Рассмотрим средние части неравенств, полученных в предыдущем сообщении:
![$$L_{p_{r}\#} = \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} \egno (4)$$ $$L_{p_{r}\#} = \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} \egno (4)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/8796394b1d56b4bbe0d294a8bc780f0d82.png)
,
где
![$K_{p_{r}\#}$ $K_{p_{r}\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/568278dd4aab500f465a76721d1ebf5b82.png)
- примерное количество простых чисел в примориале
![$p_{r}\#$ $p_{r}\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/6423417416f7a35cd274a8516665741c82.png)
, превышающих
![$p_{r}$ $p_{r}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fb75665eeeedb18904b04ef50d76da82.png)
, рассчитанных из
допущения, что составные числа в примориалах расположены равномерно;![$L_{p_{r}\#}$ $L_{p_{r}\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/c/96c5d8ab8d00dc9b120713ff7afd814182.png)
- примерное количество пар простых-близнецов в примориале
![$p_{r}\#$ $p_{r}\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/2/6423417416f7a35cd274a8516665741c82.png)
, превышающих
![$p_{r}$ $p_{r}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fb75665eeeedb18904b04ef50d76da82.png)
, рассчитанных из
допущения, что пары чисел-близнецов, среди которых хотя бы одно число - не простое ("пары составных-близнецов"), в примориалах
расположены равномерно.
Указанное выше допущение ведет к погрешности чисел
![$K_{p_{r}\#}$ $K_{p_{r}\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/568278dd4aab500f465a76721d1ebf5b82.png)
и
![$L_{p_{r}\#}$ $L_{p_{r}\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/c/96c5d8ab8d00dc9b120713ff7afd814182.png)
относительно чисел
![$(\pi_{p_{r}\#}-s)$ $(\pi_{p_{r}\#}-s)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/4/084df9e402a9453afe00af36eb5112fe82.png)
и
![$B_{p_{r}\#}$ $B_{p_{r}\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/7/57779cd0354dad890f7b7a10d63d93d482.png)
(обозначения из предыдущего сообщения).
Перепишем выражения (3) и (4):
![$$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$ $$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/2/6921e28abf210d1d9785fd37306daa0e82.png)
В выражении (5) первый множитель
![$\varphi_{p_{r\#}}$ $\varphi_{p_{r\#}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/6/a962795b8b12bba3e1ee5bd6d17c46cd82.png)
определяет количество чисел, взаимно простых с
![$p_{r\#}$ $p_{r\#}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/5/b6555d766858cb25cb686160086cde3382.png)
. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится
![$\varphi_{p_{r}\#}$ $\varphi_{p_{r}\#}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/b/feb909b1daa289159a70588e8ae3b5c482.png)
с учетом составных чисел, кратных
![$p_{r+1}…p_s$ $p_{r+1}…p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1ba1f6dd6a4ced110de37b41a208c60582.png)
. Число таких составных в связи с неравномерностью их распределения (см. введенное допущение) – не точное («недостоверное число
![$k_r$ $k_r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/6/e064c8d1fb83312182853feb7988e92e82.png)
»).
В выражении (6) первый множитель
![$\varphi_{II p_r\#}$ $\varphi_{II p_r\#}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/9/2290eebd8861d4c8b95b8bac0c8bc9ab82.png)
определяет количество пар натуральных чисел-близнецов, оба из которых взаимно простые c
![$p_{r\#}$ $p_{r\#}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/5/b6555d766858cb25cb686160086cde3382.png)
. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится количество
![$\varphi_{p_{r}\#}$ $\varphi_{p_{r}\#}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/b/feb909b1daa289159a70588e8ae3b5c482.png)
с учетом пар составных-близнецов , кратных
![$p_{r+1}…p_s$ $p_{r+1}…p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1ba1f6dd6a4ced110de37b41a208c60582.png)
. Число таких пар составных-близнецов в связи с их неравномерностью распределения – не точное («недостоверное число
![$l_r$ $l_r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/9/0d97f4b752272b2c27b01feef8a05c9082.png)
»).
Приведу примеры:
Для примориала
![$7\#$ $7\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e614fdcfcf685c89e73621fa24710282.png)
число, квадрат которого не превышает примориал :
![$p_s=13$ $p_s=13$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/0/8407a0c53c78a118c84c1be76e098a8282.png)
.
