В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[schekn]

Во втором сообщении "Основание физики 2" в 1924 (Избранное, 2 том, стр. 379) Гильберт сформулировал ограничения на допустимые преобразования координат. Ниже я приведу полностью его текст.

Если мы хотим, чтобы координата $x^0$ по смыслу была временем, а остальные $x^1,x^2,x^3$ - пространственными координатами, необходимо выполнения неравенств (31) ( в современной записи интервала все знаки неравенств надо поменять на противоположные).

В этом случае, если 2 события А и В находятся на временной линии в причинной зависимости $x^0(A)<x^0(B)$ , то никакими преобразованиями координат нельзя добиться, чтобы было $x’^0(A)=x’^0(B)$ .
Данные неравенства считаются обязательными в ряде классических работ по ОТО: Фока, Зельманова, Но они полностью игнорируются в учебнике Ландау-Лифшица, и 3-х томнике Мизнер-Торн-Уилер. В современных теориях они обязательны в РТГ А. Логунова и в монографии В. Темчина по ОТО.

У Зельманова они обязательны еще и потому, что он вводит понятие Системы Отсчета и хромоинварианты именно при таком расщеплении (3+1). Так, по его определению, преобразования пространственных координат, не затрагивающих время, оставляют нас в одной СО.
В литературе по ОТО неравенства Гильберта нарушаются сплошь и рядом. 2 примера.

1. Метрика Эддингтона-Финкельштейна.

$ds^2=(1-r_g/r)dV^2-2dVdr-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$

В области $ r<r_g $, которая допускается в данной модели пространства-времени, $g_{00}<0$.

2. Метрика вращающейся вселенной Гёделя.

$ds^2=4a^2(dt^2-dr^2+(\sh^4{r}-\sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}\sh^2{r}d{\varphi}dt^2-dz^2)$


Видно, что при некотором значении r : $\sh^4{r}-\sh^2{r}>0$ угловой член меняет знак и нарушаются неравенства Гильберта. В этом случае возникает замкнутая времениподобная. Частица гипотетически может вернуться в точку с теми же пространственными координатами. Если зафиксировать $t, r, z $, то при этом $ds^2>0$, то есть такая кривая времениподобна.
При этом у сторонников ОТО часто звучит такая фраза: "ничто не запрещает нам использовать любыми допустимыми (гладкими и невырожденными) преобразованиями координат, если это удобно для расчетов". В данном случае имеется в виду математическое удобство. Но, если при этом нарушаются физические законы, насколько они допустимы?
В чем ошибка Гильберта и как формулируется принцип причинности в современной литературе?

Полный текст из Гилберта:

[epros]

schekn, по-моему, Вы слишком всерьез отнеслись к «требованиям» Гильберта. На самом деле, системы координат допустимы любые и никакого отношения к причинности они не имеют. Но если очень хочется, то можно наложить дополнительное требование: чтобы времени-подобная координата была строго одна. Но это только вопрос удобства, связанный с возможностью привязки к телу отсчета.

[schekn]

epros в сообщении #862233 писал(а):

schekn, по-моему, Вы слишком всерьез отнеслись к «требованиям» Гильберта.

Как видите, не только я, но и серьезные теоретики относятся серьезно к данным неравенствам. Темчин вообще заявляет, что функции $g_{\mu\nu}$, которые получаются при решении уравнений Эйнштейна становятся метрическими компонентами только при выполнении данных условий (31).

epros в сообщении #862233 писал(а):

На самом деле, системы координат допустимы любые и никакого отношения к причинности они не имеют

А что тогда понимают под причинностью? Гильберт не зря все таки оговорил данный момент.
Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.
Можете ли Вы быть уверенны, что решения задач в тех областях, где нарушаются данные неравенства, имеет физический смысл?

