Игральные карты в задачах теорвера

[Shtorm]

Aritaborian в сообщении #894628 писал(а):

Не-а Можно использовать любые face-transitive polyhedra. А их много разных.

Александрович в сообщении #894629 писал(а):

Ложно. Вам нарисовать кость с вероятностью выпадения каждой грани 1/7?

AV_77 в сообщении #894636 писал(а):

Пожалуй, подойдет что-то типа заточенного с двух сторон карандаша с $n$-угольником в сечении.

AV_77 в сообщении #894646 писал(а):

Типа того. Длинная призма с приставленными маленькими пирамидками или конусами, чтобы она всегда на боковую грань призмы падала.

Убедили Я был не прав.

Munin в сообщении #894649 писал(а):

Предлагаю радикальный вариант: распилить шахматную доску на отдельные клеточки, и вытаскивать их из мешка (из урны) А после вытаскивания, и запоминания что вытащено, склеить обратно.

Ну, это если чисто теоретически рассуждать. А вот если практически использовать, то весьма неэкономично. Сначала надо разрезать, потом склеить. Потом опять. Мало того, ведь на реальной шахматной доске каждая клеточка не подписана. Буквы идут внизу доски по горизонтали, а цифры по вертикали. А с шариками удобно, никакой лишней работы делать не нужно. Мало того, отодрав наклейки с шариков с обозначениями a1,a2,a3,....h8 можно использовать шарики в других задачах ТВ и МС и в бильярде

Александрович в сообщении #894673 писал(а):

А вы как-то по другому называете пирамиду с 5-ю гранями?

Определение
Назовём выпуклый многогранник с 5-ю плоскими гранями пентаэдром.
При этом не забываем, что пентаэдр не может быть правильным многогранником.

[druggist]

Munin в сообщении #894714 писал(а):

Вы убедитесь, что не 2, а 1.

Давайте на время оставим выборки. В конце концов комбинаторику, позволяющую получить число различных микросостояний можно вывести и из других наглядных представлений. Рассмотрим, например, два множества содержащих n и M элементов соответственно, пусть n - это, условно говоря, частицы, а M - условно говоря, корзинки. Рассмотрим что-то вроде двудольного графа(так, кажется это называется)? из каждой из n вершин множества частиц выходит одно ребро, заканчивающееся на одной из M вершин, причем в каждую из M вершин множества корзинок может входить произвольное кол-во ребер - от 0 до n, но разумеется так, чтобы общее число ребер было n. Вопрос, сколько таких различных размещений n частиц по M ячейкам(корзинкам) может быть, зависит от того, различимы ли как частицы так и ячейки. Вариант1- перенумерованы и частицы и ячейки - это статистика Максвелла - Больцмана, вариант2 -перенумерованы только ячейки - это статистика Бозе-Эйнштейна, вариант3 - неразличимы(нельзя перенумеровать) как частицы так и ячейки(именно этот вариант я и предлагаю рассмотреть). Имеется и вариант4 - перенумерованы частицы и неразличимы корзинки.
Теперь кнкретно случай n=3, M=3.
Вариант3
1- в одной ячейке 3 частицы в двух других пусто
2- во всех ячейках по частице
3- в одной ячейке две частицы в другой -одна, в третьей -пусто
Всего имеется три различных способа размещений. Для М=3 и n=2 их будет 2 - (в одной ячейке 2 частицы в остальных -пусто) +(в двух ячейках по частице, в третьей -пусто)

[Shtorm]

Александрович в сообщении #894655 писал(а):

Берём далее тетраэдр и 5-тигранную пирамиду. Вероятность выпадания каждой грани 1/7. Тут главное чтобы центры тяжести обеих (или обоих?) фигур находились на одинаковом расстоянии от места склейки. Ну и т.д.

Aritaborian в сообщении #894671 писал(а):

Правильные тетраэдр и пирамиду с квадратным основанием, так? И склеить их треугольными гранями, да? Получим некий выпуклый многогранник, имеющий шесть треугольных граней и одну квадратную.
Увы, не получим.

И соответственно, никаких равных вероятностей.

[Munin]

Shtorm в сообщении #894720 писал(а):

Мало того, ведь на реальной шахматной доске каждая клеточка не подписана.

