Закон сохранения импульса и энергии

[Munin]

Она разве не фиксирована начальными условиями?

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #578390 писал(а):

ewert
решение задачи Неймана, которую Вы пишите, определено с точностью до адитивной постоянной, я думаю, что в ней все и дело

Нет нет ...
Формальная постановка задачи - вариационное неравенство. Если стержни соприкасаются, то скорость "правого" не может быть меньше скорости "левого". При этом напряжения в обоих должны совпадать.
А если стержни "разошлись" - то сразу же условия Неймана (как и указывает ewert).

Oleg Zubelevich писал(а):

А я думаю, что надо как-то иначе ставить краевую задачу для волнового уравнения. Вот например, разве Вы учитываете, что в момент удара все точки стержня, который бьет движутся с одинаковой ненулевой скоростью? Разве из Вашего решения следует, что центр масс стержня по которому ударили переместится за конечное время на конечное расстояние?

Здесь нет никаких проблем. Скорость отдельных элементов стержня моментально станет разрывной, а вот деформации стержня - нет.
Разрывные решения волнового ур-я - не слишком экзотичная вещь, хотя и требуют некоторого внимания при решении.

Насчет введения диссипации. Скорее уж надо бы вводить так называемую вязкоупругость:
$u_{tt} = u_{xx} +\mu u_{xxt}$
Но не для скоростей а для деформации (смещения точек стержня). Трудно сказать к чему это приведет, но я не уверен, что это поможет. Вязкость должна быть малой (иначе трение сожрет всю энергию) но не слишком (иначе волновая часть будет доминирующей). Наверное надо признать, что простое одномерное волновое ур-е неадекватно описывает теорию ударов.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #578390 писал(а):

решение задачи Неймана, которую Вы пишите, определено с точностью до адитивной постоянной, я думаю, что в ней все и дело

Эта у краевой задачи Неймана решение неединственно (если существует). А у начально-краевой -- вполне себе существует и единственно.

-- Ср май 30, 2012 15:12:06 --

sup в сообщении #578406 писал(а):

Наверное надо признать, что простое одномерное волновое ур-е неадекватно описывает теорию ударов.

Да как сказать. Весь вопрос в том, ударов чего. Ниоткуда не следует, что столкновения, скажем, шариков будет качественно выглядеть так же, как и столкновение брусков. А неупругость столкновения брусков -- почему бы ей и не быть?

Вот аналогия, в которой неупругость столкновения очевидна: столкните в лоб гантельку из двух шариков, связанных пружинкой, с третьим таким же шариком.

[master]

Если рассматривать столкновение двух брусков, поперечные связи откидываем, рассматриваем идеальный стержень с продольными связями, нужна функция распределения плотности (линейной), она "пропорциональна" функции распределения жесткости (в идеале).

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #578408 писал(а):

Эта у краевой задачи Неймана решение неединственно (если существует). А у начально-краевой -- вполне себе существует и единственно.

вот и ставьте правильно начально-краевую задачуПеремещение точек стержня, который бьет неподвижный стержень, имеет вид $u(t,x)=ct+w(t,x)$ где $w$ -- решение волнового уравнения, до удара $w=0$. А потом это надо сшить с соответствующим законом перемещения второго стержня, вот мы и получим требуемое

[sup]

Странно это ... Вроде бы вопрос на поверхности, а в учебниках ничего такого не говорится.
Вообще удары это крайне интересная вещь ...
Даже вроде бы простейшая вещь ... удар материальной точки об стенку по действием "гладкой" (как функции от времени) силы.
Одномерная задача. Все бесконечно гладкое, закон сохранения энергии, а единственности нет.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #578416 писал(а):

Даже вроде бы простейшая вещь ... удар материальной точки об стенку по действием "гладкой" (как функции от времени) силы.
Одномерная задача. Все бесконечно гладкое, закон сохранения энергии, а единственности нет.