[epros]

schekn в сообщении #862238 писал(а):

А что тогда понимают под причинностью? Гильберт не зря все таки оговорил данный момент.
Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.
Можете ли Вы быть уверенны, что решения задач в тех областях, где нарушаются данные неравенства, имеет физический смысл?

Ничего иного кроме хронопетель я Вам предложить не могу. Почему Вы их считаете за абсурд — не понимаю. Да, не очень «физичны», но такие решения есть и в рамках ОТО они логически непротиворечивы.

А эти неравенства вообще имеют отношение только к выбору координат, что для «физики процесса» не имеет значения. Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.

[KVV]

Требования Гильберта воспринимаются сейчас как анахронизм. Ведь давно понятно, что необязательно рассматривать задачи в системах координат, где есть одна привычная времениподобная координата. Какая бы ни была СК, инвариантные величины меняться не будут. К примеру, времениподобные интервалы между причинно-связанными событиями будут времениподобными в любой другой СК.

Ключевая фраза написана именно вами:

schekn в сообщении #861620 писал(а):

Если мы хотим, чтобы координата $x^0$ по смыслу была временем, а остальные $x^1,x^2,x^3$ - пространственными координатами

Если мы хотим... Но это необязательно.

schekn в сообщении #862238 писал(а):

Замкнутые времениподобные ("хронопетли") это абсурд. Даже Хокинг, рассматривая модель Гёделя, говорит о нефизическом характере его модели.

В физичности решений ОТО с замкнутыми времениподобными есть сомнения, которые, насколько мне известно, связаны с квантовой механикой. Но принцип причинности здесь не при чем. Хронопетли его не нарушают.

[Nirowulf]

KVV в сообщении #862452 писал(а):

Если мы хотим... Но это необязательно.

Более того, похоже что в общем случае $x^0$ не является "физическим" временем.

schekn в сообщении #861620 писал(а):

как формулируется принцип причинности в современной литературе?

В КТП постулируют, что операторы поля, относящиеся к точкам, разделённым пространственно-подобным интервалом, должны коммутировать. Можно также сформулировать на языке матрицы рассеяния т.н. условие микропричинности Боголюбова.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #861620 писал(а):

В чем ошибка Гильберта и как формулируется принцип причинности в современной литературе?

В каком-то смысле "принцип причинности" есть система условий накладываемых на пространство событий, чтобы в каком-то народно-бытовом смысле оно оказывалось "причинным". В книге Бим, Эрлих: "Глобальная лоренцева геометрия" авторы вводят восемь классов причинности пространства событий (упорядочено по "силе" налагаемых условий): "хронологическое", "причинное", "различающее", "сильно причинное", "устойчиво причинное", "причинно непрерывное", "причинно простое", "глобально гиперболическое".

В каком-то другом смысле "принцип причинности" есть требования накладываемые на систему уравнений теории поля. По-моему, самое сильное требование на систему уравнений теории поля, которое только можно придумать в связи с народно-бытовой "причинностью", заключается в следующем: система уравнений должна допускать задание произвольных начальных данных. Задали произвольные начальные данные в прошлом, далее согласно уравнениям теории поля получили поля в будущем. Будущее завист от прошлого. Прошлое не зависит от будущего (что проявляется в возможности произвольного задания начальных данных без оглядки на то во что поля превратятся в будущем). Это очень сильное требование. В частности, система уравнений ОТО этому требованию не удовлетворяет: в ОТО нельзя задавать начальные данные произвольно. Там допускаются хроноручки возвращающие в прошлое. При допустимости хроноручек возвращающих в прошлое начальные данные задаваемые в прошлом приходится согласовывать с тем, что произойдёт в будущем; то есть не всякое прошлое допустимо, но "известно" об этом становится только в будущем (прошлое "зависит" от будущего).

epros в сообщении #862265 писал(а):

Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.

Ну это Вы очень сильно сказали. В ОТО "очень мало" реализуемых решений. Бедная теория. Если взять наугад какую-нибудь во всех остальных смыслах "хорошую" метрику, то с большой вероятностью окажется, что она не может быть решением уравнений ОТО ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса, в силу требования всюду положительной определённости плотности энергии обычной материи. Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.

