Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1064734 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

...могли бы быть полезны "решетки параллелограммов", которые рассматривал Гаусс:

Приложение этих решеток к вопросам музыкознания можно найти, например, в работе Флетчера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/0.html
которую Вы раздобыли в Англии.

Флетчер ссылается на Кокстера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/7.html
Кокстер ссылается на классическую Hardy G. H. and Wright E. M. "An Introduction to the Theory of Numbers":
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3.html
Было бы интересно взглянуть на сответствующие места из последней книги.

P.S. Уважаемый commator, нам что Дерево Штерна-Броко (ДШБ), что "последовательности Фарея", были бы одинаково полезны.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

Было бы интересно взглянуть на сответствующие места

Взгляните и сюда: https://www.facebook.com/groups/674137562721759/674149006053948/?notif_t=like

[Свободный Художник]

А если я не пользуюсь Facebook из принципиальных соображений?

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

Было бы интересно взглянуть на сответствующие места из последней книги.

При исследовании последовательностей Фарея решетки параллелограмов там используются. Начало соответствующего параграфа можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/3/5.html

Нам последовательности Фарея выгодны тем, что из них можно легко получить системы элементарных звучий:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
путем добавления дуальных (т. е. перевернутых) упорядоченных пар и "расклейки" некоторых пропорциональных пар.
Варианты озвучки таких систем были приведены здесь:
http://www.px-pict.com/3/tabs.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

А если я не пользуюсь Facebook из принципиальных соображений?

Ваша принципиальность лишает Вас возможности присутствовать в живом обсуждении ЧИ с участиет д-ра Уибберли.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

Варианты озвучки таких систем были приведены здесь: http://www.px-pict.com/3/tabs.html

Что делать желающим услышать звучание?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

путем добавления дуальных (т. е. перевернутых) упорядоченных пар и "расклейки" некоторых пропорциональных пар.

Начало, полагаю, может быть такое:

commator в Сети писал(а):

Природа высоты [1] музыкального звука [2] двойственна, что может пояснить следующее высказывание:

Система музыки есть организация связей высот, или тонов, друг с другом, и эти связи неизбежно связи чисел. Тон есть число, а так как тон в музыке всегда слышен в связи с одним или несколькими тонами — действительно слышимых или подразумеваемых — нам есть, по крайней мере, до двух чисел дело: число тона рассматриваемого и число тона слышимого или подразумеваемого в связи с первым тоном. Таким образом, соотношение. [3]

Тон и высота не синонимы, но тесно связаны, поскольку высота есть свойство слухового ощущения, порождённое чистым тоном [4], или сложным звуком [5], способным порождать ощущение высоты, тождественной высоте от соответствующего чистого тона. Звук, именуемый тон, следовательно, должен иметь частоту, порождающую ощущение высоты, что обычно выражается уравнением:

высота-в-центах = 1200∙log2(частота-для-высоты/частота-для-отсчёта) (1).

Бесспорно уравнение (1) оказывается частной формой уравнения, выражающего общий для психофизических явлений закон Вебера-Фехнера:

ощущение-в-его-единицах = k∙ln(стимул-для-ощущения/стимул-для-отсчёта) (2).

[1]. IEV 1994, pitch: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01
[2]. Ibid, sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-01
[3]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 76: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203547291707987234
[4]. IEV 1994, pure sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-05
[5]. Ibid, complex sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-06

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1068624 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

Варианты озвучки таких систем были приведены здесь: http://www.px-pict.com/3/tabs.html

Что делать желающим услышать звучание?

Это должно гарантированно работать в связке Windows XP + Internet Explorer.
Попробуйте подольше пощелкать мышкой по цветным прямоугольникам (возможно, midi-файлики не сразу подгрузятся).
Предполагается, что Вы будете слушать это через наушники.

-- Пн ноя 02, 2015 23:49:55 --

commator в сообщении #1069504 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

путем добавления дуальных (т. е. перевернутых) упорядоченных пар и "расклейки" некоторых пропорциональных пар.