![$$ k_{7\#}=15\cdot \dfrac {1485 \cdot 210}{15 \cdot 30030}= 10,3846 \egno (8)$$ $$ k_{7\#}=15\cdot \dfrac {1485 \cdot 210}{15 \cdot 30030}= 10,3846 \egno (8)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86ed8353497d93e926b325b84067723582.png)
На «недостоверные» числа приходится:
![$l_r=\varphi_{II 7\#} - K_{p_{r}\#}=15-10,3846=4,6154 \egno (10)$ $l_r=\varphi_{II 7\#} - K_{p_{r}\#}=15-10,3846=4,6154 \egno (10)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/0/3b0886f2c48d0d9108853c5999b75d4882.png)
Из выражений (9) и (10) видно, что для примориала
![$7\#$ $7\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e614fdcfcf685c89e73621fa24710282.png)
отношения «недостоверных» к «достоверным» соответственно равны:
![$ \dfrac {7,7203}{48}=0,1608$ $ \dfrac {7,7203}{48}=0,1608$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/f/f2fb31dbf5c9c99ea9d830aa1d81878c82.png)
и
![$\dfrac {4,6154}{15}=0,3077$ $\dfrac {4,6154}{15}=0,3077$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84da39cf092e38de0f1ee22d93a9cdc982.png)
. И эти отношения с ростом примориалов
![$p_r\#$ $p_r\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/0/af06f55c0c99a1d270ec9464eeda56e782.png)
будут только уменьшаться (доказательство не сложное и, если потребуется, могу предоставить позже). Т.к. доля «недостоверных» чисел меньше половины «достоверных», то можно записать верные неравенства:
![$$ \pi_{p_{r}\#}-s>\dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{p_r\#}>1 \egno (11)$$ $$ \pi_{p_{r}\#}-s>\dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{p_r\#}>1 \egno (11)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/d/22d2fffd42bf254e50e600f61fa650a382.png)
![$$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$ $$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/d/08dc418419b2a36461c321a53b684cd982.png)
(т.к. мы удалили из выражений (5), (6) половину «достоверных», что превышает количество «недостоверных»).
Неравенство (11) доказывает
бесконечность простых чисел, превышающих
![$7\#$ $7\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e614fdcfcf685c89e73621fa24710282.png)
(сколько бы ни было до
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
простых чисел, в примориале
![$p_r\#$ $p_r\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/0/af06f55c0c99a1d270ec9464eeda56e782.png)
всегда найдется еще одно простое число, превышающее
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
).
Неравенство (12) доказывает
бесконечность пар простых-близнецов в примориалах, превышающих
![$7\#$ $7\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/e/77e614fdcfcf685c89e73621fa24710282.png)
(сколько бы ни было пар простых-близнецов до
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
, в примориале
![$p_r\#$ $p_r\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/0/af06f55c0c99a1d270ec9464eeda56e782.png)
всегда найдется еще одна пара простых-близнецов, превышающая
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
).
Аналогично доказательству бесконечности пар простых-близнецов доказывается и справедливость гипотезы Гольдбаха. Только необходимо ввести новые обозначения:
![$2N$ $2N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca31faf7d230da21fa1a1b536ac8e0e382.png)
- натуральное четное число.
![$p_{u}$ $p_{u}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/3/b333a881e1fc31b27ecd196fff08d35582.png)
- простое число, примориал которого не превышает
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
, где
![$u$ $u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/b/6dbb78540bd76da3f1625782d42d6d1682.png)
– порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел,
![$p_{v}$ $p_{v}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/b/fdb5f8b8bcfccb58b4a5af975c836a2182.png)
- наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит
![$p_{u}\#$ $p_{u}\#$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/1/5f1f0c1152d07cc5e46604ee9187a62582.png)
.
![$\varphi_{g}$ $\varphi_{g}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/b/f5b7b71fd38e8f09ee5aeb0545c20ca282.png)
- мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых, в сумме равных числу
![$2N$ $2N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca31faf7d230da21fa1a1b536ac8e0e382.png)
, взаимно простых с
![$p_v\#$ $p_v\#$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/4/0145595fde6e50e619378d28120db53882.png)
. Для каждого простого числа
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
функция
![$\varphi_{g} = p-2$ $\varphi_{g} = p-2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/e/b4ebcd1d1e5e2ede805c61583fac460782.png)
, кроме простого числа
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, для которого
![$\varphi_{G}_1=1$ $\varphi_{G}_1=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/9/9e943dd7a4fc6a5bfdf9d6a97efe2dfb82.png)
.
![$ G_{p_u\#}$ $ G_{p_u\#}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/9/9798cc85c144f4bfcee1f6513038ff4482.png)
- количество пар простых чисел, в сумме равных
![$2N$ $2N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca31faf7d230da21fa1a1b536ac8e0e382.png)
, на интервале от
![$N-p_{u}\#$ $N-p_{u}\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/f/eef77ddd6d076d6dec71b60a7187e7c582.png)
до
![$N+p_{u}\#$ $N+p_{u}\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/6/3e6da03571d6d3c8a0deb0583c4fce2782.png)
Для гипотезы Гольдбаха можно также записать верное неравенство:
![$$ G_{p_u\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{G p_u\#}>1 \egno (13)$$ $$ G_{p_u\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{G p_u\#}>1 \egno (13)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/1/921be59ec7390edaa4463ffc1694f5cd82.png)
.
Неравенство (13) доказывает, что у любого четного числа
![$2N$ $2N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca31faf7d230da21fa1a1b536ac8e0e382.png)
, превышающего
![$2\cdot 7\#$ $2\cdot 7\#$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1e39bd396c87c7c7f2b81142d6302682.png)
на интервале от
![$N-p_{u}\#$ $N-p_{u}\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/f/eef77ddd6d076d6dec71b60a7187e7c582.png)
до
![$N+p_{u}\#$ $N+p_{u}\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/6/3e6da03571d6d3c8a0deb0583c4fce2782.png)
всегда найдется пара простых чисел, которые в сумме дадут число
![$2N$ $2N$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/3/ca31faf7d230da21fa1a1b536ac8e0e382.png)
(
гипотеза Гольдбаха).