Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1126390 писал(а):

Нужна не только теория обертонов, но и теория унтертонов...

В своей Третьей симфонии Альфред Шнитке (в интерпретации В. Н. Холоповой) пытался символически передать идею обертонально-унтертонального дуализма:
"Единый сложный тон произведения развернут и в виде двух симметрично уравновешенных тем, также глубоко символичных,— «обертоновой», с постепенным восхождением, и «унтертоновой», с нисхождением":
http://a-v-simakin.livejournal.com/8833.html
Цитированную там книгу В. Н. Холоповой о Шнитке можно взять здесь:
http://classic-online.ru/uploads/000_books/300/256.pdf
Мы пытались ранее это обсуждать в связи с теориями Оголевца и Римана:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 74&page=33
(постинг номер 322 и далее)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1126791 писал(а):

commator в сообщении #1126390 писал(а):

Нужна не только теория обертонов, но и теория унтертонов...

<...>
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=55174&page=33
(постинг номер 322 и далее)

Далее было моё утверждение, по сей день не встречающее опровержения:

commator писал(а):

vcirkov писал(а):

Нам объясняли, что в спектре обертонов нет унтертонов

Это ошибка, потому что для любого обертона основной тон спектра неизбежно окажется унтертоном.

[Свободный Художник]

А мне все же больше нравятся рассуждения Шнитке, рассматренные нами чуть раньше:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 27&page=13
(постинг 122 и далее)
А.Г.Шнитке. Беседы, выступления, статьи. • часть 2 •
Опубл. в сб.: Проблемы традиций и новаторства в современной музыке. - М., 1982. С. 104-107:
"... И я убедился, что, погружаясь в глубины обертонного спектра, вплоть до 32-го обертона и далее, слух проникает в бесконечный, но замкнутый мир, из магнетического поля которого нет выхода. Становится невозможной не только модуляция в другую тональность, но и невозможно взять второй основной тон, потому что, уловив первый и вслушиваясь в его обертоны, слух уже не может себе представить никакого другого тона. Он довольствуется первым тоном и микрокосмосом его обертонов; таким образом, второй тон становится ошибкой по отношению к первому".
Оголевец бы под этим подписался!
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/51.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1127040 писал(а):

И я убедился, что, погружаясь в глубины обертонного спектра, вплоть до 32-го обертона и далее, слух проникает в бесконечный, но замкнутый мир, из магнетического поля которого нет выхода.

Пока не вижу для себя смысла отвлекаться на чтение этого сочинения, но если Вы его изучили, скажите, что-то про унтертоны там написано и если да, то что?

[commator]

commator в сообщении #1127048 писал(а):

что-то про унтертоны там написано и если да, то что?

Если про унтертоны не сказано, ценность сочинения сравнима с ценностью теории множеств без операции пересечения.

[commator]

commator в сообщении #1125304 писал(а):

svv в сообщении #1125257 писал(а):

обычная малая секунда, классический диссонанс. Этот интервал сложно сделать приятным для слуха. Мне кажется, Вы утверждаете, что там что-то более сложное. Это так?

Настойчиво прославляемая ув. Свободным Художником пифагорейская настройка, которая в файле присутствует и работает, хуже стандартной 12РДО, где малая секунда несколько шире и потому не так заметна на восьмушке в слабой доле. Если её сделать ещё шире (В ЧИП5 или ЧИ более высоких пределов), возможно и совсем незаметной будет, но надо пробовать.

Уточню, что речь о вертикальной неприятности малой секунды, поскольку горизонтальное употребление секунд, как малых, так и больших, всегда и везде рекомендовано в мелодиях именно из-за гарантированной приятности горизонтальных секундовых ходов.

Вертикальная неприятность возникает из-за биений одноаременно воздействующих и близких по частотам стимулов, которые попадают в пределы одной критической полосы слухового анализатора.

Избавиться от существующих внутри полосы биений нельзя, но если подобрать разность частот стимулов такой, чтобы биения узкого интервала были по кратности согласованы с остальными составляющими гармонической вертикали, то неприятность может исчезать, как исчезает неприятность биений между соседними близкорасположенными обертонами со́звука по причине их кратности основному тону.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1126076 писал(а):

commator в сообщении #1125357 писал(а):

Гипербола родом с поверхности конуса.