Начало, полагаю, может быть такое:

commator в Сети писал(а):

Природа высоты [1] музыкального звука [2] двойственна, что может пояснить следующее высказывание:
................

Смущает вот это:

commator в сообщении #1069504 писал(а):

.....................
высота-в-центах = 1200∙log2(частота-для-высоты/частота-для-отсчёта) (1).
Бесспорно уравнение (1) оказывается частной формой уравнения, выражающего общий для психофизических явлений закон Вебера-Фехнера:
...............

Почитайте статью Б. Н. Делоне:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/5.html
и Вы, я надеюсь, поймете, что гиперболические повороты (а, значит, и логарифмическая зависимость) естественным образом возникают в арифметике и без закона Вебера-Фехнера.
У нас уже было первоначальное обсуждение этой идеи:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 38&page=16
(постинг 157 от 04.03.2015 на указанной странице и далее)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):

commator в сообщении #1068624 писал(а):

Смущает вот это:

Вы что-то не то написали. У меня не было в упомянутом сообщении таких слов.

Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):

гиперболические повороты (а, значит, и логарифмическая зависимость) естественным образом возникают в арифметике и без закона Вебера-Фехнера.

Арифметику не интересует взаимосвязь высотных ощущений и звуковых частот; она интересует не брезгающую арифметикой психоакустику и существенно важно, что означенная взаимосвязь не опровергает, а подтверждает закон Вебера-Фехнера, общий для всех психофизических взаимосвязей.

Как такое может смущать, если оно только радует?

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1069974 писал(а):

Вы что-то не то написали. У меня не было в упомянутом сообщении таких слов.

Я неправильно ответил на Ваше сообщение (немного запутался в редактировании). Разумеется, слова "Смущает вот это:" написал я сам.

-- Вт ноя 03, 2015 23:28:17 --

Когда я в юности писал свою статью об одном методе вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
то точно не вдохновлялся законом Вебера-Фехнера. А вот на плоскости Минковского эта процедура проинтерпретирована быть может.
Хочу обратить Ваше внимание на использование в ней эпиморных отношений определенного вида:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5/1.html

P.S. Фигурирующее там соотношение (1) выполняется, конечно же, не точно, а только приблизительно, где-то с точностью до единицы младшего (двоичного) разряда устройства, на котором, как предполагалось, изложенная процедура будет выполняться.

-- Вт ноя 03, 2015 23:48:03 --

При объяснении понятия логарифма Ф. Клейн отсылает к Михаэлю Штифелю:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1/2.html

Который был в том числе и муз. теоретиком. Его концепция разбирается у Форстера:
http://www.chrysalis-foundation.org/Ibn ... arlino.htm
(Section 10.43 на указанной странице)
Что-то я не заметил там психоакустических пассажей. А вот арифметики полно.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1069991 писал(а):

Когда я в юности писал свою статью об одном методе вычисления логарифмов: http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
то точно не вдохновлялся законом Вебера-Фехнера.

В юности Вас интересовала взаимосвязь высотных ощущений и звуковых частот?

Меня интересовала. Я тогда был битломаном, но начинал миграцию в бахоманию, настраивал пианины всем, кто попросит, и проектировал дугостаторный асинхронный электродвигатель (выдана приоритетная справка с Бережковской набережной), который необходимо было использовать на переменном токе управляемой частоты.

Понятное дело, я ещё в юности познакомился с законом Вебера-Фехнера и его частной формой в виде высотно-частотной характеристики слухового анализатора. Тогда же пристрастился и к музыкально-теоретической литературе, начал кое-что писать об этом для себя, но показывать таковое другим смог только от 2002-го, приблизительно.

