Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[vorvalm]

Батороев
Праймориал $p_r\#$ входит в состав праймориала $ p_s\#$ ?

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1511037 писал(а):

Праймориал $p_r\#$ входит в состав праймориала $ p_s\#$ ?

Для всех достаточно больших $p_r$ — разумеется. Просто потому что $p_s\# \gg p_s^2 \approx p_r\#$. Банально же.

[vorvalm]

Dmitriy40
Хотелось бы послушать "начальника транспортного цеха"

[Батороев]

vorvalm в сообщении #1511037 писал(а):

Батороев
Праймориал $p_r\#$ входит в состав праймориала $ p_s\#$ ?

Кроме первых двух $p_r$, конечно.

[Dmitriy40]

Пытаясь понять вчера и сегодня а что собственно я считал под видом $L_2(p_r\#)$, наткнулся на пробел в рассуждениях Батороева, не ошибку, а именно пропущенное обоснование перехода, точнее метода построения функции $L_2(p_r\#)$. Попытаюсь восполнить этот пробел в меру своего понимания.

При выводе/выдумывании формулы для $L_2(p_r\#)$ опираемся на два факта:
1) функция $\varphi_2(p\#)$ выдаёт количество взаимно простых с $p\#$ пар чисел с разницей в 2 между ними (доказательство метода расчёта этой функции как произведения также отсутствует, хотя возможно имеется где-то в другом месте, но мне для понимания достаточно численного совпадения);
2) оба числа в таких парах до $p^2$ гарантированно простые (это доказывается легко);
и одну гипотезу (недоказанную и очевидно неверную):
3) распределение взаимно простых с $p\#$ пар достаточно равномерно в каждом/любом малом относительно $p\#$ интервале.

Из этих трёх оснований для получения количества простых пар близнецов до $p_s^2 \approx p_r\#$ считаем количество взаимно простых с $p_s\#$ пар, что легко выдаёт $\varphi_2(p_s\#)$, переводим в плотность таких пар беря отношение количества к интервалу $p_s\#$ и домножаем на интересующий нас интервал $p_r\#$. Если бы 3) выполнялось строго для любых $p_r$ и $p_s$, то получили бы точное (с погрешностью типа $\pm 1$) число простых близнецов, но реально получаем число с некоторой бОльшей погрешностью, которую в интервале до $p_r\#=29\#$ я и проверил выше.
Другими словами можно сказать что $L_2(p_r\#)$ пытается оценить количество взаимно простых с $p_r\#$ пар чисел, не превышающих $p_r\#$, оба числа в которых являются гарантированно простыми. Т.е. простых близнецов.

Дополнительным источником ошибок служит пропуск простых близнецов до $p_s$ так как они оказываются не взаимно просты с $p_s\#$ и в общее количество не попадают, что и отмечено автором буквально через строку после (1) с обозначением (3). Т.е. фактически $L_2(p\#)$ считает оценивает количество простых близнецов в интервале $(p_s \approx \sqrt{p\#} \ldots p\#)$.


PS. Надеюсь нигде не накосячил.
PPS. Функция $\varphi_2(p\#)$ (точнее от номера простого) представлена в OEIS: A059861, можно попробовать поискать по ссылкам там её нормальное доказательство. Общеизвестного названия функции там не углядел.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1511049 писал(а):

PPS. Функция $\varphi_2(p\#)$ (точнее от номера простого) представлена в OEIS: A059861
, можно попробовать поискать по ссылкам там её нормальное доказательство. Общеизвестного названия функции там не углядел.

Я тоже скептически отношусь к тому, что хотя и вывел ее когда-то самостоятельно, ее в математике нет. Поэтому свойства мультипликативности обосновывать не стал, хотя это не сложно и ничем не отличается от функции Эйлера.

(Оффтоп)

Я когда-то Малую теорему Ферма "открыл". Проверял окончания в различных системах счисления по своей же "самопальной" методе и увидел потрясающую зависимость. Перерыв множество ссылок в Интернете по системам счисления, на следующий день бросился к известному математику член-корреспонденту (в Академгородке Н-ска их много) с криками "Эврика"! Но мне посоветовали обратить свой взор на ссылки "Остатки". Конфуз вышел полнейший!

-- 25 мар 2021 17:13 --

Хотя, в доказательстве для примориалов мультипликативность присутствует. Для этого надо пошагово сворачивать (4), приводя к общему знаменателю. В оконцовке получите (1).

-- 25 мар 2021 17:54 --

Решил перенести из раздела "Тестирование" одно свое пояснение (немного подправив). Под (14) подразумевается выражение в сообщении от 15.03.21 г., (4) - в рассматриваемом сейчас доказательстве.

Цитата:

Вообще-то (14) и (4), не смотря на свою громоздкость, очень показательно отражают структуру переходов от одного примориала к другому, согласно которому:
1. Предыдущий примориал $p_{i}\#$ "тиражируется" в $p_{i+1}$ раз.
2. Из полученного вычитаются кратные $p_{i+1}$. Количество таких вычитаемых равно $\varphi(i) $ (если используем функцию Эйлера) или удвоенное (если используется $\varphi_{2}(i)$ (2 вычета) ), потому что новые составные создаются исключительно за счет умножения $p_{i+1}$ на взаимно простые из предыдущего примориала (других "кандидатов" нет, т.к. были отсеяны ранее).

