собой ямку, капля как бы перенеслась в невесомость — как и в невесомости, капиллярное давление оказалось одинаковым вдоль всей поверхности, огра­ничивающей каплю.

Естественно возникает вопрос: каким образом капля вы­копала ямку? Ответим на него. Вначале, когда капля была расположена на плоской поверхности железа, она прижи­малась к нему тем давлением, которое обусловлено искрив­ленностью поверхности свинец — воздух. Под влиянием этого давления железо из-под свинцовой капли перемещалось в области вокруг нее. Перемещалось в процессе диф­фузии поатомно, атом за атомом — опыт ставился при высокой температуре, когда диффузия в железе происхо­дит достаточно активно

"

Я.Е. Гегузин АН СССР "Капля"

-- 22.06.2015, 16:53 --

там же
"В описанном опыте, вопреки известной пословице, нам удалось убить двух зайцев: определить, во-первых, тем­пературу плавления и, во-вторых, величину поверхност­ного натяжения расплавленного вещества. Дело в том, что верхняя пластинка, раздавливая своей тяжестью кап­лю, превращала ее в лепешку определенной толщины. Сколько раз ни повторялся бы опыт по расплавлению од­ной и той же крупинки, образовывавшаяся жидкая капля весом пластинки расплющивалась до одной и той же тол­щины к . Эту величину можно было уменьшить, увеличивая вес верхней пластинки. Легко понять, что дальнейшему

расплющиванию препятствуют силы поверхностного на­тяжения, приложенные к той части поверхности расплю­щенной капли, которая граничит с воздухом. В наших опытах вещество капли практически не смачивало кварц (именно поэтому опыты и ставились с кварцевыми пластин­ками) и, следовательно, можно считать, что радиус за­кругления свободной поверхности $r= h/2$
Величина поверхностного натяжения $\alpha$ может быть определена из условия равенства давления, которое оказывает пластинка на жидкую каплю ($P_\text{п}$), и лапласовского давления ($P_\text{л}$), которое обусловлено искривленностью ее свободной поверхности. Если вес пластинки давит на каплю с силой $F$, а площадь ее контакта с расплющенной каплей $\pi R^2$, то $P_\text{п}=\frac{F}{\pi R^2}$. Величина $P_\text{л} = \alpha/r = 2 \alpha /h$
Приравнивая $P_\text{п}$ к $P_\text{л}$, находим формулу, с помощью которой можно опреде­лить величину поверхностного натяжения вещества:

$\alpha = \frac{Fh}{2\pi R^2}$
Величины $h$ и $R$ можно измерить с большой точностью, а силу легко определить, зная вес верхней пластинки
"

[Deggial]

Пост upgrade отправлен в Карантин до оформления формул.

Пост перемещён из темы Теория поверхностей: кто ошибается? в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

upgrade
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Пост возвращён.

[Munin]

Munin в сообщении #1029606 писал(а):

Получится вариационная задача, имеющая условный экстремум.

Условность экстремума - ключевая. Она позволяет "нарушать законы", которые были выведены в отстутствие ограничений.

[kavict]

Уважаемые участники дискуссии, убедительно прошу рассматривать полное отсутствие смачивания (краевой угол всегда равен 180 градусов), иначе эта тема теряет смысл.

Evgenjy в сообщении #1029256 писал(а):

Свободная поверхность жидкости, находящейся между двух плоских параллельных поверхностей, ни в какой своей части не является сферической и не имеет ни одной омбилической точки. И теорема верна.

С первым абсолютно согласен. Что же касается омбилических точек, то при рассмотрении сжатия жидкого тела двумя параллельными плоскостями об омбилических точках речь не шла.
Омбилические точки на поверхности жидкости, сжатой в многогранном угле, появляются (по крайней мере) тогда, когда этот многогранный угол имеет ось симметрии более второго порядка - например, угол куба. Это же относится и к граненым капиллярам.
Только в капилляре круглого сечения свободная поверхность будет полусферой.