[commator]

commator в сообщении #1069504 писал(а):

Начало, полагаю, может быть такое:

commator в Сети писал(а):

Природа высоты [1] музыкального звука [2] двойственна, что может пояснить следующее высказывание:

Система музыки есть организация связей высот, или тонов, друг с другом, и эти связи неизбежно связи чисел. Тон есть число, а так как тон в музыке всегда слышен в связи с одним или несколькими тонами — действительно слышимых или подразумеваемых — нам есть, по крайней мере, до двух чисел дело: число тона рассматриваемого и число тона слышимого или подразумеваемого в связи с первым тоном. Таким образом, соотношение. [3]

Тон и высота не синонимы, но тесно связаны, поскольку высота есть свойство слухового ощущения, порождённое чистым тоном [4], или сложным звуком [5], способным порождать ощущение высоты, тождественной высоте от соответствующего чистого тона. Звук, именуемый тон, следовательно, должен иметь частоту, порождающую ощущение высоты, что обычно выражается уравнением:

высота-в-центах = 1200∙log2(частота-для-высоты/частота-для-отсчёта) (1).

Бесспорно уравнение (1) оказывается частной формой уравнения, выражающего общий для психофизических явлений закон Вебера-Фехнера:

ощущение-в-его-единицах = k∙ln(стимул-для-ощущения/стимул-для-отсчёта) (2).

[1]. IEV 1994, pitch: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01
[2]. Ibid, sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-01
[3]. Partch, H. (1979). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, its Roots, and its Fulfillments, Second Edition. Da Capo Press, ISBN-10: 030680106X, p. 76: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/Partch1974GenesisOfAMusic#6203547291707987234
[4]. IEV 1994, pure sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-05
[5]. Ibid, complex sound: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-06

Продолжу:

commator в Сети писал(а):

Поскольку общий психофизический закон провозглашает превращение стимула в ощущение через логарифмическое, т. е. нелинейное преобразование, и превращение частоты в высоту это демонстрирует, то признаки нелинейности должны обнаруживаться также в других случаях, которые действительно известны. Со слуховой нелинейностью, например, связывают ощущения фантомных высот, возникающие без действительного стимулирования соответствующими частотами, а именно ощущения высот субъективных гармоник и комбинационных тонов. Не рассматривая причин появления в нелинейном преобразовании добавочных частот, надо принять во внимание, что они имеют свойство целочисленной кратности к частотам действительных стимулов:

В общем виде нелинейную функцию $F (a)$ можно представить в виде разложения в ряд по степеням $a$:

$F (a) = c_1a + c_2a^2 + c_3a^3+ c_4a^4 + c_5a^5 + \dots$

Соответствующая система порождает гармоники высших порядков от каждой входной компоненты и комбинационные тоны высших порядков с частотами

$f_k = k_1f_1 ± k_2f_2, ~~k_1, k_2 = 1, 2, 3, \dots$ [6]


[6]. Pozin, N. and Others (1978). Elements of Theory of Biological Analyzers (Russian). Moscow, p. 176: https://picasaweb.google.com/103356928589292705236/PozinOthers1978#5295125974633913026

[Свободный Художник]

Я не против закона Вебера-Фехнера. Однако, есть опасение, что его правда полностью затмила собой другую правду (о логарифмической зависимости в музыкальной теории), которая, быть может, является еще более существенной.
Вы же сами нашли страницу с переводом на английский выдержек из "Установлений гармонии" Царлино:
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

Прочитайте самую первую приведенную там выдержку. Ведь отрезки прямых на евклидовой плоскости, используемые там для моделирования струн, не вибрируют. Это может означать только лишь одно. От вибраций в приведенных там рассуждениях отвлекаются (абстрагируются), для того, чтобы сосредоточиться на чем-то более существенном, что скрыто за вибрациями струн.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1070886 писал(а):

Вы же сами нашли страницу с переводом на английский выдержек из "Установлений гармонии" Царлино:
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/1558/zarlino1558-2.aspx

Не только сам нашёл перевод на английский выдержек из Царлино, но и сам делаю переводы с английского выдержек из других авторов. Вспомните вот этот, например:

commator в Сети писал(а):

