2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 ... 54  След.
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение02.03.2016, 22:50 


20/03/08
421
Минск
commator в сообщении #1103314 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #1102945 писал(а):
Интересно, что Modern Dorian Mode иногда называют "русским минором": https://en.wikipedia.org/wiki/Dorian_mode
Как бы он индийским не оказался, если его не греки или арии в Индию занесли:

Для ответа на этот вопрос могла бы быть полезной также книга, на которую ссылается Герцман:
McClain E. The Myth of Invariance. The Origin of the Mathematics and Music from RG Veda to Plato. N. Y., 1976.
"Как показал Э. Мак-Клайн, эта тенденция была характерной особенностью не только античного музыкознания, но и всех его предшествующих исторических стадий. На анализе огромного фактологического материала из ведических и ветхозаветных сказаний, из мифов древней Индии, Месопотамии, Египта и других древних культур он доказал: основной областью архаичной науки о музыке был анализ акустических форм музыкального искусства":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/0/3.html

Издание этой книги от 1984 года доступно здесь:
http://www.ernestmcclain.net/MythsOfInv ... IMIZED.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение07.03.2016, 08:43 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
Свободный Художник в сообщении #1103719 писал(а):
Герцман:
McClain E. The Myth of Invariance. The Origin of the Mathematics and Music from RG Veda to Plato. N. Y., 1976.
"Э. Мак-Клайн <...> доказал: основной областью архаичной науки о музыке был анализ акустических форм музыкального искусства": http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/0/3.html
В нынешней науке о музыке математика вынуждена следить за обер/унтер двойственностью как на стороне психики, так и на стороне акустики,
commator в сообщении #1098053 писал(а):
Из-за психоакустики и обер/унтер двойственная психоматематика выглядит не столь красиво, как если бы без психо.
т.е. опять двойственно.

Любопытно, что типичную нынешнюю бухгалтерию иногда именуют двойной итальянской...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение12.03.2016, 17:31 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #1002772 писал(а):
Поясните, пожалуйста, какое значение в Вашей парадигме будут иметь кратные интервалы? Мы их уже обсуждали кратко ранее, основываясь на странице из Б. Л. ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
В более близкой мне парадигме в Таблице 74 у Немировского стоят именно кратные интервалы (повышающие и понижающие):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html
А каково Ваше видение этой таблицы?

"Таблицу Шредера", о которой пишет Арнольд (Черт. 47):
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/13/109.html
можно заменить рассмотрением рациональных лучей, отвечающих "кратным интервалам":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1/1.html
Давайте поищем связи между алгебраическими рассмотрениями, приводимыми у Арнольда в связи с упомянутой таблицей, и "геометрической алгеброй":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение17.03.2016, 22:27 


20/03/08
421
Минск
О кратных отношениях Б. Л. ван дер Варден упоминает еще здесь (в связи с теорией музыки Архита):
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
Там делается ссылка на "Sectio canonis". Превод этого сочинения на русский язык можно взять здесь:
http://www.plato.spbu.ru/AKADEMIA/akade ... demia7.htm
("Раздел III. Переводы" на указанной странице)

-- Чт мар 17, 2016 23:48:58 --

"Геометрическая алгебра" нравилась В. И. Арнольду, хотя он и возводил некоторые ее положения к более поздним источникам, чем "Начала" Евклида:
http://www.px-pict.com/7/3/1/11/1.html
Свободный Художник в сообщении #1106005 писал(а):
Давайте поищем связи между алгебраическими рассмотрениями, приводимыми у Арнольда в связи с упомянутой таблицей, и "геометрической алгеброй"

Возможно, будет проще начать систематическое изложение нужных нам понятий "геометрической алгебры" с понятия "четверика":
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/11.html
а не с понятия "гномона":
http://www.px-pict.com/7/3/1/11/8/1.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение18.03.2016, 11:43 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
Свободный Художник в сообщении #1107481 писал(а):
О кратных отношениях Б. Л. ван дер Варден упоминает еще здесь (в связи с теорией музыки Архита): http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
Кратность (multiple) получила существенное значение у электриков.
commator в сообщении #1054176 писал(а):
Международный Электротехнический Словарь. Глава 801:Акустика и электроакустика.

