дискретная математика (отношения)

[vadim55]

проблема в том что нужно доказать что только одно из них верно

я могу лишь повторить предыдущее

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \notin R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \varsubsetneq R' $$

или наоборот

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \in R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow (R')^2 \subseteq R' $$

но как доказать что только одно из них верно
???

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

как доказать что только одно из них верно

Для остальных случаев необходимо построить контрпримеры.

[vadim55]

$$ 1.R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow $$

$$ I_A \subseteq R' \Leftrightarrow (a,b) \in R' \wedge (b,b) \in R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,b) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,2)\} $$

$$ 2.(a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \in R' $$

$$ \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3),(1,3)\} (R')^2 = \{ (1,3)\} $$

$$ 3.(a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \notin R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \varsubsetneq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3)\} (R')^2 = \{ (1,3)\} \Rightarrow $$

ответ

$$ 1.R' \subseteq (R')^2 $$

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,2)\} $$

Это неверно - Вы неверно нашли квадрат отношения. И вообще, пример нужно начинать с основного, а не дополнительного отношения (кстати, я не могу понять, для чего нужен этот штрих-задача прекрасно ставится и без него)

vadim55 писал(а):

$$ 2.(a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \in R' $$

$$ \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

Вы злоупотребляете знаком равносильности, поэтому получаете неверную цепочку рассуждений.

vadim55 писал(а):

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3),(1,3)\} (R')^2 = \{ (1,3)\} $$

Опять неверно найден квадрат отношения.
Вывод: пока Вы плохо понимаете последнюю тему и Вам нужно над ней еще потрудиться.

[vadim55]

штрих задача задана

$$ 1.R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow $$

$$ I_A \subseteq R' \Leftrightarrow (a,b) \in R' \wedge (b,b) \in R' $$

$$ \Leftrightarrow (a,b) \in (R')^2 $$

$$ \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,2)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,2),(2,2)\} $$

$$ 2.(a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \in R' $$

$$ \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow $$

$$ R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3),(1,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,3)\} $$

$$ 3.(a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \notin R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,c) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \varsubsetneq R' $$

например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,3)\} \Rightarrow $$

ответ

$$ 1.R' \subseteq (R')^2 $$

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

vadim55 писал(а):
например

$$ R' = \{ (1,2),(2,3),(1,3)\} (R')^2 = \{ (1,3)\} $$

Опять неверно найден квадрат отношения.

Здесь я должен извиниться - квадрат отношения Вы нашли верно.

vadim55 писал(а):

$$ 1.R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow $$

Где в Ваших примерах учтено вот это условие?

[vadim55]

Brukvalub писал(а):

vadim55 писал(а):

Где в Ваших примерах учтено вот это условие?

$$ 1.R \cap I_A = \emptyset \Leftrightarrow I_A \subseteq R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,b) \in R' \Leftrightarrow $$

$$ (a,b) \in (R')^2 \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \subseteq R' $$

например

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,2),(2,2)\} $$

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,2)\} $$

В этом случае не выполняется то условие, на которое я Вам указал.

[vadim55]

я исправил

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,2),(2,2)\} $$

какое условие не выполняется?
не понимаю


понял

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} (R')^2 = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} $$

соответственно я должен исправить все примеры

[Brukvalub]

Если

vadim55 писал(а):

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,2),(2,2)\} $$

то найдите R и проверьте условие

$$ 1.R \cap I_A = \emptyset \ $$

[vadim55]

пример 1.

$$ R' = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,2),(2,2)\} $$

пример 2.

$$ R' = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,2),(1,3),(2,3),(3,3),\} $$

пример 3.

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,2),(2,3),(3,3),(1,3)\} $$

[Brukvalub]

vadim55 писал(а):

пример 1.

$$ R' = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,2),(2,2)\} $$

Я начинаю уставать поправлять Ваши ошибки. Опять неверный квадрат. И нет никаких выводов из примеров?

[vadim55]

пример 1.

$$ R' = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,1),(1,2),(2,2)\} $$

пример 2.

$$ R' = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,3)\} $$

пример 3.

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\} $$

вывод тот же что я писал

$$ 1.R' \subseteq (R')^2 $$

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \notin R' \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 $$

$$ \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \varsubsetneq R' $$

[Brukvalub]

1. Пример 1 подтверждает ваш вывод? Тогда он не нужен- примером нельзя доказать какой-либо общий факт.
2. Для опровержения 2. и 3. достаточно привести один только пример 3.

[vadim55]

т.е я пишу пример 3

$$ {\text{ }}R' = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\} $$

$$ (R')^2 = \{ (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\} $$

затем

$$ (a,b) \in R' \wedge (b,c) \in R' \wedge (a,c) \notin R' $$

$$ \Leftrightarrow (a,c) \in (R')^2 $$

$$ \Leftrightarrow R' \subseteq (R')^2 \wedge (R')^2 \varsubsetneq R' $$

и говорю что ответ 1.

$$ R' \subseteq (R')^2 $$

этого достаточно
?