Статья занимает вторую главу монографии, имеет 6 разделов, таблицы, графики, ссылки и разместилась на 16-ти страницах. Вот её начало на стр. 17:

Цитата:

Музыка есть явление в идеаторном мире человека и, следовательно, имеет свою главную базу в психологии восприятия звука. Древний индийский подход к её пониманию и продуцированию был метафизическим и получил ауру божественности. Могут быть веские основания полагать, что такой подход является более значимым, чем современный механический подход объяснения и понимания музыки с точки зрения только физики колебания или подход нагромождения ненужных численных выкладок, как С. М. Тагор выразился, "(которые) мистифицируют этот предмет укутывая его в облаке математизма" [2].
<...>
Music is a phenomenon in the ideational world of man and hence has its primary basis in the psychology of perception of sound. The ancient Indian approach for understanding and production of it was metaphysical and was given the aura of divinity. There may be good reasons to believe that such an approach is more meaningful than the modern mechanical approach of explaining or understanding music in terms of physics of vibration only or the approach of forcing unnecessary numerical manipulation, as S M Tagore put it, "(which) mystifies the subject by enveloping it in a cloud of mathematicism"[2].
<...>
2. Tagore Sourindra Mohan, "Hindu Music", Hindu Patriot, Sept 7, 1874.

-- 07.11.2015, 07:55 --

Свободный Художник в сообщении #1070886 писал(а):

Я не против закона Вебера-Фехнера. Однако, есть опасение, что его правда полностью затмила собой другую правду (о логарифмической зависимости в музыкальной теории)

Интересно, какую такую логарифмическую правду в музыкальной теории может затмить логарифмическая правда закона Вебера-Фехнера?

[Свободный Художник]

Вот эту правду:

Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):

Почитайте статью Б. Н. Делоне:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/5.html
и Вы, я надеюсь, поймете, что гиперболические повороты (а, значит, и логарифмическая зависимость) естественным образом возникают в арифметике и без закона Вебера-Фехнера.

Вам, конечно, известно, что теоретическая арифметика в значительной степени и создавалась для моделирования музыкально-теоретических конструкций. Поэтому следует с уважением относиться к высказыванию любимого Вами Римана:
Следует ли поэтому начинать историю музыки только с Рождества Христова? Нет, тогда была бы пропущена эпоха, из которой мы хотя и не имеем ни одной мелодии, но имеем зато известное число теоретических сочинений, по которым можно составить понятие о высоком состоянии музыкального искусства в те времена. Такова эпоха процветания древней Греции, в ней коренится вся музыка средних веков, а музыкальная теория древних греков составляет и в настоящее время основу научного определения нашего искусства.
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/00.html

-- Сб ноя 07, 2015 23:25:02 --

В особенности продумайте объяснение (по Д. Д. Мордухай-Болтовскому) появления геометрического среднего в античной арифметике:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html
а также попытайтесь увидеть эту конструкцию в придуманной мною процедуре:

Свободный Художник в сообщении #1069991 писал(а):

Когда я в юности писал свою статью об одном методе вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
то точно не вдохновлялся законом Вебера-Фехнера. А вот на плоскости Минковского эта процедура проинтерпретирована быть может.

и в определении расстояния между двумя точками на плоскости Минковского (по И. М. Яглому):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1071151 писал(а):

объяснение (по Д. Д. Мордухай-Болтовскому) появления геометрического среднего в античной арифметике: http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

Другими словами древние додумались до геометрического среднего через отображение частотных стимулов на ощущения их высот.

Потом Вебер выразил отображение стимулов на ощущения в дифференциальном виде, Фехнер выражение Вебера проинтегрировал и все теперь знают: высотно-частотная характеристика слуха аппроксимируется логарифмической кривой, притом со времён пифагорейских, по меньшей мере.

Что и чем тут можно затмить?