Нет, она не родом оттуда. Она рождена от пифагорейской музы. Поэтому и кажется мне естественной мысль положить ее в основу алгебры гармонии музыкальной. Б. Л. ван дер Варден:
"Эти вещи ... открыты пифагорейской музой ... Позднее эти названия были перенесены и на три конических сечения":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6/1.html

Свободный Художник в сообщении #1126360 писал(а):

... прекрасный пример эффективного использования в новой предметной области методологии, которая первоначально была рождена в другом месте. Однако, это новая предметная область относится к "миру зримого". Нам же с Вами, уважаемый commator, выпала честь попробовать применить с той же степенью эфективности означенную древнюю методологию также и к "миру слышимого".

Свободный Художник в сообщении #1108539 писал(а):

По-видимому, конструкции "геометрической алгебры" способствуют раскрепощению "визуального мышления" (по Арнхейму):
http://www.px-pict.com/4/6/3/2.html

Арнхейм на странице по приведенной ссылке пишет:"Визуальное мышление -- это мышление посредством визуальных операций". А можно ли сказать, что "слуховое мышление (если такое существует) -- это мышление при помощи слуховых операций"?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1129575 писал(а):

можно ли сказать, что "слуховое мышление (если такое существует) -- это мышление при помощи слуховых операций"?

Математическая Энциклопедия 1977 писал(а):

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, n-арная операция, на множестве А ― отображение

$\omega:A^n\to A$

n-й декартовой степени множества А в само множество А. Число n наз. арностью А. о. Исторически сначала возникли понятия бинарной (n = 2) и унарной (n = 1) операций. Нульарные операции ― это фиксированные элементы множества А, наз. также выделенными элементами, иногда нулями. В 20 в. появилось понятие бесконечноместной операции, т. е. отображения $\omega:A^\alpha \to A$, где $\alpha$ ― произвольное кардинальное число. Множество с системой определенных на нем А. о. наз. универсальной алгеброй.

Если переписать для слуха:

Слуховая операция, n-арная операция, на множестве слуховых ощущений $\mathbb{S}$ ― отображение

$\omega:\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}$

n-й декартовой степени множества $\mathbb{S}$ в само множество $\mathbb{S}$.

[Свободный Художник]

А что можно сказать по поводу обратимости слуховых операций? Жан Пиаже, концепцию которого в контексте теории музыки мы пытались начать обсуждать:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 869&page=9
в своем подходе делал ставку на феномен обратимости интеллектуальных операций.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1129870 писал(а):

по поводу обратимости слуховых операций

Вся дубовая двухуровневая логика сводится к одной унарной операции инвертирования и одной бинарной операции, например, конъюнкции, либо дизъюнкции (на выбор).

Вся деликатная многоуровневая логика слуховых ощущений высот сводится к одной унарной операциии инвертирования* и одной бинарной операции, например, тонического оберобъединения**, либо фонического унтерпересечения*** (на выбор).

Такой, как будто, феномен

Свободный Художник в сообщении #1129870 писал(а):

обратимости интеллектуальных операций

*) Обращается на противоположное направление перехода с одного уровня на другой, в точности с таким же интервалом между уровнями.

**) Пара со́звуков с неравными высотами порождает третью, объединяющую их в тоническом со́звуке, где у основы уровень первого обертона.

***) Пара со́звуков с неравными высотами порождает третью, пересекающую их в фоническом со́звуке, где у основы уровень первого унтертона.

-- 08.06.2016, 00:13 --

Свободный Художник в сообщении #1129870 писал(а):

А что можно сказать по поводу обратимости слуховых операций?

За полчаса до этого вопроса, как раз, приготовился один хороший фрагмент из учебника вытянуть:

Холопов и др. 2006, c. 149 писал(а):

Царлино вы­годно отличается от последующих теоретиков, которые трактовали мажорное трезвучие, исходя из обертонового ряда, как «данное природой» и естественное; но тогда малое трезвучие оказывалось... «вне природы». А с точки зрения мате­матической теории, на которую опирается Царлино, они равно возможны и обоснованы идентично. Неравноправны же они только в том смысле, что гармо­ническая пропорция, по оценке Царлино, эстетически превосходит арифметиче­скую. Он пишет: «Арифметическая пропорция немного удаляется от совершен­ства гармонии, так как ее части не находятся в своем естественном положении» (ч.III, гл. 31).