http://www.meconinfo.co.in/IECPDF/pdf/iec60050-801%7Bed2.0%7Dt.img.pdf
Вот пара определений, важнейших для исследования обер/унтер двойственности:
IEV 1994, 801-30-04 писал(а):
harmonic series of sounds
Series of sounds within which the fundamental frequency of each of them is an integral multiple of the lowest fundamental frequency.

(Принятый в РФ русский перевод)

гармонический ряд звуков
Звуковой ряд, в котором основная частота каждого звука в серии в целое число раз больше самой нижней основной частоты.
IEV 1994, 801-24-25 писал(а):
subharmonic response
Periodic response of a system at a frequency that is a submultiple of the excitation frequency.

(Принятый в РФ русский перевод)

отклик нa субгармонике
Периодический отклик системы нa частоте, равной нескольким частотам возбуждения.


-- 18.03.2016, 11:28 --

Свободный Художник в сообщении #1107481 писал(а):
Возможно, будет проще начать систематическое изложение нужных нам понятий "геометрической алгебры" с понятия "четверика": http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/11.html
По мере развития умственных способностей, впечатлительность растет и достигает наибольшей силы в гениальных людях. Эти избранные натуры более чувствительны в количественном и качественном отношениях, чем простые смертные, а воспринимаемые ими впечатления отличаются глубиною, долго остаются в памяти и сочетаются весьма разнообразно. Мелочи, случайные обстоятельства, подробности, незаметные для обыкновенного человека, глубоко западают им в душу и перерабатываются на тысячу ладов, чтобы воспроизвести то, что обыкновенно называется творчеством, хотя это только бинарная и кватенарная комбинация ощущения (Lombroso).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение22.03.2016, 22:37 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #1107481 писал(а):
Возможно, будет проще начать систематическое изложение нужных нам понятий "геометрической алгебры" с понятия "четверика":

Прежде всего, давайте обратим внимание на связь "четверика" с операцией медианты:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/11.html
(пункт 2 на указанной странице)
Приведенные там соотношения отличаются от Вашего наблюдения:
commator в сообщении #1090551 писал(а):
Между тем операция медианты может быть представлена в виде произведения пары Вам любезных операций:

$\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{b+d}{1}\cdot\dfrac{1}{a+c}=\left(\dfrac{b}{1} \bullet \dfrac{d}{1}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{a} \circ \dfrac{1}{c}\right) $.

Свободный Художник в сообщении #1091322 писал(а):
Правильнее это соотношение надо было бы записать так:
$\dfrac{b}{a} \boxplus \dfrac{d}{c} = \left( VR\left(\dfrac{b}{a}\right) \bullet VR\left(\dfrac{d}{c}\right)\right) \otimes \left( HR\left(\dfrac{b}{a}\right) \circ HR\left(\dfrac{d}{c}\right)\right)$,
где символы всех входящих в него операций (за исключением унарных операций $VR$ и $HR$) объясняются здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html

-- Сб янв 16, 2016 23:50:55 --

Определение унарных операций $VR$ и $HR$:
$VR\left(\dfrac{m}{n}\right) = \dfrac{m}{1}$,
$HR\left(\dfrac{m}{n}\right) = \dfrac{1}{n}$.