Ну, подписать, делов-то. Можно даже с обратной стороны :-) А бильярд - это да! Слабо придумать задачу по теорверу про бильярд? :-)

druggist в сообщении #894721 писал(а):

В конце концов комбинаторику, позволяющую получить число различных микросостояний можно вывести и из других наглядных представлений.

Фишка в том, что не любая комбинаторика соответствует разумной симметрии волновых функций. Для Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака - соответствует. Для Максвелла-Больцмана - как ни странно, тоже.

druggist в сообщении #894721 писал(а):

Рассмотрим, например, два множества содержащих n и M элементов соответственно, пусть n - это, условно говоря, частицы, а M - условно говоря, корзинки. Рассмотрим что-то вроде двудольного графа(так, кажется это называется)? из каждой из n вершин множества частиц выходит одно ребро, заканчивающееся на одной из M вершин, причем в каждую из M вершин множества корзинок может входить произвольное кол-во ребер - от 0 до n, но разумеется так, чтобы общее число ребер было n. Вопрос, сколько таких различных размещений n частиц по M ячейкам(корзинкам) может быть, зависит от того, различимы ли как частицы так и ячейки.

Вот теперь получилось нечто содержательное, а не то, что раньше. Да, вопрос хороший.

Но я уверен, что с неразличимыми ячейками вы квантовую механику построить не сможете. Квантовая механика основана именно на различимости состояний: даже когда уровни энергии вырождены, есть другие квантовые числа, различающие состояния.

А число размещений, которое вас интересует ("вариант3"), даётся числом разбиений (https://ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа). Общей формулы для него нет, есть только рекуррентная.

"Вариант4" - навскидку не скажу.

[druggist]

Munin в сообщении #894737 писал(а):

А число размещений, которое вас интересует ("вариант3"), даётся числом разбиений (https://ru.wikipedia.org/wiki/Разбиение_числа). Общей формулы для него нет, есть только рекуррентная.

Спасибо за ссылку, это действительно очень близко к тому что я имею в виду, но не совсем. Для $M \geqslant n$ это число разбиений $p(n)$ ($p(2)=2, p(3)=3$) А вот для $M<n$,т.е., когда число ячеек меньше числа частиц, очевидно, что число размещений по вар.3 будет меньше $p(n) $, т.к. не войдут разбиения с числом слагаемых больше $M$

[Shtorm]

Munin в сообщении #894467 писал(а):

А вот кони-то, кони как?

Ничего другого в голову не приходит как просто тупо вручную посчитать количество возможностей. А Вы как думаете?

Munin в сообщении #894737 писал(а):

А бильярд - это да! Слабо придумать задачу по теорверу про бильярд?

Это что-то типа того, с какой вероятностью шар, двигающийся со скоростью такой-то и ударивший другой шар под углом таким-то, после отскока ударит в шар такой-то расположенный там-то?

[Munin]

Shtorm в сообщении #894771 писал(а):

Ничего другого в голову не приходит как просто тупо вручную посчитать количество возможностей. А Вы как думаете?

А почему бы и нет? Но перед тем, как "тупо считать", можно немножко и поклассифицировать. А вообще, задачи о конях - благородное поле комбинаторики, например, задача об обходах доски ходом коня - кажется, число обходов ещё не вычислено?

Shtorm в сообщении #894771 писал(а):

Это что-то типа того, с какой вероятностью шар, двигающийся со скоростью такой-то и ударивший другой шар под углом таким-то, после отскока ударит в шар такой-то расположенный там-то? :-)

Ну вы сразу за что-то сложное хватаетесь :-) Я думал, вы подумаете о раскладках шаров по лузам. Но конечно, самое интересное в бильярде - это геометрические вероятности.

Ну например.
Рассмотрим бильярдный стол без луз, шары движутся по прямой, с постоянной скоростью, отражаются от бортов по закону "угол падения равен углу отражения" и без потери скорости. Диаметр шара $\sigma/2,$ размеры стола $(K+\sigma/2)\times(L+\sigma/2).$ Если два шара только касаются друг друга, считается, что они не столкнулись.
I. Неподвижная мишень.
Шар $A$ неподвижно стоит в произвольном месте стола. Шар $B$ начинает движение из произвольного места стола с произвольным вектором скорости. Какова вероятность, что $B$ никогда не столкнётся с $A$?
II. Движущаяся мишень.
Шар $A$ начинает движение из произвольного места стола с произвольным вектором скорости. Тот же вопрос.
Разминочный вопрос.
Условия как в I, но начальная скорость шара $B$ параллельна стороне стола $(K+\sigma/2).$

[Shtorm]

Первая мысль, которая приходит в голову в пункте I, это - то, что ответ не будет зависеть от величины модуля скорости, если не учитывать силу трения.