Стало быть, по Царлино, минор менее совершенен, чем мажор, не столь «гармоничен» в буквальном смысле слова. Как известно, в XVI веке все произ­ведения в минорных ладах заканчивались мажорным аккордом ́― наверное, по­тому, что музыка в конце должна дойти до своего совершенства, то есть того ка­чества, которое Царлино приписывает гармонии и гармонической пропорции. И еще, очень любопытна мотивировка: « ... не находятся в своем естественном по­ложении». Она основана как раз на эмпирическом моменте: «естественное», или природное положение, очевидно, предполагает то, которое соответствует нату­ральному звукоряду, хотя Царлино об этом и не говорит (натуральный звукоряд как таковой будет открыт позднее, в ХУН веке, Мерсенном).

[commator]

Ещё

commator в сообщении #1129929 писал(а):

один хороший фрагмент из учебника

:

Холопов и др. 2006, cc. 146-7 писал(а):

Во времена Царлино основой гармонической вертикали, как уже говорилось, были сочетания терций и квиит или их обращений, секст и кварт. Иначе говоря, с точки зрения современной теории, непрерывно звучали трезвучия и их обращения. А с позиций аутентичного восприятия гармонии ХУI века это вовсе не так; созвучие $e\cdot g\cdot c$ совершенно не обязательно обращение $c\cdot e\cdot g$. Именно это очень употребительное созвучие (трезвучие) Царлино рекомендует как норму
для многоголосного сложения⁵². И хотя лады у него традиционно мелодические, то есть модальные лады-гаммы, он рассматривает сочетания терций и секст, которые сводит к трезвучиям. Правда, у Царлино нет ни слова «трезвучие», ни определения «мажорное» или «минорное»; всё это существует в каких-то других терминах. Он попросту делит квинту натуральной большой терцией и получает два трезвучия, которые в современной ему музыке реально уже были главными «действующими лицами».

Схема 2
$\begin{tabular}{|rcccl|} \hline с & &$e$& &$g$\\ 15&:&12 &:&10 \\ 5 &:&4 & & \\ & &6 &:&5 \\ \multicolumn{2}{|l}{большая}&\multicolumn{3}{l|}{малая}\\ \multicolumn{2}{|l}{терция}&\multicolumn{3}{l|}{терция}\\ \multicolumn{5}{|c|}{\it гармоническая nроnорцuя}\\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{rcccl|} \hline с & &$es$& &$g$\\ 6 &:&5 &:&4 \\ & & & & \\ & & & & \\ \multicolumn{2}{l}{малая}&\multicolumn{3}{l|}{большая}\\ \multicolumn{2}{l}{терция}&\multicolumn{3}{l|}{терция}\\ \multicolumn{5}{c|}{\it арифметическая nроnорцuя}\\ \hline \end{tabular}$

Здесь необходимо неболъшое отступление. Дело в том, что проблема мажора и минора связана также с проблемой строя. Для многоголосной музыки исторически актуальны два строя ― пифагорейский и чистый. Пифагорейский ― строй
______________________
⁵² И не он единственный. В XVI веке стало уже общим правилом то, что гармоническая вертикаль должна состоять из комбинаций терций и секст: не следует пропускать терции, говорится в руководствах, даже если комбинация квинты и октавы воспринимается как благозвучный консонанс.

\txt\sc\small{Дж.Царлино$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$[начало страницы] 147} \hline

однофакторный, строй чистых квинт⁵³. Строй чистый ― двухфакторный, в нем применяются два строительных интервала: квинта (3 : 2) и натуральна большая терция (5 : 4)⁵⁴.

