Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1130157 писал(а):

Если применить построение, упоминаемое у Царлино, к случаю деления октавы на две равные части, то оно сводится к построению иррационального отрезка длиной $\sqrt{2}$. Возникающий в конечном итоге "универсум струн" можно ассоциировать с вещественным квадратичным полем $k(\sqrt{2})$ в терминологии Харди - Райта:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/14.html

Подставляя в формулу (24):
http://www.px-pict.com/7/4/10/1/1/3.html
для операции умножения $E = \sqrt{2}$, $p = 0$ и $q = -2$, мы получаем нужное выражение для операции, фигурирующей у Фресана:

Свободный Художник в сообщении #1130687 писал(а):

Нам важно, что совокупность всех целых точек поля $k(\sqrt{2})$, лежащих на упомянутой гиперболе, образует абелеву группу относительно одной естественной операции, как это популярно объяснено у Х. Фресана:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/9/5/3.html

Результат попытки использования "гиперболических" комплексных чисел для $k(\sqrt{2})$ (и родственных систем) по аналогии с тем, как Гаусс использовал обычные комплексные числа (в интерпретации Ф. Клейна):
http://www.px-pict.com/7/3/1/15/3/1/2/2.html
будет представлен несколько позже. Поскольку отрицательные рациональные и ирациональные числа неспецифичны для муз. теории (а специфичны только положительные рациональные и ирациональные числа, математически моделирующие музыкальные интервалы), все построения нужно будет в конце концов адаптировать к первому квадранту координатной плоскости.

[commator]

commator в сообщении #1124504 писал(а):

в виде подробной схемы:

Теперь и 3-й такт разрисован почти полностью.

Hack attempt!Hack attempt!

Довести до полной законченности не дают ограничения на количество символов сообщения и ещё какие-то (подозреваю количество уровней вложения).

[Свободный Художник]

Позволю себе дать Вам совет. Нарисуйте то, что Вы хотите, в каком-нибудь более традиционном графическом редакторе. Как, например, я нарисовал в Image Ready:

Свободный Художник в сообщении #1130453 писал(а):

Для наглядности изобразил несколько целых точек этого поля (по наводке от Б. Н. Делоне):
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/2/1.html

Там имеется больше возможностей для творчества, которым Вы решили заняться.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1132724 писал(а):

Нарисуйте то, что Вы хотите, в каком-нибудь более традиционном графическом редакторе.

Дело в том, что картинку из другого редактора придётся где-то размещать только для того, чтобы здесь на неё сослаться, а так она прямо здесь и синтезируется.

Кроме того, программируя картинку, начинаешь лучше понимать, как надо программировать систему ЧИ, которая могла бы себя отобразить в MIDI модели. Ну и другие смежные делишки легче проворачивать:

https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonic_series_(music)&oldid=725778501#Musical_notation

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1132724 писал(а):

больше возможностей для творчества

Не откажите в любезности взглянуть на белорусскую версию, которую задумали удалить из-за машинности перевода:

Гарманічны_шэраг_гукаў

Если у Вас есть знакомые знатоки языка, не могли бы Вы их попросить облагородить текст?

[commator]

Mark Nowitzky by Mykhaylo Khramov (FB) писал(а):

Сегодня в Чёткой Интонации:

Мелодия "My Country, 'Tis of Thee" (так называемая "Murica", она же "Боже, храни королеву"), есть:

C ... C ... D ... B ..... C.D ... (если она в С мажоре)

В 12 тоновой равномерной темперации, две D являются одинаковой точно высоты.
Но в Чёткой Интонации Предела 5, вторая D несколько завышена, чем первая.

Обсуждение...

(English)

Today in Just Intonation:

The melody of "My Country, 'Tis of Thee" (aka "'Murica", aka "God Save the Queen"), is:

C...C...D...B.....C.D... (assuming it's in C major)

In 12 tone Equal Temperament, the two D's are the same exact pitch.
But in 5 Limit Just Intonation, the second D is slightly higher-pitched than the first one.

Discuss...

Mark Nowitzky by Mykhaylo Khramov (FB) писал(а):

Я предпочитаю эту настройку из-за типичной гармонии (прислушайтесь к началу https://www.youtube.com/watch?v=tN9EC3Gy6Nk.)

$\begin{matrix} $бас$ &$мелодия$\\ C~1/1 &C~1/1\\ E~5/4 &C~1/1\\ F~4/3 &D~10/9\\ G~3/2 &B~15/8\\ A~27/16&C~1/1\\ B~15/8 &D~9/8 \end{matrix}$

(English)

I prefer this tuning due to the typical harmony ( Listen to the beginning of https://www.youtube.com/watch?v=tN9EC3Gy6Nk .)