-- Вт мар 22, 2016 23:51:38 --

Свободный Художник в сообщении #1107481 писал(а):
"Геометрическая алгебра" нравилась В. И. Арнольду

По-видимому, конструкции "геометрической алгебры" способствуют раскрепощению "визуального мышления" (по Арнхейму):
http://www.px-pict.com/4/6/3/2.html
Соответствующие "модели", о которых мечтал Д. Д. Мордухай - Болтовский:
http://www.px-pict.com/7/3/1/11/8/13.html
сейчас можно реализовать при помощи анимации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение27.03.2016, 13:28 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #1069680 писал(а):
Почитайте статью Б. Н. Делоне:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/5.html
и Вы, я надеюсь, поймете, что гиперболические повороты (а, значит, и логарифмическая зависимость) естественным образом возникают в арифметике и без закона Вебера-Фехнера.
У нас уже было первоначальное обсуждение этой идеи:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 38&page=16
(постинг 157 от 04.03.2015 на указанной странице и далее)

Нам будет нетрудно перевести на язык "геометрической алгебры" нужные фрагменты статьи Делоне, взяв за исходный пункт замечание Б. Л. ван дер Вардена:
Повсюду в греческой математике встречаются многочисленные применения этой алгебры. Ход мысли всегда алгебраический, формулировка -- геометрическая. На этом методе основывается ... вся теория конических сечений целиком. В 4-м веке до н. э. Теэтет, а в 3-м веке до н. э. Архимед и Аполлоний были истинными виртуозами по этой части.
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html

-- Вс мар 27, 2016 15:13:27 --

Свободный Художник в сообщении #1071151 писал(а):
Вам, конечно, известно, что теоретическая арифметика в значительной степени и создавалась для моделирования музыкально-теоретических конструкций. Поэтому следует с уважением относиться к высказыванию любимого Вами Римана:
Следует ли поэтому начинать историю музыки только с Рождества Христова? Нет, тогда была бы пропущена эпоха, из которой мы хотя и не имеем ни одной мелодии, но имеем зато известное число теоретических сочинений, по которым можно составить понятие о высоком состоянии музыкального искусства в те времена. Такова эпоха процветания древней Греции, в ней коренится вся музыка средних веков, а музыкальная теория древних греков составляет и в настоящее время основу научного определения нашего искусства.
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/00.html

-- Сб ноя 07, 2015 23:25:02 --

В особенности продумайте объяснение (по Д. Д. Мордухай-Болтовскому) появления геометрического среднего в античной арифметике:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html
а также попытайтесь увидеть эту конструкцию в придуманной мною процедуре:
Свободный Художник в сообщении #1069991 писал(а):
Когда я в юности писал свою статью об одном методе вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html
то точно не вдохновлялся законом Вебера-Фехнера. А вот на плоскости Минковского эта процедура проинтерпретирована быть может.

и в определении расстояния между двумя точками на плоскости Минковского (по И. М. Яглому):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/4.html

В отрывке из Яглома по последней приведенной ссылке содержится идея взаимно-однозначного соответствия между множеством отрезков, не параллельных осям координат (у Яглома на рисунках они представлены отрезком $AB$, который мы будем рассматривать как направленный отрезок с началом $A$ и концом $B$) и множеством определенных прямоугольников (у Яглома на рисунках представлены прямоугольником $AKBL$). Значит, мы можем попробовать заменить рассмотрение таких отрезков рассмотрением соответствующих им прямоугольников.

-- Вс мар 27, 2016 15:26:56 --

При этом нам будет полезно определение "вектора" как некоторого класса эквивалентных между собой направленных отрезков примерно в духе 2-го определения у Любецкого:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/8/1.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение27.03.2016, 19:38 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
Свободный Художник в сообщении #1106005 писал(а):
Давайте поищем связи между алгебраическими рассмотрениями, приводимыми у Арнольда в связи с упомянутой таблицей, и "геометрической алгеброй": http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/6.html
Сейчас мне представляется более приоритетным поиск разумного сочетания сонантометрии с привычной для западной музтеории нотной графикой, арифметикой рациональных чисел (пользующихся популярностью у исследователей чёткой интонации) и обобщающей любую математику алгеброй множеств.