Различие двух строев ― в трех ступенях $(e, a, h)$. Особенно важно различие между пифагорейской и натуральной большой терцией. В пифагорейском строе эта терция , очень напряженная и не звучит консонантно, в чистом строе ― это спокойный натуральный интервал. Разница между той и другой терцией составляет так называемую дидимову комму $(81/80)$. Этот микроскопический интервал сам по себе не ощущается, но слух хорошо улавливает разницу между той и другой терцией. В музыке, где сочетания терций и квинт постоянны, необходим по­
этому другой строй. Выходом является принятие большой терции как второго основного интервала системы строя, настройки инструментов. При этом звук $h$ получается не от $e$, а от $g$ ― в качестве натуральной большой терции⁵⁵. Царлино принял систему чистого строя, то есть строя с натуральными терциями. А это, со своей стороны, тоже готовит мажор и минор в качестве главных ладов, и консонантное трезвучие ― в качестве центрального элемента системы. Одно обусловливает другое: музыка трезвучная требует чистого строя, а чистый строй стимулирует развитие трезвучной музыки. Таким образом, Царлино вовсе не случайно рассматривает комбинацию именно этих интервалов ― большой терции и квинты (никакой малой терции в строе нет, она только результативный интервал). Заодно, как видим, получаются мажорное и минорное трезвучия, которые Царлино объясняет следующим образом.

За основу он берет квинту, мотивируя это тем, что в ней есть некая неизменность звуков. Это сходно с терминологией древних греков, у которых, напомним, звуки кварты назывались «гестоты» то есть неподвижные (ступени), а все звуки внутри кварты полагались свободно передвигающимися и давали множество вариантов ладовой экспрессии. Но кварта ― это также и квинта, поэтому Царлино начинает с того, что квинта обладает той же неизменностью отноше­
ний, всегда имея одну и ту же величину. А дальше он внутрь квинты «вкладывает» большую терцию ― второй из интервалов строя. Встроить ее можно двумя способами: или вверх от нижнего звука или вниз от верхнего звука, отчего и получаются разные трезвучия.
______________________
⁵³ См. схему 5 А в статье: Холопов Ю. Н., Поспелова Р. Л. Указ. соч. С. 49.
⁵⁴ Там же (схема 5 Б).
⁵⁵ Обратим внимание на то, что наша темперация скрывает эти комматические различия. Но всё же в музыке более позднего времени мы отлично слышим интервал $his$--$e$ в контексте, как в фуге Баха cis-moll, и отличаем его на слух от $c$--$e$, как в сонате ор. 53 Бетховена. Когда играют на рояле, то $his$--$e$ кажется нам каким-то болезненно-изломанным интервалом, в отличие от яркого и радостного $c$--$e$, хотя клавиши те же. Контекстуальное различие остается, но речь о том, что это различие было реальным, физическим (когда $c$ ― одна высота, а $his$ ― другая). См. схему 6 в статье: Холопов Ю. Н., Поспелова Р. Л. Указ. соч. С. 49.

Фрагмент хорош, разумеется, не тем, как он написан. Взять хотя бы противоречие: никакой малой терции в строе нет, она только результативный интервал. Как будто результативный интервал малой терции ею не является. Между тем в классическом чистом строе неотъемлемо присутствуют две разновидности малых терций ― натуральная дидимейская (6:5) и натуральная пифагорейская (32:27).

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1129637 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1129575 писал(а):

можно ли сказать, что "слуховое мышление (если такое существует) -- это мышление при помощи слуховых операций"?

Математическая Энциклопедия 1977 писал(а):

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, n-арная операция, на множестве А ― отображение

$\omega:A^n\to A$

n-й декартовой степени множества А в само множество А. Число n наз. арностью А. о. Исторически сначала возникли понятия бинарной (n = 2) и унарной (n = 1) операций. Нульарные операции ― это фиксированные элементы множества А, наз. также выделенными элементами, иногда нулями. В 20 в. появилось понятие бесконечноместной операции, т. е. отображения $\omega:A^\alpha \to A$, где $\alpha$ ― произвольное кардинальное число. Множество с системой определенных на нем А. о. наз. универсальной алгеброй.

Если переписать для слуха:

Слуховая операция, n-арная операция, на множестве слуховых ощущений ...

Ну, а для меня, конечно, это будет (изначально) некоторая операция на множестве отрезков прямых линий на евклидовой плоскости, поскольку я делаю допущение, что такими отрезками можно моделировать звуки.