[Munin]

Ну, в пункте I и в разминочном вопросе - это похоже на правду. Но вот в пункте II - вряд ли.
Давайте оговорим, что скорость произвольна в диапазоне $(\pm K,\pm L)/T,$ а то я что-то не подумал о форме распределения в бесконечном пространстве скоростей. Извините за запоздалое уточнение.

[Shtorm]

Тогда в разминочном вопросе так?

$$P=1-\dfrac{\sigma}{L+\sigma/2}$$

Munin в сообщении #894802 писал(а):

Ну, в пункте I и в разминочном вопросе - это похоже на правду. Но вот в пункте II - вряд ли.

Я бы даже сказал, что во II пункте вполне конкретно зависит от величины модуля скорости. Ну, а силой трения пренебрегаем?

Munin в сообщении #894802 писал(а):

Давайте оговорим, что скорость произвольна в диапазоне $(\pm K,\pm L)/T,$ а то я что-то не подумал о форме распределения в бесконечном пространстве скоростей

Значит $L$ и $K$ - это линейные размеры стола (приблизительно ), а $T$ константа, но такая константа, чтобы скорость шаров не превышала скорость пули?

[Александрович]

Aritaborian в сообщении #894671 писал(а):

Александрович в сообщении #894655 писал(а):

Берём далее тетраэдр и 5-тигранную пирамиду.

Правильные тетраэдр и пирамиду с квадратным основанием, так? И склеить их треугольными гранями, да? Получим некий выпуклый многогранник, имеющий шесть треугольных граней и одну квадратную.
Увы, не получим.

Пирамида с квадратным основанием приклеивается к любой грани тетраэдра квадратной гранью.
Получим игральную кость с вероятностью падения на любую грань 1/7.

[Aritaborian]

Александрович в сообщении #894830 писал(а):

Пирамида с квадратным основанием приклеивается к любой грани тетраэдра квадратной гранью.

А это вообще уже ни в какие ворота. Квадратной гранью к треугольной? И замотать синей изолентой, чтоб крепче держалось

[Александрович]

Aritaborian в сообщении #894831 писал(а):

Квадратной гранью к треугольной? И замотать синей изолентой, чтоб крепче держалось

Приклеивается плоскость к плоскости. И без изоленты будет крепко держаться.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #894807 писал(а):

Тогда в разминочном вопросе так?

$$P=1-\dfrac{\sigma}{L+\sigma/2}$$

Ай-я-яй! Не додумал! Вот как вроде:

$$P=1-\dfrac{1.5\cdot\sigma}{L+\sigma/2}$$

Munin в сообщении #894789 писал(а):

Если два шара только касаются друг друга, считается, что они не столкнулись.

Вот это такое гранично-тонкое условие. Получается, что если шары задевают друг друга сантиметровым слоем - то ещё столкнулись, если миллиметровым слоем задевают - то тоже столкнулись. А если слоем в 1 ангстрем - то тоже столкнулись . Так что для вычисления мы берём размер вплоть до касания - то есть до одной общей точки между шарами

Александрович в сообщении #894830 писал(а):

Пирамида с квадратным основанием приклеивается к любой грани тетраэдра квадратной гранью.
Получим игральную кость с вероятностью падения на любую грань 1/7.

Получившаяся конструкция не будет являться выпуклым многогранником - ну и пусть. Тут вот что главное: даже если мы сделаем одинаковые площади всех граней, то геометрические размеры граней всё равно будут разными. А будут ли в этом случае вероятности равны?

[Александрович]

Shtorm в сообщении #894836 писал(а):

Получившаяся конструкция не будет являться выпуклым многогранником - ну и пусть. Тут вот что главное: даже если мы сделаем одинаковые площади всех граней, то геометрические размеры граней всё равно будут разными. А будут ли в этом случае вероятности равны?

Это не важно. Главное чтобы центры тяжести двух фигур находились на одинаковом расстоянии от поверхности склейки.