$\begin{matrix} $bass$ &$melody$\\ C~1/1 &C~1/1\\ E~5/4 &C~1/1\\ F~4/3 &D~10/9\\ G~3/2 &B~15/8\\ A~27/16&C~1/1\\ B~15/8 &D~9/8 \end{matrix}$

Это может быть переписано так, например:

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[10/9]}&^{b{:}}_{{:}[15/16]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[9/8]}\\ \\ $bass$&^{1C{:}}_{{:}[1/4]}&^{1E{:}}_{{:}[5/16]}&^{1F{:}}_{{:}[1/3]}&^{1G{:}}_{{:}[3/8]}&^{1A{:}}_{{:}[27/64]}&_\_&^{1B{:}}_{{:}[15/32]}\\ \end{matrix}$

[commator]

Заметно ли слуху, что файлы

Clt_Odx_Vgl_KPL1910KMY2016f2p01v0.wav
Clt_Odx_Vgl_KPL1910KMY2016f2p01v1.wav

суть разные модели интонирования фрагмента партитуры культовой православной Всенощной?



Материалы по моделированию пары файлов:

Clt_Odx_Vgl_KPL1910KMY2016f2p01v05j_MCM.zip

[commator]

commator в сообщении #1135261 писал(а):

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[10/9]}&^{b{:}}_{{:}[15/16]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[9/8]}\\ \\ $bass$&^{1C{:}}_{{:}[1/4]}&^{1E{:}}_{{:}[5/16]}&^{1F{:}}_{{:}[1/3]}&^{1G{:}}_{{:}[3/8]}&^{1A{:}}_{{:}[27/64]}&_\_&^{1B{:}}_{{:}[15/32]}\\ \end{matrix}$

Моё предложение:

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[9/10]}&^{1c{:}}_{{:}[9/10]} &^{1d{:}}_{{:}[1/1]}&^{b{:}}_{{:}[5/6]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[9/10]}&^{1d{:}}_{{:}[1/1]}\\ \\ $bass$ &^{C{:}}_{{:}[9/40]} &^{E{:}}_{{:}[9/32]}&^{F{:}}_{{:}[3/10]}&^{G{:}}_{{:}[1/3]}&^{A{:}}_{{:}[3/8]}&_\_&^{B{:}}_{{:}[5/12]}\\ \end{matrix}$

[commator]

commator в сообщении #1135261 писал(а):

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[10/9]}&^{b{:}}_{{:}[15/16]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[9/8]}\\ \\ $bass$&^{1C{:}}_{{:}[1/4]}&^{1E{:}}_{{:}[5/16]}&^{1F{:}}_{{:}[1/3]}&^{1G{:}}_{{:}[3/8]}&^{1A{:}}_{{:}[27/64]}&_\_&^{1B{:}}_{{:}[15/32]}\\ \end{matrix}$

commator в сообщении #1135302 писал(а):

Моё предложение:

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[9/10]}&^{1c{:}}_{{:}[9/10]} &^{1d{:}}_{{:}[1/1]}&^{b{:}}_{{:}[5/6]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[9/10]}&^{1d{:}}_{{:}[1/1]}\\ \\ $bass$ &^{C{:}}_{{:}[9/40]} &^{E{:}}_{{:}[9/32]}&^{F{:}}_{{:}[3/10]}&^{G{:}}_{{:}[1/3]}&^{A{:}}_{{:}[3/8]}&_\_&^{B{:}}_{{:}[5/12]}\\ \end{matrix}$

Нашёл партитуру:

http://imslp.org/wiki/File:PMLP197580-rinck_god_save_the_king.pdf#file

[commator]

commator в сообщении #1135421 писал(а):

Нашёл партитуру:

http://imslp.org/wiki/File:PMLP197580-rinck_god_save_the_king.pdf#file

По партитуре начало модели ЧИ может быть задумано так:

${\color[rgb]{.7,0,.7}\chi{,}\Theta1d\mbox{-5LJI}\owns\chi\mbox{,Џ}1a\mbox{[440,0Hz]}} \begin{matrix} \mathsf{Part~I}&\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}\\_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\ {\color[rgb]{.5,.9,0}\iota\Delta{,}\theta}\\ {\color[rgb]{.5,.9,0}1b}\end{matrix} &\begin{matrix}\\_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\{\color[rgb]{.5,.9,0}\_}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}~\\{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\end{matrix} &\begin{matrix}~\\{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\end{matrix}\\ \hline \mathsf{Part~II}&\begin{matrix}~\\~\\{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}1e}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\ {\color[rgb]{1,.6,.3}1g}\\ _{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}1e}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,.7}\chi\mbox{,Џ}}\\{\color[rgb]{.7,.7,.7}1a}\\ _{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{1,.6,.3}1f}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}1g}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\_}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,.7}\chi\mbox{,Џ}}\\{\color[rgb]{.7,.7,.7}1a}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.5,.9,0}\iota\Delta{,}\theta}\\{\color[rgb]{.5,.9,0}1b}\end{matrix}\\ \hline \mathsf{Part~III}&\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~c}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~e}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~f}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}~G}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~g}\\ {\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~G}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~G}\end{matrix} \end{matrix}$

