Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1130157 писал(а):

Ну, а для меня, конечно, это будет (изначально) некоторая операция на множестве отрезков прямых линий на евклидовой плоскости, поскольку я делаю допущение, что такими отрезками можно моделировать звуки.

Свободный Художник в сообщении #1119136 писал(а):

Еще одной отправной точкой было среднее пропорциональное:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/6/24.html
Из приведенного перевода на английский текста Царлино по указанной ссылке, который можно сравнить с оригиналом:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/7/2/24.html
совершенно ясно видно, что Царлино использовал отрезки прямых на евклидовой плоскости для моделирования струн и отвечающих им звуков.
По мнению Д. Д. Мордухай - Болтовского само понятие "среднего пропорционального" возникло в "чистой" математике из запросов муз. теории:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

Если применить построение, упоминаемое у Царлино, к случаю деления октавы на две равные части, то оно сводится к построению иррационального отрезка длиной $\sqrt{2}$. Возникающий в конечном итоге "универсум струн" можно ассоциировать с вещественным квадратичным полем $k(\sqrt{2})$ в терминологии Харди - Райта:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/14.html

Исторически с корня из двух вся каша и заварилась. П. П. Гайденко:
Открытие несоизмеримости. Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Стимулирующее влияние такого рода открытий на развитие науки отмечали и Платон, и Аристотель. Последний в этой связи писал: “Ибо вследствие удивления люди и теперь, и впервые начали философствовать, причем вначале они испытали изумление по поводу тех затруднительных вещей, которые были непосредственно перед ними, а затем продвинулись на этом пути дальше и осознали трудности в более крупных вопросах, например, относительно изменений луны и тех, которые касаются Солнца и звезд, а также относительно возникновения мира … Все начинают с изумления, обстоит ли дело именно так: как недоумевают, например, про загадочные самодвижущиеся игрушки, или, сходным образом, в отношении солнцеворотов, или несоизмеримости диагонали; ибо у всех, кто еще не рассмотрел причину, вызывает удивление, если чего-нибудь нельзя измерить самою малою мерою” (Метафизика, I, 2, 982 в 10 – 983 а 23).
Гайденко П. П. Эволюция понятия науки.
(Становление и развитие первых научных программ)
М.: Наука, 1980, сс. 49 – 50.

-- Пн июл 18, 2016 15:09:18 --

Дедекинд в своей культовой книге "Непрерывность и иррациональные числа", по-видимому, отдавал дань традиции, когда приводил типичный пример: Если нанести такую длину от точки $o$" на прямую, то получим конечную точку, которой не сответствует никакое рациональное число:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/1/3.html

-- Пн июл 18, 2016 15:27:21 --

Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности. Поскольку даже при первоначальном развитии этой идеи, связаной с корнем из двух, естественным образом появляется красивое семейство гипербол и ассоциированные с ним гиперболические повороты (как описано, например, у Бугаенко):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/6/11.html
А там недалеко уже и до логарифмической зависимости.

Свободный Художник в сообщении #1125263 писал(а):

Мне кажется крайне порочной идея о том, что появление логарифмической зависимости в арифметике должно обосновываться при помощи такого "новостроя", как закон Вебера-Фехнера и основанной на нем психоакустики. Мой собственный опыт подсказывает, что гиперболические функции здесь более уместны:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/27.html
В свое время мне хватило двух страничек из справочника Корнов, чтобы придумать свою процедуру:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
На этих страничках из справочника Корнов излагалась аналогия между круговой и гиперболической тригонометриями.

commator в сообщении #1125934 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1125705 писал(а):

"законы сложения" для гиперболических функций

Попробуйте убедить музыкантов, что это им нужнее, чем тональные функции. Потренируйтесь на мне, не музыканте. Пока не могу осознать, зачем оно мне. Анализировать музыку тональными функциями могу, худо-бедно. Гиперболическими тоже могу, но как мартышка с очками.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности

Вы хотите сказать, что в дискретности натуральных чисел можно найти логарифмическую зависимость только после внедрения идеи непрерывности?

[Свободный Художник]

Лучше сказать, в плотности рациональных:

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Дедекинд в своей культовой книге "Непрерывность и иррациональные числа", по-видимому, отдавал дань традиции, когда приводил типичный пример: Если нанести такую длину от точки $o$" на прямую, то получим конечную точку, которой не сответствует никакое рациональное число:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/1/3.html

Мы знаем, что (положительные) рациональные числа используются для моделирования музыкальных интервалов. Например, у Д. Райта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1138896 писал(а):

(положительные) рациональные числа используются для моделирования музыкальных интервалов

И для ЧИ (чётко интонированных) музыкальных высот положительные рациональные числа используются.