[svv]

Уверен, что теорема верна. Проверил результат другим способом, без комплексных величин. Правда, опираясь на достаточно высокоуровневые факты, но, вроде, общеизвестные.

А как будет выкручиваться капля в отсутствие смачивания — это её проблемы. (В этот момент я предаю свою родную физику.)

[Sender]

Вы получили альтернативное доказательство теоремы? Было бы интересно взглянуть. А то тут, похоже, никто не владеет дифгемом в достаточной степени, чтобы понять исходное доказательство.
А капля выкрутится просто - минимизирует свою поверхность при заданном объёме.

[Munin]

svv в сообщении #1030302 писал(а):

А как будет выкручиваться капля в отсутствие смачивания — это её проблемы. :P (В этот момент я предаю свою родную физику.)

Не предавайте физику. Она всё-таки в первую очередь диктует вариационный принцип.

А лучше скажите, что вариационный принцип говорит в случае наложенных условий на объём?

[ИСН]

Этот случай - единственный случай, другого нет. Минимизируя поверхность без условия на объём, мы бы съёжили нашу каплю в горошину, в точку, в чёрную дыру.

[Munin]

В законе угла смачивания не задано объёма. Там заданы граничные условия.

[svv]

В изотермических координатах (они же конформные координаты) коэффициенты первой квадратичной формы равны:
$E=G=\lambda(u, v)$
$F=0$
На гладкой поверхности локально изотермические координаты существуют всегда (Новиков, Тайманов, §4.4, п.1).

Изотермические координаты вводятся неоднозначно. На некоторых поверхностях их можно ввести таким образом, что главные направления будут всюду касательны координатным линиям. (Этому способствует то, что изотермические координаты ортогональны, и главные направления тоже.) Такие поверхности называются изотермическими.

Известно (напр., Математическая энциклопедия, статья Изотермическая поверхность), что к числу изотермических поверхностей относятся и поверхности постоянной средней кривизны $H=\operatorname{const}$ — наш случай.

Такие координаты — изотермические, да ещё и с координатными линиями, направленными всюду по главным направлениям, — и будем использовать далее. В них все соотношения сильно упрощаются:

Во второй квадратичной форме коэффициент $M=0$.
Равенство главных кривизн (условие того, что точка омбилическая): $L=N$.
Формула для средней кривизны: $H=\frac 1 2\frac{EN+GL}{EG}=\frac{L+N}{2\lambda}$
Уравнения Майнарди-Кодацци:
$L_v=L\Gamma^1_{12}-N\Gamma^2_{11}$
$N_u=N\Gamma^2_{12}-L\Gamma^1_{22}$

Выражения для символов Кристоффеля в ортогональных координатах есть здесь. Подставляя в них $E=G=\lambda$, получим:
$\Gamma^1_{12}=-\Gamma^2_{11}=\frac{\lambda_v}{2\lambda}$
$\Gamma^2_{12}=-\Gamma^1_{22}=\frac{\lambda_u}{2\lambda}$
Подставляя это в уравнения Майнарди-Кодацци, получим с учетом $H=\operatorname{const}$:
$L_v=(L+N)\frac{\lambda_v}{2\lambda}=H\lambda_v=(H\lambda)_v=\frac 1 2(L+N)_v$
$N_u=(L+N)\frac{\lambda_u}{2\lambda}=H\lambda_u=(H\lambda)_u=\frac 1 2(L+N)_u$

Отсюда $(L-N)_u=(L-N)_v=0$, т.е. $L-N=\operatorname{const}$
Но равенство $L=N$ и есть условие того, что точка омбилическая.

[Sender]

Покопавшись в гугле, нашёл ещё более удивительный результат:

Цитата:

The only star-shaped surface in $\mathbb{R}_3$ with constant mean curvature is the round sphere.

Доказательство, например, здесь.
По-видимому, не все эти закономерности применимы к незамкнутым поверхностям.