[vorvalm]

Батороев в сообщении #1511045 писал(а):

Кроме первых двух $p_r$, конечно.

Конкретно каких ?

[Батороев]

$2\#$, $3\#$
В $5\#$: $p_{r}=p_{s}=5$

[vorvalm]

Замечательно.
Тогда, если $p_r\# $ является составной частью $ p_s\#$, то
в $p_r\# $ все близнецы должны быть простыми.

[Dmitriy40]

vorvalm
Они почти все таковые и есть:

Dmitriy40 в сообщении #1511049 писал(а):

Другими словами можно сказать что $L_2(p_r\#)$ пытается оценить количество взаимно простых с $p_r\#$ пар чисел, не превышающих $p_r\#$, оба числа в которых являются гарантированно простыми. Т.е. простых близнецов.

Дополнительным источником ошибок служит пропуск простых близнецов до $p_s$ так как они оказываются не взаимно просты с $p_s\#$ и в общее количество не попадают, что и отмечено автором буквально через строку после (1) с обозначением (3). Т.е. фактически $L_2(p\#)$ считает оценивает количество простых близнецов в интервале $(p_s \approx \sqrt{p\#} \ldots p\#)$.

[vorvalm]

Dmitriy40
Не почти, но все.

[Батороев]

vorvalm
Чем так не угодила вам моя тема, что постоянно покрываете ее совершенно безсодержательными сообщениями.
Ведь, уже было:

Батороев в сообщении #468857 писал(а):

Ну, что ж, господин "Геросрат", вы достигли того, чего добивались, и я вынужден просить модераторов отправить тему в Пургаторий, т.к. не смотря на то, что в ней хоть и есть отдельные содержательные сообщения, но она ныне покрылась т-а-а-а-а-ким толстенным слоем гов пурги!!!

-- 25 мар 2021 20:46 --

А может вам не нравится этот абзац и хотите, чтобы он "утонул", так я его специально поддерну.

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

Аналогично доказательству бесконечности пар простых-близнецов доказывается и справедливость гипотезы Гольдбаха. Только необходимо ввести новые обозначения:
$2N$ - натуральное четное число.
$p_{u}$ - простое число, примориал которого не превышает $N$, где $u$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел,
$p_{v}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{u}\#$.
$\varphi_{g}$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых, в сумме равных числу $2N$, взаимно простых с $p_v\#$. Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{g} = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{G}_1=1$.
$ G_{p_u\#}$ - количество пар простых чисел, в сумме равных $2N$, на интервале от $N-p_{u}\#$ до $N+p_{u}\#$
Для гипотезы Гольдбаха можно также записать верное неравенство:

$$ G_{p_u\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{G p_u\#}>1 \egno (13)$$

.
Неравенство (13) доказывает, что у любого четного числа $2N$, превышающего $2\cdot 7\#$ на интервале от $N-p_{u}\#$ до $N+p_{u}\#$ всегда найдется пара простых чисел, которые в сумме дадут число $2N$ (гипотеза Гольдбаха).

С заменой в (13) коэффициента $\frac{1}{2}$ на $\frac {1}{p_{u}}$ я и это доказательство выложу. Только устраню "тонкие места" в нынешнем.

[vorvalm]

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

vorvalm
Чем так не угодила вам моя тема, что постоянно покрываете ее совершенно безсодержательными сообщениями.

Я извиняюсь, вы что имеете в виду ?

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

$p_{u}$ - простое число, примориал которого не превышает $N$, где $u$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел,

то есть, $u=p$ ; $p_u=p_p$ , можно было определить как $p_p\#<N$ , тогда $p_v=precprime( \sqrt{p_1\#})$
Для $N=9$ получается $p_u=3$ ; $p_v=2$ ; $2N=18$ ; для $18$ есть две пары простых $18=11+7$ ; и $18=13+5$ ; означит ли это что $\varphi_g(18)=2$ ? и как посчитать $\varphi_g$ для числа $17$ ?

По вашему определению :

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

значение которой равно количеству пар простых, в сумме равных числу $2N$

то $\varphi_g(17)=0$ а не $15$.

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

взаимно простых с $p_v\#$.

то есть, проще, пары простых больших чем $p_v$.

И ещё, пары $\{13;5\}$ и $\{11;7\}$ не являются простыми близнецами в такой комбинации, похоже на своеобразный метод решета, но как отделяются семена от плевел (доказывается существование простых близнецов в заданном диапазоне) пока не понял.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Дык вроде гипотеза Гольдбаха и не про близнецы.
Вы не путаете два похожих, но разных доказательства? Тут бы с первым разобраться, про близнецы ...

-- 26.03.2021, 00:29 --

(UPD. Неправ.)

Soul Friend в сообщении #1511178 писал(а):

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

взаимно простых с $p_v\#$.

то есть, проще, пары простых больших чем $p_v$.

Не совсем: $143=11\cdot13$ взаимно простое с $7\#=210$, но само очевидно не простое, хоть и больше $7$. UPD. Был неправ.