Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1139807 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1139756 писал(а):

Поясните, пожалуйста, связано ли Ваше понимание моделирования с "математическим моделированием", например, в смысле Яглома: http://www.px-pict.com/9/6/6/5.html

Связано или нет ― не знаю.

Очевидно, связано. Раз Вы апеллируете в своих построениях к арифметике и алгебре:

commator в сообщении #986085 писал(а):

Сонантометрия описывает алгебраически системы ЧИПp (чистая интонация предела p или p-limit Just Intonation, где p — любое желаемое простое число) и наиболее близкими по дизайну ей оказались формулы Оголевца. По смыслу же ближе формулы Римана, но ни Риман ни Оголевец не заметили связи своих формул с тональными функциями, а эта связь, между тем, оказывается главной причиной существования возможности представления систем ЧИ как арифметическими, так и алгебраическими конструкциями, поскольку формирует её почему-то основная теорема арифметики, что и отображают в полной мере формулы сонантометрии.

Дальнейшее моделирование универсума рациональных музыкальных интервалов может быть связано с использованием операции медианты, которую Вы тоже очень любите. В духе параграфа 7 из книги В. О. Бугаенко:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/6/7.html
Я проиллюстрировал некоторые относящиеся сюда построения на примере муз. интервала понижающей квинты:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/13.html

-- Пн июл 25, 2016 17:32:48 --

Этими построениями я хочу подобраться к Теореме 10, сформулированной у Б. А. Венкова:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/18/2/7.html
--------------------------
P.S. Архит ныне номинирован как "математический король":
Huffman C. A. Archytas of Tarentum: pythagorean, philosopher and mathematician king. — Cambridge UP, 2004.
http://philpapers.org/rec/HUFAOT

Свободный Художник в сообщении #1139756 писал(а):

Ведь, в принципе, можно же, наверное, считать, что "теоретическая математика" и создавалась в значительной степени как некая "моделирующая среда" для теоретико-музыкальных конструкций. Если это так, то, наверное, можно считать допустимой взаимо-замену соответствующих терминов, которую, допускал, например, Архит:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/2.html
За что его упрекал Б. Л. ван дер Варден: "... доказаны три чисто теоретико-числовые предложения, но говорится не о числовых отношениях, а о музыкальных интервалах".

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1140063 писал(а):

связано с использованием операции медианты, которую Вы тоже очень любите

А как её не любить, если она в музыкальной теории утвердилась в качестве важнейшей после доминанты тональной функции. Здесь надо отметить, что музыкальная медианта несколько отличается от арифметической, т.к. делит только квинту; но и делящая октаву доминанта соответствует арифметической медианте, только другой, как соответствует ещё одной арифметической медианте музыкальная двойная доминанта, делящая терцию...

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности.

Из основной теоремы арифметики

$n = p_1^{n_1}~\cdot~p_2^{n_2}~\cdot~$ \dots$~\cdot~p_k^{n_k}$

следует, что логарифмическая зависимость нагло угнетает каждую дискретность. И где тут идея непрерывности?

[Свободный Художник]

Попробуйте сформулировать основную теорему арифметики для системы положительных рациональных чисел, как это делает, например, Д. Райт:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html
(пункт "Unique Factorization of Positive Rational Numbers" на указанной странице).
Обратите еще внимание, что Р. Дедекинд:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/1/3.html
так же как и комментирующий его И. В. Арнольд:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/6.html
в своих рассуждениях о непрерывности стартуют с системы рациональных чисел:
"Имеется в распоряжении в той или иной мере отчетливо построенная и не вызывающая сомнений теория рациональных чисел".
И. наконец, обратите внимание и на то, что линейный порядок на множестве положительных рациональных чисел может быть определен при помощи операторов $V$ и $H$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/2.html

-- Ср июл 27, 2016 15:30:36 --

commator в сообщении #986085 писал(а):

Сонантометрия описывает алгебраически системы ЧИПp (чистая интонация предела p или p-limit Just Intonation, где p — любое желаемое простое число) и наиболее близкими по дизайну ей оказались формулы Оголевца. По смыслу же ближе формулы Римана, но ни Риман ни Оголевец не заметили связи своих формул с тональными функциями, а эта связь, между тем, оказывается главной причиной существования возможности представления систем ЧИ как арифметическими, так и алгебраическими конструкциями, поскольку формирует её почему-то основная теорема арифметики, что и отображают в полной мере формулы сонантометрии.

