Нашел статью (
http://mi.mathnet.ru/ivm3334), в которой доказывается,что на поверхности постоянной средней кривизны нет ни одной омбилической точки, если только эта поверхность не является частью сферы (плоскости). Но есть пример, опровергающий это утверждение.
Дело в том, что меня давно интересуют жидкие тела, как геометрические объекты. Под жидким телом здесь понимается некоторый объем жидкости, не обладающей смачиванием и находящийся в невесомости. В этих условиях свободная поверхность жидкого тела, каким бы деформациям его не подвергали, является поверхностью постоянной средней кривизны. Это следует из формулы Лапласа:
где:
- давление в жидкости;
- средняя кривизна свободной поверхности;
- коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
Поскольку в таких условиях давление во всех точках жидкости одинаково, имеем:
Теперь представим, что жидкое тело сжато стенками куба, и оно само стало кубом со скругленными ребрами и вершинами. Очевидно, эта конфигурация имеет все элементы симметрии куба. Рассмотрим точку пересечения свободной поверхности жидкости с одной из главных диагоналей куба. Я считаю, что это омбилическая точка.
В самом деле, диагональ куба является осью симметрии третьего порядка для его трехгранного угла, а следовательно - и для свободной поверхности жидкости под ним. Теперь представим, что точка пересечения поверхности жидкости и диагонали куба - не омбилическая. Тогда главные кривизны поверхности в этой точке различны. А, поскольку, главные направления всегда взаимно-перпендикулярны, то в таком случае симметрии 3-го порядка в этой точке быть не может - получили противоречие. Следовательно, указанная точка омбилическая.
Таким образом получается, что поверхность постоянной средней кривизны, не являясь частью сферы или плоскости, имеет омбилические точки, что противоречит доказанному в статье.
Кто ошибается?