[schekn]

Спасибо все за комментарии.

epros в сообщении #862265 писал(а):

Почему Вы их считаете за абсурд — не понимаю

Нарушение причинно-следственных связей это также ужасно, как нарушение законов сохранения энергии.

schekn в сообщении #862238 писал(а):

Можете принять за аксиому, что любая метрика с сигнатурой $(1+, 3-)$ реализуема в рамках ОТО.

Я недавно приводил пример, как Петров А.З. в обычной сферически-симметричной задаче расширил класс допустимых преобразований координат от $C^2$ до $C^1$ и получил странные решения в виде ударных волн, физичность которых вызывает сомнения. Данный пример, конечно, выходит за рамки темы, но показателен. Очень может быть, что все решения с нарушением неравенств Гильберта также нефизические. Все таки Вы не будете отрицать, что времениподобная координата имеет некоторую выделенность по сравнению с пространственными координатами.
Обратите внимание также на последний абзац из Гильберта. Там говорится о теореме Коши, которую Гильберт привязывает к принципу причинности в ОТО. В коректной постановке, если мы знаем потенциалы поля и их производные по времени в некоторый момент времени на гиперповерхности, то мы можем предсказать, что будет с системой в будущем. Корректно задача Коши ставится не во всех системах координат. В некоторых она неоднозначна.
Об этом видимо и говорит SergeyGubanov :

SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):

Задали произвольные начальные данные в прошлом, далее согласно уравнениям теории поля получили поля в будущем.

-- 13.05.2014, 15:36 --

KVV в сообщении #862452 писал(а):

Требования Гильберта воспринимаются сейчас как анахронизм.

Ну категорично можно и утверждать, что и ОТО есть анахрониз, потому что допускает бесчисленное множество нелепых нефизических решений.

KVV в сообщении #862452 писал(а):

К примеру, времениподобные интервалы между причинно-связанными событиями будут времениподобными в любой другой СК.

Гёдель показал в своей модели, что двигаясь по некоторой кривой можно вернуться в ту же пространственную точку, но в прошлое, при этом оставаясь на времениподобной.

Nirowulf в сообщении #862474 писал(а):

КТП постулируют, что операторы поля, относящиеся к точкам, разделённым пространственно-подобным интервалом, должны коммутировать. Можно также сформулировать на языке матрицы рассеяния т.н. условие микропричинности Боголюбова.

Нет, все таки останемся в рамках ОТО. Пенроуз и Хокинг говорят о причинности именно в рамках данной теории.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):

ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса

Свойства ТЭИ не имеют отношения к применимости ОТО.

schekn в сообщении #862662 писал(а):

Нарушение причинно-следственных связей это также ужасно, как нарушение законов сохранения энергии.

Непонятно, каким образом могут нарушиться «причинно-следственные связи» в решении без хронопетель.

schekn в сообщении #862662 писал(а):

расширил класс допустимых преобразований координат

Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.

schekn в сообщении #862662 писал(а):

времениподобная координата имеет некоторую выделенность по сравнению с пространственными координатами

Это не имеет никакого отношения к физической реализуемости решения.

[KVV]

schekn в сообщении #862662 писал(а):

Ну категорично можно и утверждать, что и ОТО есть анахрониз, потому что допускает бесчисленное множество нелепых нефизических решений.

Нельзя так утверждать. Вы очень вольно употребляете слово "анахронизм".

schekn в сообщении #862662 писал(а):

Гёдель показал в своей модели, что двигаясь по некоторой кривой можно вернуться в ту же пространственную точку, но в прошлое, при этом оставаясь на времениподобной.

Да, я в курсе. Еще раз повторю: замкнутые времениподобные не нарушают принцип причинности.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):

Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.

