дискретная математика (отношения)

[Brukvalub]

Пустое множество лежит в любом другом, поэтому оно лежит в диагонали прямого произведения.Значит, выполняется определение антисимметричности.

[vadim55]

тогда в каком случае

$$ R \cap R^{ - 1} \not\subset I_A $$

???

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

тогда в каком случае

$$ R \cap R^{ - 1} \not\subset I_A $$

Например, когда R совпадает со всем декартовым произведением (но не только в этом случае, просто лень набирать простые примеры)

[vadim55]

Brukvalub писал(а):

Ребятки, не стоит совсем уж детский сад устраивать.

\[ R \cap R^{ - 1} = \emptyset \quad \emptyset \subset I_A \; \Rightarrow R \cap R^{ - 1} \subset I_A \]

я не это спрашивал.
то что вы написали совершенно ясно.
не понятно другое

по определению антисимметричности должно выполняться условие

$$ R \cap R^{ - 1} \subseteq I_A $$

но разве это условие когда то не выполняется?

[Brukvalub]

См. предыдущее сообщение.

[vadim55]

$$ R \cap I_A = \emptyset \ $$

$$ 1.R' \subseteq (R')^2 $$

$$ 2.(R')^2 \subseteq R' $$

$$ 3.(R')^2 = R' $$

ответ 1.

$$ \eqalign{ & (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \cr & \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 \cr & \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \cr} $$

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

$$ \ (a,b) \subset (a,c) \wedge (b,c) \subset (a,c) \cr & \ $$

Эту запись я понять не смог.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Эту запись я понять не смог.

Это не subset, а импликация.

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Это не subset, а импликация.

Этот вариант я тоже рассматривал - мне не помогло

[vadim55]

$$ R \cap I_A = \emptyset \ $$

$$ 1.R' \subseteq (R')^2 $$

$$ 2.(R')^2 \subseteq R' $$

$$ 3.(R')^2 = R' $$

ответ 1.

$$ \eqalign{ & (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \cr & \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 \cr & \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \cr} $$

если этого недостаточно , подскажите как построить доказательство

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

если этого недостаточно , подскажите как построить доказательство

А где в Вашем доказательстве используется исходное условие

$$ R \cap I_A = \emptyset \ $$

?

[vadim55]

$$ R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow I_A \subseteq R' $$

что мне поможет заключение что

$$ I_A \subseteq R' $$

?

[Brukvalub]

Вы правильно указали ответ в задании. Теперь осталось объяснить, как условие

$$ R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow I_A \subseteq R' $$

помогает убедиться, что квадрат дополнительного отношения содержит само дополнительное отношение. Думайте - это нетрудно!

[vadim55]

$$ R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow I_A \subseteq R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,b) \in R' \Leftrightarrow (a,b) \in (R')^2 $$

$$ \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 $$

хотя здесь верно и обратное

$$ (R')^2 \subseteq R' $$

??

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

хотя здесь верно и обратное

$$ (R')^2 \subseteq R' $$

Докажите! а основное утверждение Вы доказали верно.