Безуспешно пытаюсь найти побольше о
только бинарная и кватенарная комбинация ощущения (Lombroso)
Заинтригован, поскольку в последние пару лет осваиваю постепенно складывающийся способ анализа вертикалей гармонического четырёхголосия разложением на две пары созвуков, одна из которых рассматривается как унтерсвязанная через пересечение на фонике, а вторая — как оберсвязанная через объединение на тонике. Не уверен, что кто-то ещё пробовал или пробует такую же формализацию, но намёки на неё мне видны и у Римана и у Оголевца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение30.03.2016, 22:43 


20/03/08
421
Минск
К сожалению, обертональные теории (не говоря уже об обертонально - унтертональных) не проходят испытание "феноменом дорийского лада (модуса)". На это обстоятельство особенно упирал Оголевец в своей критике:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/59.html
Свободный Художник в сообщении #1102945 писал(а):
Честно говоря, для меня интерес к упомянутому Вами вопросу начался с рисунков из книги Ю. Н. Холопова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/14/8/5.html
и с приведенного там замечания о связях этой концепции с построениями Оголевца. С размышлениями последнего о дорийском ладе можно ознакомиться здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/5.html

-- Вс фев 28, 2016 23:50:27 --

Интересно, что Modern Dorian Mode иногда называют "русским минором":
https://en.wikipedia.org/wiki/Dorian_mode

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение31.03.2016, 08:45 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
Свободный Художник в сообщении #1110629 писал(а):
К сожалению, обертональные теории (не говоря уже об обертонально - унтертональных) не проходят испытание "феноменом дорийского лада (модуса)"
Как раз именно обер/унтер теории проходят испытание дорийским ладом в его наивном пифагорейском построении:

три оберчётких чистых квинты вправо, т.е. вверх, и три унтерчётких чистых квинты влево, т.е. вниз, от центра в ноте $d$.

В обер/унтерквинтовых полуцепях с центром $d$ нет четвёртой чётко чистой квинты, порождающей скандально известный из-за выдающейся неблагозвучности дитон (пифагорейскую большую терцию), потому и оказался дорийский лад в почёте у средневековых примитивистов.

Дорийский лад, между прочим, единственный из диатонических, где нет высот на рассточнии четвёртой чётко чистой квинты вверх или вниз от тоники, а третья чётко чистая квинта (пифагорейская малая терция), будучи 27-м обер/унтертоном, не столь отвратительна для слуха как дитон (81-й обер/унтертон).
commator в сообщении #1103314 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #1102945 писал(а):
для меня интерес к упомянутому Вами вопросу начался с рисунков из книги Ю. Н. Холопова: http://www.px-pict.com/7/3/2/5/14/8/5.html
Изображение
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение31.03.2016, 22:21 


20/03/08
421
Минск
Все же для дальнейшей дискуссии нам нужно уточнить значения термина "mode".
Powers H. Mode. The New Grove Dictionary of Music and Musicians, 1980.
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/3/1.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение01.04.2016, 07:27 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
Свободный Художник в сообщении #1110934 писал(а):
нам нужно уточнить значения термина "mode"
Сразу вспомнилось:
Vosok в Сети писал(а):
нечем крыть — так крой ладом

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение01.04.2016, 08:51 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
commator в сообщении #1110761 писал(а):
обер/унтер теории проходят испытание дорийским ладом в его наивном пифагорейском построении:

три оберчётких чистых квинты вправо, т.е. вверх, и три унтерчётких чистых квинты влево, т.е. вниз, от центра в ноте $d$.
Дорийский лад в продвинутом построении, например дидимейском (ЧИП5), может иметь версии. Вот одна из них, индийского толка, в сопоставлении с чистоквинтовым пифагорейским (ЧИП3) построением, единственно возможным:

$\begin{matrix}
Ga & Ni & Ma & Sa & Pa & Ri & Dha\\
\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow\\
f & c & g & d & a & e & h\\
16/27 & 8/9 & 2/3 & 1 & 3/2 & 9/8 & 27/16\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
32/27 & 16/9 & 4/3 & [1/1] & 3/2 & 10/9 & 5/3
\end{matrix}$
commator в сообщении #1103314 писал(а):
<...>