Хорошо бы , если Вы привели бы простой пример для этого утверждения.

epros в сообщении #862862 писал(а):

Непонятно, каким образом могут нарушиться «причинно-следственные связи» в решении без хронопетель.

Ну, например, фронт гравитационной волны или вообще пробное тело движется со скоростью большей фундаментальной.

epros в сообщении #862862 писал(а):

Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.

Здесь мы постоянно ругаемся с Someone. Я пытался это уже объяснить, но несколько неуклюже.
Есть математическое удобство выбора координат. Когда мы уже составили полную систему дифференциальных уравнений, то предположу, что переход к другим координатам в неком классе $C^N$ невырожденными преобразованиями дают некоторое множество решений. Эти решения можно записать обратными преобразованиями в прежних координатах. При этом можно быть уверенным, что мы не потерям и не получим новых решений в той области данных, где эти преобразования допустимы. Пример хорошо известен - переход от прямоугольных координат к сферическим , если вырезать координатно-зависимую точку r=0.
Но в ОТО есть еще и "физическое" удобство, когда выбираются условия связи ( или координатные условия), подстраиваясь под конкретную физическую задачу или под способ измерений наблюдателем. Поскольку понятно, что мы не всесильны и измерительный прибор находится в той СО, где он находится. Так например, в ЛЛ-2 , когда рассматривается коллапс пыли , выбирается сопутствующая система отсчета (синхронные координаты) , в которых ТЭИ принимает диагональный вид, что удобно при решении. Но при этом система дифференциальных уравнений меняется очень заметно по сравнению с со случаем, когда выбираются Шварцшильдовские условия связи.
А условия для получения шварцшильдовского решения выбирается видимо исходя из предположения, что мы можем в астрономических измерениях измерить длину дуги со сколь угодно высокой точностью.

epros в сообщении #862862 писал(а):

Это не имеет никакого отношения к физической реализуемости решения.

Если я с потолка напишу метрику, которая будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна, Вы можете гарантировать , что она соответствует какой либо физической модели поля?

-- 14.05.2014, 10:56 --

KVV в сообщении #863070 писал(а):

Еще раз повторю: замкнутые времениподобные не нарушают принцип причинности.

Тогда хотелось бы новую формулировку этого принципа, которая видимо отличается от того, что предложил Гильберт.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #863112 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):

Большинство наугад взятых "хороших" метрик обладают знакопеременной плотностью энергии, то есть не могут быть решениями ОТО.

Хорошо бы , если Вы привели бы простой пример для этого утверждения.

Например, чёрная дыра живущая в расширяющемся пространстве Эйнштейна - де Ситтера.

Искомая метрика строится следующим образом.

1) Берётся обычная чёрная дыра на фоне пространства Минковского в координатах Пэнлеве:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(1) $$

Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю - это решение принадлежит ОТО.

2) Берётся обычное пространство Эйнштейна - де Ситтера, метрика которого приводится к виду а-ля Пэнлеве (чтоб сечение $t=\operatorname{const}$ было евклидовым как и у чёрной дыры):

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - \frac{2 r}{3 t} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2. \eqno(2) $$

Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю за исключением $G_{00}$:

$$ \frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} = \frac{ c^2 }{ 6 \pi k } \frac{1}{t^2}. $$

Это решение принадлежит ОТО если насыпать нужное количество пыли.

3) Теперь легко построить метрику, которая при малых $r$ переходит в (1), а при больших $r$ переходит в (2):

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - \frac{2 r}{3 t} dt + \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}} dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2, \quad M(t) = \frac{2 R^3}{9 k t^2}. \eqno(3) $$

Все компоненты тензора Эйнштейна равны нулю за исключением $G_{00}$:

$$ \frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} = \frac{ c^2 }{ 6 \pi k } \frac{1}{t^2} \left( 1 - \sqrt{\frac{R^3}{r^3}} \right). $$

Это решение не может принадлежать ОТО так как в области $r < R$ в рамках ОТО требуется некая материя с отрицательной плотностью энергии.

epros в сообщении #862862 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #862593 писал(а):

ни с каким физически реализуемым тензором энергии импульса

Свойства ТЭИ не имеют отношения к применимости ОТО.