Вместе с тем для иррационального числа, например $\sqrt{2}$, принципиально не существует взаимно-однозначного соответствия с ЧИ музыкальной высотой, тогда как логарифмическая зависимость любой ЧИ музыкальной высоты с рациональным числом всегда взаимно-однозначна.

Музыка может иметь логарифмическую зависимость без идеи непрерывности, другими словами.

[Свободный Художник]

Все же пресловутый Д. Райт вводит в рассмотрение иррациональные музыкальные интервалы, которые моделируются положительными иррациональными числами. Как Вы думаете, зачем он это делает?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1138987 писал(а):

зачем он это делает?

Может быть он не учёл, что в музыке для тритона $\sqrt{2}$ не понадобилось особой нотации?

То, что музыканты называют тритон, всегда нотируется либо как увеличенная кварта, либо как уменьшённая квинта, что исключает возможность нотной записи и воспроизведения по нотам именно тритона $\sqrt{2}$.

В академической западной музыкальной нотации нет места и для всех прочих интервалов, отображающих иррациональные соотношения образующих высот и эта нотация с тысячелетней историей способна описывать лишь высоты рационального происхождения, если исключить возможность нечёткого интонирования нотной записи.

[Свободный Художник]

Выдающийся западный музыкальный теоретик Царлино тоже зачем-то это делал. Причем очень настойчиво порождал "иррациональные струны" (звуки). Даю ссылку на книгу, которой Вы в свое время восхищались:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/7/2/24.html

P. S. Радостная весть. Первую часть его монументального труда перевели, наконец, на английский:
http://search.proquest.com/docview/304669768
Отдельные страницы доступны в Google Play.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1139048 писал(а):

Царлино тоже зачем-то это делал. Причем очень настойчиво порождал "иррациональные струны" (звуки)

Не знаю зачем порождал. Может быть для того, чтобы потом взвешенно и решительно от них отказаться в пользу рациональных?

Во всяком случае я могу вполне определённо дать сонантометрическое имя высоте, порождённой числом $\sqrt{2}$ (половинатонант суборигинанта ${:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o$) не зная, однако, какой ноте этот сонант приписать. Оттого и уверенность имею, что нельзя сию высоту полностью описать для чёткого интонирования, следовательно она интонируется нечётко и не является целью моих устремлений.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1139092 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1139048 писал(а):

Царлино тоже зачем-то это делал. Причем очень настойчиво порождал "иррациональные струны" (звуки)

Не знаю зачем порождал. Может быть для того, чтобы потом взвешенно и решительно от них отказаться в пользу рациональных?

Давайте уцепимся за словосочетание "математическое мышление" в цитированном выше пассаже из П. П. Гайденко:

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Исторически с корня из двух вся каша и заварилась. П. П. Гайденко:
Открытие несоизмеримости. Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Стимулирующее влияние такого рода открытий на развитие науки отмечали и Платон, и Аристотель. Последний в этой связи писал: “Ибо вследствие удивления люди и теперь, и впервые начали философствовать, причем вначале они испытали изумление по поводу тех затруднительных вещей, которые были непосредственно перед ними, а затем продвинулись на этом пути дальше и осознали трудности в более крупных вопросах, например, относительно изменений луны и тех, которые касаются Солнца и звезд, а также относительно возникновения мира … Все начинают с изумления, обстоит ли дело именно так: как недоумевают, например, про загадочные самодвижущиеся игрушки, или, сходным образом, в отношении солнцеворотов, или несоизмеримости диагонали; ибо у всех, кто еще не рассмотрел причину, вызывает удивление, если чего-нибудь нельзя измерить самою малою мерою” (Метафизика, I, 2, 982 в 10 – 983 а 23).
Гайденко П. П. Эволюция понятия науки.
(Становление и развитие первых научных программ)
М.: Наука, 1980, сс. 49 – 50.

То есть введение корня из двух вызвало переворот в математическом мышлении. Оно стало другим. Не таким, как было. Поднялось на новую, более высокую ступень.
Теперь, давайте согласимся, что существует также и музыкальное мышление. И оно также может эволюционировать и даже революционировать. Во времена, когда корень квадратный возникал как таковой, оба вида мышления шли рука об руку рядом, о чем свидетельствует, в частности, продолжение вышеупомянутого пассажа из П. П. Гайденко. В этом продолжении она пишет:
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т. е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2), либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т. е. найти среднее геометрическое между 1 и 2.
О Виллартовской революции в музыкальном мышлении (Царлино был прилежным учеником Вилларта) писал Уибберли в своей статье:
"В некотором Пифагорейском контексте, где все (целые) тона имеют одну и ту же общую величину (равно как и все диатонические полутона), Гвидонова Рука обеспечивает некий простой метод музыкального мышления; но в синтонических рамках, где интервальная структура является более сложной, гексахордовая теория оказывается не в состоянии обеспечить правильную техническую основу."
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/3/1/1.html
(пункт [23] на указанной странице)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1139373 писал(а):