а можно по-подробней

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #578415 писал(а):

ewert в сообщении #578408 писал(а):

Эта у краевой задачи Неймана решение неединственно (если существует). А у начально-краевой -- вполне себе существует и единственно.

вот и ставьте правильно начально-краевую задачуПеремещение точек стержня, который бьет неподвижный стержень, имеет вид $u(t,x)=ct+w(t,x)$ где $w$ -- решение волнового уравнения, до удара $w=0$. А потом это надо сшить с соответствующим законом перемещения второго стержня, вот мы и получим требуемое

Я так и поступил. Только считал что два стержня разной длины сталкиваются в точке 0 со скоростями $+u$ и $-u$

-- Ср май 30, 2012 17:29:09 --

Насчет неединственности.
Задача:
$y''(t)=f(t)$,
$y(0)=y_0$
$y'(0)=y_1$
$y(t) \geqslant 0$
Последнее неравенство означает наличие стенки. Удар об неё абсолютно упругий. Оказывается, существует бесконечно дифференцируемая функция $f(t)$, такая, что решение этой задачи неединственно.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #578421 писал(а):

Насчет неединственности.
Задача:
$y''(t)=f(t)$,
$y(0)=y_0$
$y'(0)=y_1$
$y(t) \geqslant 0$
Последнее неравенство означает наличие стенки. Удар об неё абсолютно упругий. Оказывается, существует бесконечно дифференцируемая функция $f(t)$, такая, что решение этой задачи неединственно.

наверное правильнее сказать "обобщенное решение". Однако из вариационного принципа Гамильтона получается единственное решение. Так, что тут вопрос как правильно ставить задачу.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #578415 писал(а):

А потом это надо сшить с соответствующим законом перемещения второго стержня, вот мы и получим требуемое

Ничего мы не получим. Не сшивать надо стержни по отдельности, а честно решать систему из двух брусков целиком. Причём выгоднее -- в системе отсчёта, в которой бруски летели навстречу друг другу (выгоднее, т.к. в ней физика нагляднее).

-- Ср май 30, 2012 15:36:16 --

sup в сообщении #578421 писал(а):

Удар об неё абсолютно упругий.

А это что означает -- формально?

[sup]

ewert в сообщении #578424 писал(а):

А это что означает -- формально?

Это означает "сохранение энергии". Формально умножая ур-е на $2y'$ и интегрируя получим
$y'^2(t)=Тотy_1^2+2\int \limits_0^t f(s)y'(s)ds$
В частности отсюда следует, что после удара об стенку скорость частицы меняется на противоположную.

[ewert]

sup в сообщении #578427 писал(а):

отсюда следует, что после удара об стенку скорость частицы меняется на противоположную.

Но ведь это ровно и означает единственность решения.

[sup]

Цитата:

Однако из вариационного принципа Гамильтона получается единственное решение. Так, что тут вопрос как правильно ставить задачу.

Я могу предъявить пример функций $f(t)$ и двух функций $y(t)$, которые удовлетворяют "ур-ю" сохранения энергии. Причем вне стенки выполняется уравнение "свободного" движения.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #578408 писал(а):

Вот аналогия, в которой неупругость столкновения очевидна: столкните в лоб гантельку из двух шариков, связанных пружинкой, с третьим таким же шариком.

я Вам очень советую сначала прочитать статью, которая цитирована в topic58739.html

-- Ср май 30, 2012 14:51:15 --

sup в сообщении #578432 писал(а):

Цитата:

Однако из вариационного принципа Гамильтона получается единственное решение. Так, что тут вопрос как правильно ставить задачу.

Я могу предъявить пример функций $f(t)$ и двух функций $y(t)$, которые удовлетворяют "ур-ю" сохранения энергии. Причем вне стенки выполняется уравнение "свободного" движения.

давайте

[sup]

Чтобы не наводить тень на плетень сразу же скажу, что там бесконечное количество ударов имеет предельную точку.