Если Вы уж так "запали" на "основную теорему арифметики", то Вам, наверное, следовало бы выяснить, почему она оказалась такой важной в арифметике. И почему в тех случаях, когда она нарушалась, Куммер вводил "идеальные элементы" для ее спасения:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/2.html
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/19/5/1.html
Примеры квадратичных полей, где нарушается "основная теорема арифметики", приведены, например, у Харди и Райта:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/14/6.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1140411 писал(а):

Р. Дедекинд: http://www.px-pict.com/9/6/4/7/1/3.html
так же как и комментирующий его И. В. Арнольд: http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/6.html
в своих рассуждениях о непрерывности стартуют с системы рациональных чисел

Вот-вот.

Каким же образом

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности

если в натуральных числах даже начинать рассуждения о непрерывности ещё рано, а логарифмическая зависимость там уже воцарилась?

[commator]

commator в сообщении #1139807 писал(а):

не поддающаяся однозначному нотированию темперированная высота $ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o $, вполне однозначно сонантометрируется как $ {:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o $ и этот сонант взаимно однозначно соответствует числу $\frac{2^\frac{1}{2}}{1}$, а оно, будучи иррациональным, построено только из рациональных, между прочим.

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных не прибавляет мне уверенности, что идея

Свободный Художник в сообщении #1140411 писал(а):

непрерывности

правдоподобна.

Да, иррациональные числа, невозможные среди рациональных, существуют, но они столь же дискретны, как рациональные, кроме которых и всё тех же простых нет ничего другого в устройстве любого иррационального вида:

$i = p_1^{q_1}~\cdot~p_2^{q_2}~\cdot~$ \dots$~\cdot~p_k^{q_k}$

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1140451 писал(а):

Каким же образом

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности

если в натуральных числах даже начинать рассуждения о непрерывности ещё рано, а логарифмическая зависимость там уже воцарилась?

Это иллюзия: "... при отыскании значений функции $\log x$ даже для рациональных $x$ обычно приходят к иррациональным числам":
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/7/01.html
Поэтому, все же:

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности. Поскольку даже при первоначальном развитии этой идеи, связаной с корнем из двух, естественным образом появляется красивое семейство гипербол и ассоциированные с ним гиперболические повороты (как описано, например, у Бугаенко):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/6/11.html
А там недалеко уже и до логарифмической зависимости.

-- Чт июл 28, 2016 23:22:12 --

Возможно, что Вы больше поверите словам Б. Н. Делоне: "Уже самые первые крупные арифметики, которые пытались решать боле глубокие вопросы теории целых чисел, начали убеждаться в том, что часто для их решения надо так или иначе привлекать некоторые вспомогательные, так называемые алгебраические, иррациональности":
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1140686 писал(а):

Это иллюзия: "... при отыскании значений функции $\log x$ даже для рациональных $x$ обычно приходят к иррациональным числам": http://www.px-pict.com/9/6/4/7/7/01.html

К иррациональным числам обычно либо не приходят, либо приходят. Например:

$ 3^2=9\to\log_3(9)=2; $
$ 3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\to\log_3(\sqrt{3})=\frac{1}{2}. $

Иллюзии нет, непрерывности нет, а логарифмическая зависимость есть.

Не получается,

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности.

[Свободный Художник]

Я говорю в первую очередь на основании собственного опыта. Когда при создании некоей процедуры для вычисления логарифмической зависимости, вдруг неожиданно в качестве бонуса "выскочило" параллельное вычисление корня квадратного из $x$. Позже, размышляя над этим феноменом, я понял, насколько это было там закономерно. В конце концов, эти мои размышления и вылились в высказанную здесь сентенцию:

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Дедекинд в своей культовой книге "Непрерывность и иррациональные числа", по-видимому, отдавал дань традиции, когда приводил типичный пример: Если нанести такую длину от точки $o$" на прямую, то получим конечную точку, которой не сответствует никакое рациональное число:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/1/3.html
Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности. Поскольку даже при первоначальном развитии этой идеи, связаной с корнем из двух, естественным образом появляется красивое семейство гипербол и ассоциированные с ним гиперболические повороты (как описано, например, у Бугаенко):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/6/11.html
А там недалеко уже и до логарифмической зависимости.

Свободный Художник в сообщении #1125263 писал(а):

Мне кажется крайне порочной идея о том, что появление логарифмической зависимости в арифметике должно обосновываться при помощи такого "новостроя", как закон Вебера-Фехнера и основанной на нем психоакустики. Мой собственный опыт подсказывает, что гиперболические функции здесь более уместны:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/27.html
В свое время мне хватило двух страничек из справочника Корнов, чтобы придумать свою процедуру:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
На этих страничках из справочника Корнов излагалась аналогия между круговой и гиперболической тригонометриями.