словосочетание "математическое мышление"

в моём понимании задачи детемперации тритона, например, частично может выражаться так:

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \mbox{Џ}1a\mbox{:\S Dt}\in\-\mbox{T}1d\mbox{:\S\O\o-12EDO}\owns\-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o\models $$

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \models\left\{ \begin{array}{rcccl} \-t1as{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o & \searrow & \theta1as\mbox{:10T}[2^{10}/3^{6}]\mbox{6d} & \nearrow & \Delta\iota{,}\theta1as\mbox{:6T[64/45]m2d;} \\ \\ \-t1gis{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o & \nearrow & \theta1gis\mbox{:6D}[3^{6}/2^{9}]\mbox{9t} & \searrow & \iota\Delta{,}\theta1gis\mbox{:2DM[45/32]5t;} \\ \end{array} \right $$

[Свободный Художник]

Надеюсь, Вы прокомментируете свои формулы более подробно.

Свободный Художник в сообщении #1138617 писал(а):

Получается, что логарифмическая зависимость является, в первую очередь, следствием идеи непрерывности. Поскольку даже при первоначальном развитии этой идеи, связаной с корнем из двух, естественным образом появляется красивое семейство гипербол и ассоциированные с ним гиперболические повороты (как описано, например, у Бугаенко):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/6/11.html
А там недалеко уже и до логарифмической зависимости.

Феликс Клейн, как всегда, очень талантливо объясняет, почему недалеко:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/2/1.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1139556 писал(а):

Надеюсь, Вы прокомментируете свои формулы более подробно.

commator в сообщении #1139478 писал(а):

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \mbox{Џ}1a\mbox{:\S Dt}\in\-\mbox{T}1d\mbox{:\S\O\o-12EDO}\owns\-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o\models $$

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \models\left\{ \begin{array}{rcccl} \-t1as{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o & \searrow & \theta1as\mbox{:10T}[2^{10}/3^{6}]\mbox{6d} & \nearrow & \Delta\iota{,}\theta1as\mbox{:6T[64/45]m2d;} \\ \\ \-t1gis{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o & \nearrow & \theta1gis\mbox{:6D}[3^{6}/2^{9}]\mbox{9t} & \searrow & \iota\Delta{,}\theta1gis\mbox{:2DM[45/32]5t;} \\ \end{array} \right $$

Таблицы ниже, думаю, должны дать достаточно подробностей:

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l} \hline Камертонного класса & &системе с выделением & &темперированная вы- &мо-\\ выделенная высота & &темперированной высоты & &сота, понимаемая как &де-\\ первой-октавы-ля по-&в&первой-октавы-ре, пони- &где&половина-Тонант$[\frac{2^\frac{1}{2}}{1}]$&ли-\\ нимается как сонант, & &маемой как нечёткий Ори-& &суборигинант &ру-\\ именуемый нечёткий & &гинант-суборигинант & & &ет\\ Доминант-субтонант & &множества высот 12РДО & & &\\ \hline $\mbox{Џ}1a\mbox{:\S Dt}$&$\in$&$\-\mbox{T}1d\mbox{:\S\O\o-12EDO}$&$\owns$&$\-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o$&$\models$\\ \hline \end{tabular} $$

$$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l|l} \hline мо-& &темперированную &изги-&пифагорейской &изги-&дикомпифагорейской 1-й-\\ де-&ли-&высоту первой-ок- &бае- &1-й-октавы-ля-бе-&бае- &октавы-ля-бемоль как \\ ли-&бо &тавы-ля-бемоль как &мую &моль как десять- &мую &шесть-Тонант$[\frac{2^{6}}{5\cdot3^2}]$субме-\\ ру-& &половина-Тонант-суб-&вниз &Тонант$[\frac{2^{10}}{3^{6}}]$шесть-&вверх&диант-два-субдоминант\\ ет & &оригинант &до &субдоминант &до &\\ \hline $\models$&\left\{ \begin{array}{} \\ \\ \\ \end{array} \right.&\begin{matrix} \-t1as{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o\\& \\ \-t1gis{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o \end{matrix}&\begin{matrix} \searrow\\ \\ \nearrow \end{matrix}&\begin{matrix} \theta1as\mbox{:10T}[2^{10}/3^{6}]\mbox{6d}\\ \\ \theta1gis\mbox{:6D}[3^{6}/2^{9}]\mbox{9t} \end{matrix}&\begin{matrix} \nearrow\\ \\ \searrow \end{matrix}&\begin{matrix} \Delta\iota{,}\theta1as\mbox{:6T[64/45]m2d;}\\ \\ \iota\Delta{,}\theta1gis\mbox{:2DM[45/32]5t;} \end{matrix}\\ \hline мо-& &темперированную &изги-&пифагорейской &изги-&идкомпифагорейской 1-й-\\ де-&ли-&высоту первой-ок- &бае- &1-й-октавы-соль-&бае- &октавы-соль-диез как два-\\ ли-&бо &тавы-соль-диез, как &мую &диез как шесть- &мую &Доминант-Медиант$[\frac{3^{2}\cdot5}{2^{5}}]$\\ ру-& &половина-Тонант-суб-&вверх&Доминант$[\frac{3^{6}}{2^{9}}]$де-&вниз &пять-субтонант\\ ет & &оригинант &до &вять-субтонант &до &\\ \hline \end{tabular} $$

