Пример когда пара взаимно простых с
![$p\#$ $p\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226bdc701e775389f01a775b8b239f0982.png)
чисел не является парой простых близнецов обнаруживается уже в
![$7\#$ $7\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e614fdcfcf685c89e73621fa24710282.png)
:
![$167,169$ $167,169$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/f/8bf265a8cb2214830ebc0b311f66ad5b82.png)
. А в следующем
![$11\#$ $11\#$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/1/931dc79eba85b9832fbb118c3f72a67482.png)
их уже 68 штук, меньшие из которых:
![$167,169;\; 221,223;\; 359,361;\; 377,379;\; 389,391$ $167,169;\; 221,223;\; 359,361;\; 377,379;\; 389,391$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/5/9859a40759f5501931c502eb716833ca82.png)
. Есть даже пары с обоими составными числами:
![$527,529;\; 899,901;\; 1079,1081$ $527,529;\; 899,901;\; 1079,1081$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/5/bf51cb5962d2cc6e302c78788614dce482.png)
и ещё 9 штук. А начиная с
![$17\#$ $17\#$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/1/031d67161c73478c15f03cd4ba1faedf82.png)
количество таких пар, взаимно простых с
![$p\#$ $p\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226bdc701e775389f01a775b8b239f0982.png)
при том что оба числа составные, превышает количество вообще всех простых близнецов в праймориале!
Поясню более подробно "механизм" доказательства.
Составлена формула приблизительного расчета пар простых-близнецов в примориале
![$p_{r}\#$ $p_{r}\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/6423417416f7a35cd274a8516665741c82.png)
, превышающих простое число
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
.
Если развернуть выражение (4), получим (в новых обозначениях):
![$L(p_{r}\#)=\left(p_{r}\#-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+…+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \egno(15)$ $L(p_{r}\#)=\left(p_{r}\#-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+…+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \egno(15)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/9/4e98924d934c6e2b7d7c12e5ac3ccb0c82.png)
Первая скобка в выражении (15) равна количеству пар, взаимно простых данному примориалу, т.е.
![$\varphi_{2}(p_{r}\#)$ $\varphi_{2}(p_{r}\#)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e561f5d7b07d24c5aca4390f44972da82.png)
(достоверное число).
Вторая скобка равна количеству пар, в которых одно из двух чисел кратно простым от
![$p_{r+1}$ $p_{r+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45ec985c6355d6ee6e9f5c792767719f82.png)
до
![$p_{s}$ $p_{s}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de7c1e436e5c81f911ed8f6e8d97c2ae82.png)
(на которые Вы по-видимому указываете в своем сообщении). Эту часть я назвал "недостоверным" числом.
Функция
![$L(p_{r}\#)$ $L(p_{r}\#)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/1/681cf61c237c2f05be081926c4bf5ee082.png)
составлена в расчете на равномерность распределения взаимно простых чисел в примориалах. Но это распределение на самом деле неравномерное, поэтому указанная функция имеет погрешность.
Далее "для чистоты эксперимента" я из числа взаимно простых убрал число, заведомо превышающее "недостоверное" число, а именно:
![$\varphi_{2}(p_{r}\#) - \frac {p_{s}-1}{p_{s}}\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#) = \frac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{s}} \egno (16)$ $\varphi_{2}(p_{r}\#) - \frac {p_{s}-1}{p_{s}}\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#) = \frac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{s}} \egno (16)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/7/ef76d770a16fc14f28f316622f6aaef182.png)
Число в (16) заведомо меньше дробного коэффициента в (6).
Вычитание, произведенное в (16), позволило составить неравенство (12) доказательства:
Таким образом, функция в (16) с точки зрения расчета количества пар простых-близнецов не несет никакой особой смысловой нагрузки (как и пять рублей в оффтопе).
(Оффтоп)
Житейская параллель сказанному:
У меня есть сто монет по рублю, среди которых могут быть и фальшивые, но не более 30-ти.
Зная, что мой капитал наверняка больше пяти рублей, я пошел в магазин и отдал эту кучу за коробок спичек... стоимостью один рубль.