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1135421 писал(а):

Нашёл партитуру:
http://imslp.org/wiki/File:PMLP197580-rinck_god_save_the_king.pdf#file

Спасибо, очень интересно. Но хотелось бы услышать от Вас больше комментариев относительно Вашей общей задумки. И первый: почему именно эта композиция Вас заинтересовала?

-- Пн июл 04, 2016 14:30:16 --

А я все это время пытался, все-таки, "довести до ума" ту версию "Ave Maria", которая мне нравится:

Свободный Художник в сообщении #1124207 писал(а):

svv в сообщении #1124028 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1002409 писал(а):

http://www.px-pict.com/7/3/2/5/10/4/2/m ... inale2.mid

Мне почти всё понравилось, только на 22 или 23 секунде на один миг была какая-то неправильность.

Большое спасибо! Хоть кто-то здесь написал о своих ощущениях.
(за исключением, конечно, моего давнего друга - оппонента commator'а)
По этой композиции были проведены фундаментальные музыкально-теоретические исследования. Из более ранних следует отметить работы Маргарет Бент:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/11/2/1/1/1.html
и Роджера Уибберли:
http://www.mtosmt.org/issues/mto.96.2.5 ... erley.html
Мои собственные усилия по озвучке этой композици отражены здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/10/4.html

Ведь относительно этой композиции мы так и не смогли придти к какому-либо согласию:

commator в сообщении #1124226 писал(а):

Черновик ещё одной моей версии готов. И это не прославляемая Вами пифагорейская болванка, и не сползающая на полтона дидимейская интерпретация д-ра Уибберли. Как только дойдут руки до надлежащего оформления, предъявлю для сравнения.

Но после опытов с дорийской симметрией в ЧИП5, которыми занят сейчас. Хотел её приложить и к



Сходу не приложилась. Фальшивит, хоть и не везде. Не уверен, однако, что симметричных решений для этого фрагмента быть не может.

Получился ещё один дидимейский, но дорийски асимметричный вариант. Звучит везде приемлемо и в конце приходит туда же, где было начало.

-- Пн июл 04, 2016 14:47:53 --

И не могу при этом отделаться от мысли, что сама постановка задачи "интонирования" напоминает по своей методологии процедуру сравнения между собой "рациональной числовой прямой" и "геометрической прямой" (как эта процедура изложена, например, очень ярко И. В. Арнольдом):
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/6/48.html
Т. е. интонирование связано с понятием "непрерывности".

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1135629 писал(а):

почему именно эта композиция Вас заинтересовала?

Композиция в сущности не меня заинтересовала, а вот версия её решения, уничтожающая центр белоклавишной дорийской симметрии:

commator в сообщении #1135261 писал(а):

Mark Nowitzky by Mykhaylo Khramov (FB) писал(а):

Сегодня в Чёткой Интонации:

Мелодия "My Country, 'Tis of Thee" (так называемая "Murica", она же "Боже, храни королеву"), есть:

C ... C ... D ... B ..... C.D ... (если она в С мажоре)

В 12 тоновой равномерной темперации, две D являются одинаковой точно высоты.
Но в Чёткой Интонации Предела 5, вторая D несколько завышена, чем первая.

Обсуждение...

(English)

Today in Just Intonation:

The melody of "My Country, 'Tis of Thee" (aka "'Murica", aka "God Save the Queen"), is:

C...C...D...B.....C.D... (assuming it's in C major)

In 12 tone Equal Temperament, the two D's are the same exact pitch.
But in 5 Limit Just Intonation, the second D is slightly higher-pitched than the first one.

Discuss...

Mark Nowitzky by Mykhaylo Khramov (FB) писал(а):

Я предпочитаю эту настройку из-за типичной гармонии (прислушайтесь к началу https://www.youtube.com/watch?v=tN9EC3Gy6Nk.)

$\begin{matrix} $бас$ &$мелодия$\\ C~1/1 &C~1/1\\ E~5/4 &C~1/1\\ F~4/3 &D~10/9\\ G~3/2 &B~15/8\\ A~27/16&C~1/1\\ B~15/8 &D~9/8 \end{matrix}$

(English)

I prefer this tuning due to the typical harmony ( Listen to the beginning of https://www.youtube.com/watch?v=tN9EC3Gy6Nk .)