Изображение
<...>
Datta & Others 2006 писал(а):
Хотя древние трактаты не раскрывают ничего о действительном размере суар, некоторые интервальные соотношения могут быть построены с помощью подсказок в Натьяшастре. Например Бхарата говорил о консонантных интервалах девяти и тринадцати шрути. Мы знаем, что наиболее консонантные интервалы 4/3 и 3/2. Рассмотрим 4/3 как девять-шрути интервал и 3/2 как тринадцать-шрути интервалы. Отмечая распределение шрути 3, 2, 4, 4, 3, 2 и 4 для суар Sa, Ri, Ga, Ma, Pa, Dha и Ni соответственно некоторые разумные соотношения интервалов могут быть получены для всех нот, кроме Ri и Dha (рис1). Дадим, Ma и Pa быть 4/3 и 3/2 соответственно. Тогда, как Ni есть девять-шрути интервал от Ma его соотношение будет 16/9. Тогда Ga будет половина 16/9 х 4/3, т.е. 32/27. Очевидно также, что четыре-шрути интервал составит 3/2 ÷ 4/3 = 9/8. Ri будучи только 3 шрути вверх от Sa мы имеем предположить подходящим консонантным соотношением менее чем 9/8 для три-шрути интервала. 10/9 есть такое соотношение, что есть около 22 центов ниже 9/8. Если мы возьмем Ri быть 10/9, то Dha становится 10/9 х 3/2 = 5/3.

(English)

Though the ancient treatises do not reveal anything about the objective measure of swaras, some interval ratios can be built up using the hints in Nātyashāstra. For example Bharata has talked about consonant intervals of nine and thirteen shrutis. We know that most consonant intervals are 4/3 and 3/2. Let us consider 4/3 as a nine-shruti interval and 3/2 as the thirteen-shruti intervals. Noting the shruti distribution 3, 2, 4, 4, 3, 2 and 4 for swaras Sa, Ri, Ga, Ma, Pa, Dha and Ni respectively some reasonable ratio intervals may be derived for all notes except Ri and Dha (fig1). Let us assume Ma and Pa to be 4/3 and 3/2 respectively. Then as Ni is nine-shruti interval from Ma its ratio would be 16/9. Then Ga would be half of 16/9 x 4/3 i.e., 32/27. It is also obvious that a four-shruti interval would be 3/2 ÷ 4/3 = 9/8. Ri being only 3 shruti up from Sa we have to assume a suitable consonant ratio less than 9/8 for a three-shruti interval. 10/9 is such a ratio, which is about 22 cents below 9/8. If we take Ri to be 10/9 then Dha becomes 10/9 x 3/2 = 5/3.
Изображение Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение02.04.2016, 17:54 


04/03/15
532
Lugansk, Ukraine
commator в сообщении #1110994 писал(а):
Дорийский лад в продвинутом построении, например дидимейском (ЧИП5), может иметь версии. Вот одна из них, индийского толка, в сопоставлении с чистоквинтовым пифагорейским (ЧИП3) построением, единственно возможным:

$\begin{matrix}
Ga & Ni & Ma & Sa & Pa & Ri & Dha\\
\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow\\
f & c & g & d & a & e & h\\
16/27 & 8/9 & 2/3 & 1 & 3/2 & 9/8 & 27/16\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
32/27 & 16/9 & 4/3 & [1/1] & 3/2 & 10/9 & 5/3
\end{matrix}$
Для практического MIDI моделирования нужны уточнения и сопоставление с равномерно темперированным (12РДО) построением.