Речь была не про применимость ОТО, а про допустимость метрик в рамках ОТО. Метрика может быть во всех отношениях хорошей, но ОТО её может запретить потому, что не существует тензора энергии импульса обычной материи с отрицательной плотностью энергии.

epros в сообщении #862862 писал(а):

schekn в сообщении #862662 писал(а):

расширил класс допустимых преобразований координат

Выбор координат не имеет никакого отношения к физической сути, ибо это всего лишь способ описания.

Там была речь про класс функций. Если компоненты метрики должны принадлежать классу дважды дифференцируемых функций, то допустимы одни решения, а если компонентам метрики разрешается принадлежать классу однократно дифференцируемых функций (непрерывность первой производной не требуется), то количество допустимых решений такой теории резко увеличивается.

[KVV]

schekn в сообщении #863112 писал(а):

Тогда хотелось бы новую формулировку этого принципа, которая видимо отличается от того, что предложил Гильберт.

А разве Гильберт предложил какую-то особенную формулировку принципа причинности?

[SergeyGubanov]

KVV в сообщении #863164 писал(а):

А разве Гильберт предложил какую-то особенную формулировку принципа причинности?

В смысле Гильберта (как и в моём) хронопетли причинность нарушают. А вы говорите что хронопетли причинность не нарушают. Значит вы пользуетесь каким-то более слабым определением причинности чем у меня или у Гильберта.

У Гильберта:

schekn в сообщении #861620 писал(а):

У меня: независимость прошлого от будущего заключена в возможности произвольного задания начальных данных в прошлом без оглядки на будущее. А при возможности возврата в прошлое начальные данные уже не могут быть заданы произвольно. В этом случае начальные данные должны быть согласованы со всей будущей эволюцией включающей и возврат в прошлое.

[epros]

schekn в сообщении #863112 писал(а):

Ну, например, фронт гравитационной волны или вообще пробное тело движется со скоростью большей фундаментальной.

Если сигнатура правильная, значит у каждого события есть конусы будущего и прошлого. Что Вы ещё хотите от ОТО в плане «причинности»? Мало ли что Вы захотите рассматривать в качестве «пробного тела», может солнечный зайчик?

schekn в сообщении #863112 писал(а):

Но в ОТО есть еще и "физическое" удобство, когда выбираются условия связи ( или координатные условия), подстраиваясь под конкретную физическую задачу или под способ измерений наблюдателем. Поскольку понятно, что мы не всесильны и измерительный прибор находится в той СО, где он находится.

Это именно «удобство» и ничего более. Например, мы не можем подобрать такое тело отсчёта, которое сопутствует координатам Эддингтона-Финкельштейна ниже горизонта. Неудобно для проведения измерений, но отнюдь не фатально для существования таких объектов, как чёрные дыры.

schekn в сообщении #863112 писал(а):

Если я с потолка напишу метрику, которая будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна, Вы можете гарантировать , что она соответствует какой либо физической модели поля?

Можете написать вообще любую метрику — лишь бы гладко и правильной сигнатуры. Но я не понимаю, каким именно моделям и каких полей Вы собираетесь соответствовать?

SergeyGubanov в сообщении #863144 писал(а):

Метрика может быть во всех отношениях хорошей, но ОТО её может запретить потому, что не существует тензора энергии импульса обычной материи с отрицательной плотностью энергии.

ОТО не может запретить никакие ТЭИ, ибо все условия на ТЭИ выходят за рамки ОТО. Т.е. то, что плотность энергии какой-то там материи не может быть отрицательной или еще какой-то — это требования каких-то других теорий, а самой ОТО на это совершенно начхать.