Свободный Художник в сообщении #1119136 писал(а):

Еще одной отправной точкой было среднее пропорциональное:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/6/24.html
Из приведенного перевода на английский текста Царлино по указанной ссылке, который можно сравнить с оригиналом:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/7/2/24.html
совершенно ясно видно, что Царлино использовал отрезки прямых на евклидовой плоскости для моделирования струн и отвечающих им звуков.
По мнению Д. Д. Мордухай - Болтовского само понятие "среднего пропорционального" возникло в "чистой" математике из запросов муз. теории:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

-- Ср июн 08, 2016 23:51:48 --

Если применить построение, упоминаемое у Царлино, к случаю деления октавы на две равные части, то оно сводится к построению иррационального отрезка длиной $\sqrt{2}$. Возникающий в конечном итоге "универсум струн" можно ассоциировать с вещественным квадратичным полем $k(\sqrt{2})$ в терминологии Харди - Райта:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/14.html

[Свободный Художник]

Для наглядности изобразил несколько целых точек этого поля (по наводке от Б. Н. Делоне):
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/2/1.html
Продолжая таким образом, можно "допилить" и до целой точки с координатами $x = 3 + 2\sqrt{2}$ и $y = 3 - 2\sqrt{2}$, которая будет лежать на интересующей нас гиперболе, определяемой уравнением $xy = 1$.

Свободный Художник в сообщении #1112503 писал(а):

commator в сообщении #1047892 писал(а):

Не забывайте: музыка существует не в области рациональных чисел, а там, где возникают их логарифмические (в первом приближении) отображения и где нельзя что-то толковое наспех оценить циркулями да линейками. Надо десятилетиями возиться с нотными станами и способами анализа их содержимого, столетиями напластованного, пунктум контра пунктум, жизнями не праздношатающихся скоморохов.

Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):

Почитайте статью Б. Н. Делоне:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/5.html
и Вы, я надеюсь, поймете, что гиперболические повороты (а, значит, и логарифмическая зависимость) естественным образом возникают в арифметике и без закона Вебера-Фехнера.
У нас уже было первоначальное обсуждение этой идеи:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 38&page=16
(постинг 157 от 04.03.2015 на указанной странице и далее)

Три рисунка будут полезными в этой связи. Черт. 148 у Яглома:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/25.html
Рисунок у Делоне:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/5.html
И рис. 135 у Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/2.html

[Свободный Художник]

Нам важно, что совокупность всех целых точек поля $k(\sqrt{2})$, лежащих на упомянутой гиперболе, образует абелеву группу относительно одной естественной операции, как это популярно объяснено у Х. Фресана:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/9/5/3.html
В качестве единственного образующего этой группы можно взять упомянутую точку:

Свободный Художник в сообщении #1130453 писал(а):

Продолжая таким образом, можно "допилить" и до целой точки с координатами $x = 3 + 2\sqrt{2}$ и $y = 3 - 2\sqrt{2}$, которая будет лежать на интересующей нас гиперболе, определяемой уравнением $xy = 1$.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1130157 писал(а):

Если применить построение, упоминаемое у Царлино, к случаю деления октавы на две равные части, то оно сводится к построению иррационального отрезка длиной $\sqrt{2}$. Возникающий в конечном итоге "универсум струн" можно ассоциировать с вещественным квадратичным полем $k(\sqrt{2})$ в терминологии Харди - Райта:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/14.html

Также давайте попробуем применить для описания некоторых конструкций поля $k(\sqrt{2})$ "гиперболические" комплексные числа (их еще называют "двойными"):
http://www.px-pict.com/7/4/10/1/1/5.html

-- Вс июн 12, 2016 23:53:09 --

Свободный Художник в сообщении #1117064 писал(а):

Я хотел бы предложить какой-нибудь клон античной геометрической алгебры в качестве основы для "алгебры музыкальной гармонии", которая здесь обсуждается.

Античная "геометрическая алгебра" в значительной степени основывалась на открытии, совершенном пифагорейской музой.

Свободный Художник в сообщении #1126076 писал(а):

Б. Л. ван дер Варден:
"Эти вещи ... открыты пифагорейской музой ... Позднее эти названия были перенесены и на три конических сечения":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6/1.html

Надо полагать, что еще далее впоследствии эти названия были перенесены и на три класса комплексных чисел:
http://www.px-pict.com/7/4/10/1/1/3/2.html