-- Пт июл 29, 2016 23:51:00 --

Дополнительные подтверждения ей Вы можете найти у Радемахера - Теплица:
... Если подобный отрывок из утерянного учебника или лекции вообще дошел до нас, то произошло это, надо думать, потому, что мы имеем здесь дело не со случайным высказыванием, а с тезисом, который был знаменит в свое время, так как почитался оригинальным и возбуждал большие споры; в те времена человечество, по-видимому, впервые столкнулось с великой проблемой непрерывности.
http://www.px-pict.com/7/3/1/10/2.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1140903 писал(а):

Я говорю в первую очередь на основании собственного опыта.

И я возражаю на таком же основании.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1125263 писал(а):

Мне кажется крайне порочной идея о том, что появление логарифмической зависимости в арифметике должно обосновываться при помощи такого "новостроя", как закон Вебера-Фехнера

Не могли бы Вы напомнить как упомянутая идея была высказана?

[Свободный Художник]

Кажется, что как-то так:

Свободный Художник в сообщении #1048870 писал(а):

commator в сообщении #1047892 писал(а):

Не забывайте: музыка существует не в области рациональных чисел, а там, где возникают их логарифмические (в первом приближении) отображения и где нельзя что-то толковое наспех оценить циркулями да линейками.

Вот я и писал Вам (в первом приближении) про логарифмические отображения:
Логарифм -- это изоморфизм.
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 38&page=10

А изоморфизм означает (в первом приближении), что нет разницы.

Свободный Художник в сообщении #1124423 писал(а):

Знаете, что есть общего у Вас, Оголевца и Римана?
Признание важности логарифмической зависимости в муз. теории. У Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/2/2.html
У Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/3.html
Я же буду продолжать настаивать на том, что основное свойство логарифмической зависимости заключется в том, что она есть некоторый изоморфизм. Оттого и упоминаемые Вами пространства стимулов и ощущений в моем представлении изоморфны.
Гляньте в замечательную научно-популярную книгу:
И. Б. АБЕЛЬСОН
РОЖДЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ
огиз • гостехиздат • 1948.
http://www.oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm
Вас не тревожит отсутствие в ней упоминания о законе Вебера-Фехнера?

-- Вс июл 31, 2016 23:50:45 --

Ведь Вам же вручили в Англии статью Флетчера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/0.html
именно как релевантную для занятий в области Just Intonation. Фигурирующая там в качестве основной модели плоская квадратная целочисленная решетка точек как раз и представляет собой очень гармоничное сочетание рационального и иррационального, дискретного и непрерывного, как об этом пишет Клейн:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html
Осталось только легализовать на ней дополнительно присутствие нужной гиперболы, как это сделано у Делоне:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/5.html
и естественным образом приходим к логарифмической зависимости.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1141213 писал(а):

Кажется, что как-то так:

Кажется, что я ничего тогда не заявил о следовании логарифмической зависимости из закона Вебера-Фехнера...

[Свободный Художник]

Очень хорошо. Но тогда мы, быть может, согласуем наши позиции и по поводу изоморфизма? Я собрал для Вас представительную подборку мнений, что логарифм -- это, все-таки, изоморфизм:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/4.html

commator в сообщении #1048937 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1048870 писал(а):

Вот я и писал Вам (в первом приближении) про логарифмические отображения:
Логарифм -- это изоморфизм.
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 38&page=10
А изоморфизм означает (в первом приближении), что нет разницы.

Знаете почему разницы нету там, где она таки есть? Потому что в области восприятия через логарифмы слипается то, что в области чисел никак нельзя склеить. В каком-то приближении изоморфизм практически не воспринимается, хотя он и не пропадает теоретически.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1141505 писал(а):

согласуем наши позиции и по поводу изоморфизма?

Ну вот, хороший фрагмент из Вашей подборки:



Математически — изоморфизм, не возражаю.

Психоакустически — возражаю, не изоморфизм:

commator в сообщении #1048937 писал(а):

Потому что в области восприятия через логарифмы слипается то, что в области чисел никак нельзя склеить. В каком-то приближении изоморфизм практически не воспринимается, хотя он и не пропадает теоретически.

Маклаков 2013 писал(а):

Наивысший порог различения [высот] наблюдается у музыкантов и настройщиков музыкальных инструментов.