$\begin{matrix}
-2100\cent= & -1400\cent= & -700\cent= & \pm0\cent= & +700\cent= & +1400\cent= & +2100\cent=\\
=$2F:$ & =$3C:$ & =$3G:$ &  =$4D:$ & =$4A:$ & =$5E:$ & =$5B:$\\
$:[$2^-^(^2^1^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^-^(^7^/^1^2^)$]$ &  $:[$2^\pm^(^0^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^7^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^1^4^/^1^2^)$]$ & $:[$2^+^(^2^1^/^1^2^)$]$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-2106\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1404\cent= & +2106\cent=\\
=\chi,\theta$-$F$:$ & =\chi,\theta$-$c$:$ & =\chi,\theta$-$g$:$ &  =\chi,\theta 1d$:$ & =\chi,\theta 1a$:$ & =\chi,\theta 2e$:$ & =\chi,\theta 2b$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ &  $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2D[9/4]2t$ & $:3D[27/8]3t$\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
-1906\cent= & -1404\cent= & -702\cent= & \pm0\cent= & +702\cent= & +1382\cent= & +2084\cent=\\
=\chi,\theta$-$''Ga$:$ & =\chi,\theta$-$'Ni$:$ & =\chi,\theta$-$'Ma$:$ &  =\chi,\theta Sa$:$ & =\chi,\theta Pa$:$ & =i\Delta,\theta Ri'$:$ & =i\Delta,\theta Dha'$:$\\
$:3T[8/27]3d$ & $:2T[4/9]2d$ & $:T[2/3]d$ &  $:$\varnothing$[1/1]$_\varnothing & $:D[3/2]t$ & $:2TM[20/9]2d$ & $:TM[10/3]d$\\
\end{matrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.
Сообщение05.04.2016, 15:33 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #1109524 писал(а):
В отрывке из Яглома по последней приведенной ссылке содержится идея взаимно-однозначного соответствия между множеством отрезков, не параллельных осям координат (у Яглома на рисунках они представлены отрезком $AB$, который мы будем рассматривать как направленный отрезок с началом $A$ и концом $B$) и множеством определенных прямоугольников (у Яглома на рисунках представлены прямоугольником $AKBL$). Значит, мы можем попробовать заменить рассмотрение таких отрезков рассмотрением соответствующих им прямоугольников.

В конце концов нас будет интересовать "обратная задача", о которой пишет Артин:
http://www.px-pict.com/10/3/4/16/2.html
(только вместо точек и прямых мы попробуем аксиоматизировать "мир прямоугольников")
Пока же в качестве "аналитических двойников" для прямоугольников выберем некоторые упорядоченные пары, элементы которых сами являются упорядоченными парами некоторых вещественных чисел.
Свободный Художник в сообщении #1109524 писал(а):
При этом нам будет полезно определение "вектора" как некоторого класса эквивалентных между собой направленных отрезков примерно в духе 2-го определения у Любецкого:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/8/1.html

Значит, исходим из множества $\mathbb R$ всех вещественных чисел, которые, как указывает П. С. Александров, "читатель должен хорошо знать":
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/1a.html
Поскольку отрицательные вещественные числа неспецифичны для муз. теории, сужаем это множество до множества $\mathbb R_{\ge 0}$ всех неотрицательных вещественных чисел. Таким образом, точкам первого квадранта плоскости $OXY$, о которой пишет Яглом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/4.html
(и который мы только и будем рассматривать) будут сопоставлены упорядоченные пары $<r, s>$ неотрицательных вещественных чисел (т. е., элементы множества $\mathbb R_{\ge 0} \times \mathbb R_{\ge 0} = \mathbb R_{\ge 0}^2$).

-- Вт апр 05, 2016 16:57:16 --

Теперь мы можем определить множество $\mathbb D$ "аналитических двойников" нужных нам прямоугольников (или поставленных им во взаимно-однозначное соответствие направленных отрезков $AB$) следующим образом:
для любых положительных вещественных чисел $r_1$, $s_1$, $r_2$, $s_2$,
$<<r_1, s_1>, <r_2, s_2>> \in \mathbb D \quad iff \quad (r_1 < r_2) \& (s_1 < s_2)$,
где $<$ есть отношение "строго меньше" на множестве вещественных чисел.
Интуитивно: точке $A$ направленного отрезка $AB$ сопоставляется пара $<r_1, s_1>$, а точке $B$ сопоставляется пара $<r_2, s_2>$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 810 ]  На страницу Пред.  1 ... 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 ... 54  След.

Модераторы: Jnrty, Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group