$\begin{matrix} $bass$ &$melody$\\ C~1/1 &C~1/1\\ E~5/4 &C~1/1\\ F~4/3 &D~10/9\\ G~3/2 &B~15/8\\ A~27/16&C~1/1\\ B~15/8 &D~9/8 \end{matrix}$

Это может быть переписано так, например:

$\begin{matrix} $melody$&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[10/9]}&^{b{:}}_{{:}[15/16]}&_\_&^{1c{:}}_{{:}[1/1]}&^{1d{:}}_{{:}[9/8]}\\ \\ $bass$&^{1C{:}}_{{:}[1/4]}&^{1E{:}}_{{:}[5/16]}&^{1F{:}}_{{:}[1/3]}&^{1G{:}}_{{:}[3/8]}&^{1A{:}}_{{:}[27/64]}&_\_&^{1B{:}}_{{:}[15/32]}\\ \end{matrix}$

на сегодняшний день меня не устраивает. Поэтому и решил принять участие в предложенном обсуждении, где и появится больше подробностей, если оно не заглохнет.

[commator]

commator в сообщении #1135526 писал(а):

commator в сообщении #1135421 писал(а):

Нашёл партитуру:

http://imslp.org/wiki/File:PMLP197580-rinck_god_save_the_king.pdf#file

По партитуре начало модели ЧИ может быть задумано так:

${\color[rgb]{.7,0,.7}\chi{,}\Theta1d\mbox{-5LJI}\owns\chi\mbox{,Џ}1a\mbox{[440,0Hz]}} \begin{matrix} \mathsf{Part~I}&\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}\\_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\ {\color[rgb]{.5,.9,0}\iota\Delta{,}\theta}\\ {\color[rgb]{.5,.9,0}1b}\end{matrix} &\begin{matrix}\\_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\\{\color[rgb]{.5,.9,0}\_}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}~\\{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}2c}\end{matrix} &\begin{matrix}~\\{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}2d}\end{matrix}\\ \hline \mathsf{Part~II}&\begin{matrix}~\\~\\{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}1e}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\ {\color[rgb]{1,.6,.3}1g}\\ _{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}1e}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,.7}\chi\mbox{,Џ}}\\{\color[rgb]{.7,.7,.7}1a}\\ _{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{1,.6,.3}1f}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}1g}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\_}\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,.7}\chi\mbox{,Џ}}\\{\color[rgb]{.7,.7,.7}1a}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.5,.9,0}\iota\Delta{,}\theta}\\{\color[rgb]{.5,.9,0}1b}\end{matrix}\\ \hline \mathsf{Part~III}&\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~c}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~e}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~f}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\~\\~\end{matrix} &\begin{matrix}_{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ ^{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}~G}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~g}\\ {\color[rgb]{1,.6,.3}\Delta\iota{,}\theta}\\{\color[rgb]{1,.6,.3}~G}\end{matrix} &\begin{matrix}{\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~g}\\ {\color[rgb]{.7,.7,0}\chi{,}\theta}\\{\color[rgb]{.7,.7,0}~G}\end{matrix} \end{matrix}$

Из-за стремления не трогать камертонные стандарты высотного класса A, а также поддерживать белоклавишную дорийскую симметрию относительно 1d, полагаю возможным микротоново изгибать какие угодно высоты, кроме таковых из классов A и D.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1119356 писал(а):

Обратите внимание, что античная геометрическая алгебра оперировала прямоугольниками, т. е., можно сказать, "клавишами" в Вашем понимании (как я его понял )

Свободный Художник в сообщении #1116740 писал(а):

Б. Л. ван дер Варден: "Греческая алгебра была геометрической алгеброй: она оперировала отрезками прямой и прямоугольниками, но не числами":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/8.html

Желая облегчить подобное оперирование в своей "стандартной модели":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html
добавил в нее две новые операции "диагональных стрелок" и дал для них некоторую визуально - интуитивную интерпретацию:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/11/1.html

[Свободный Художник]

Можно на конкретном примере продемонстрировать использование вновь введенных операций "диагональных стрелок":
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/11/2.html

в общем контексте ранее сформулированной задумки:

Свободный Художник в сообщении #1109524 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):

Почитайте статью Б. Н. Делоне:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/5.html

Нам будет нетрудно перевести на язык "геометрической алгебры" нужные фрагменты статьи Делоне, взяв за исходный пункт замечание Б. Л. ван дер Вардена:
Повсюду в греческой математике встречаются многочисленные применения этой алгебры. Ход мысли всегда алгебраический, формулировка -- геометрическая. На этом методе основывается ... вся теория конических сечений целиком. В 4-м веке до н. э. Теэтет, а в 3-м веке до н. э. Архимед и Аполлоний были истинными виртуозами по этой части.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html