[Свободный Художник]

Поясните, пожалуйста, связано ли Ваше понимание моделирования с "математическим моделированием", например, в смысле Яглома:
http://www.px-pict.com/9/6/6/5.html
Ведь, в принципе, можно же, наверное, считать, что "теоретическая математика" и создавалась в значительной степени как некая "моделирующая среда" для теоретико-музыкальных конструкций. Если это так, то, наверное, можно считать допустимой взаимо-замену соответствующих терминов, которую, допускал, например, Архит:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/2.html
За что его упрекал Б. Л. ван дер Варден: "... доказаны три чисто теоретико-числовые предложения, но говорится не о числовых отношениях, а о музыкальных интервалах".

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1139756 писал(а):

Поясните, пожалуйста, связано ли Ваше понимание моделирования с "математическим моделированием", например, в смысле Яглома: http://www.px-pict.com/9/6/6/5.html

Связано или нет ― не знаю.

Могу пояснить, что не поддающаяся однозначному нотированию темперированная высота $ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o $, вполне однозначно сонантометрируется как $ {:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o $ и этот сонант взаимно однозначно соответствует числу $\frac{2^\frac{1}{2}}{1}$, а оно, будучи иррациональным, построено только из рациональных, между прочим.

Музыканты, однако, лет триста-четыреста нотируют сонант $ {:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o $ либо как увеличенную кварту $ \mbox{IV}\sharp $, либо как уменьшенную квинту $ \mbox{V}\flat $, но ни тем ни другим $ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o $ не является, т.е. музыканты нотируют не то, что интонируют по стандарту темперации 12РДО, значит не интонируют нотацию, а моделируют её интонирование, пользуясь темперацией.

Это и выражается сонантометрически, т.е. математически:

$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o\models\left\{ \begin{array}{rcccl} \-t\mbox{V}\flat{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \\ \-t\mbox{IV}\sharp{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \end{array} \right $

как мне кажется, достаточно строго.

[commator]

commator в сообщении #1139807 писал(а):

выражается сонантометрически, т.е. математически:

$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} \-t pitch{:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o\models\left\{ \begin{array}{rcccl} \-t\mbox{V}\flat{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \\ \-t\mbox{IV}\sharp{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \end{array} \right $

как мне кажется, достаточно строго.

Можно и ещё строже выразить:

$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1} (^{~6}_{12}\-t\mbox{V}\flat~\equiv~^{~6}_{12}\-t\mbox{IV}\sharp)~\to~^{~6}_{12}\-t(\mbox{V}\flat{\equiv}\mbox{IV}\sharp){:}\frac{1}{2}\mbox{T}[2^{(1/2)}/1]\o\models\left\{ \begin{array}{rcccl} ^{~6}_{12}\-t\mbox{V}\flat{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \\ ^{~6}_{12}\-t\mbox{IV}\sharp{:}\frac{1}{2}\mbox{T}\o;\\ \end{array} \right $

чтобы подчеркнуть отождествление темперированных ступеней $ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1}^{~6}_{12}\-t\mbox{V}\flat,~^{~6}_{12}\-t\mbox{IV}\sharp $ на 6-й высоте из 12РДО, получающей двусмысленное имя $ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1}^{~6}_{12}\-t(\mbox{V}\flat{\equiv}\mbox{IV}\sharp) $

Такое невозможно в некоторых других системах темперации, среди которых 53РДО, например, поскольку там нет высоты, делящей октаву точно на две половины и справедливо выражение:

$ \def\-#1{\lefteqn{$--$}#1}^{26}_{53}\-t\mbox{V}\flat~\not\equiv~^{27}_{53}\-t\mbox{IV}\sharp. $