Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[vorvalm]

Dmitriy40
Спасибо конечно, но хотелось бы услышать мнение автора.

[Dmitriy40]

А у него другая математика? Хотя обосновать такой переход тривиально.
Ладно, увидит, ответит.

-- 24.03.2021, 11:58 --

О, оказывается есть точные данные по $\pi_2$ до $47\#$, тогда можно сравнить $L_2$ с $\pi_2$ (безотносительно доказательства выше, просто интересно):
\begin{tabular}{llll} $5\#=30$ & $L_2(p_r\#)=3$ & $\pi_2(p_r\#)=4$ & $L_2/\pi_2=0.75$ \\ $7\#=210$ & $L_2(p_r\#)=10.38462$ & $\pi_2(p_r\#)=15$ & $L_2/\pi_2=0.692308$ \\ $11\#=2310$ & $L_2(p_r\#)=58.91032$ & $\pi_2(p_r\#)=69$ & $L_2/\pi_2=0.853773$ \\ $13\#=30030$ & $L_2(p_r\#)=456.4232$ & $\pi_2(p_r\#)=468$ & $L_2/\pi_2=0.975263$ \\ $17\#=510510$ & $L_2(p_r\#)=4868.269$ & $\pi_2(p_r\#)=4636$ & $L_2/\pi_2=1.050101$ \\ $19\#=9699690$ & $L_2(p_r\#)=62161.78$ & $\pi_2(p_r\#)=57453$ & $L_2/\pi_2=1.081959$ \\ $23\#=2.230929\cdot10^{8}$ & $L_2(p_r\#)=1.003543\cdot10^{6}$ & $\pi_2(p_r\#)=896062$ & $L_2/\pi_2=1.119948$ \\ $29\#=6.469693\cdot10^{9} & $L_2(p_r\#)=2.109543\cdot10^{7}$ & $\pi_2(p_r\#)=1.846371\cdot10^{7}$ & $L_2/\pi_2=1.142534$ \\ $31\#=2.005605\cdot10^{11}$ & $L_2(p_r\#)=4.929027\cdot10^{8}$ & $\pi_2(p_r\#)=4.251778\cdot10^{8}$ & $L_2/\pi_2=1.159286$ \\ $37\#=7.420738\cdot10^{12}$ & $L_2(p_r\#)=1.406584\cdot10^{10}$ & $\pi_2(p_r\#)=1.199765\cdot10^{10}$ & $L_2/\pi_2=1.172383$ \\ $41\#=3.042503\cdot10^{14}$ & $L_2(p_r\#)=4.554406\cdot10^{11}$ & $\pi_2(p_r\#)=3.850889\cdot10^{11}$ & $L_2/\pi_2=1.182690$ \\ $43\#=1.308276\cdot10^{16}$ & $L_2(p_r\#)=1.581569\cdot10^{13}$ & $\pi_2(p_r\#)=1.328032\cdot10^{13}$ & $L_2/\pi_2=1.190911$ \\ $47\#=6.148898\cdot10^{17}$ & $L_2(p_r\#)=6.101673\cdot10^{14}$ & $\pi_2(p_r\#)=5.094567\cdot10^{14}$ & $L_2/\pi_2=1.197682$ \\\end{tabular}

[vorvalm]

Dmitriy40
Надо было бы еще одну колонку с $L_2(p^2_{s})$

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1510755 писал(а):

Dmitriy40
Надо было бы еще одну колонку с $L_2(p^2_{s})$

Не интересно:
$L_2(p_s^2)=L_2(p_r\#)\dfrac{p_s^2}{p_r\#}=L_2(p_r\#)\dfrac{p_r\#-\Delta}{p_r\#}=L_2(p_r\#)(1-\dfrac{\Delta}{p_r\#})$, $\Delta=p_r\#-p_s^2$
А дробь $\Delta/p_r\#$ для $p_r\#=47\#$ равна жалким $1.24\cdot10^{-8} \ll 0.198$.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1510749 писал(а):

О, оказывается есть точные данные по $\pi_2$ до $47\#$, тогда можно сравнить $L_2$ с $\pi_2$ (безотносительно доказательства выше, просто интересно):

$\pi_2$ - 'это количество пар близнецов в праймориале?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1510787 писал(а):

$\pi_2$ - 'это количество пар близнецов в праймориале?

$\pi_2(x)$ это довольно известное обозначение количества пар простых близнецов в интервале $1\ldots x$. И это прямо сказано в названии последовательности по приведённой мною ссылке: "Number of twin prime pairs <= product of first n primes.".
В данном случае $x=p_r\#$.

[Slav-27]

Я почитал! Но без толку вроде бы. По-моему, нам говорят следующее.

Для $n\in\mathbb N$ обозначим $p_n$ $n$-е по порядку простое число.

Зафиксируем $r\in\mathbb N$. Обозначим $s:=\max\{n\in\mathbb N | p_n^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot p_r\}$. Можно проверить, что $s\geqslant r+1$ (если, скажем, $r\geqslant 4$).

Тогда $\dfrac{(p_{r+1}-2)(p_{r+2}-2)...(p_{s}-2)}{p_{r+1}p_{r+2}...p_{s-1}}>1$.

Утверждается, что отсюда следует $\#\{p\in\mathbb N | p\text{ и }p+2\text{ простые}, p_s<p+2<2\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot p_r\}$ $>\dfrac{(3-2)(5-2)...(p_r-2)}{p_s}>1$ (произведение в числителе по простым числам $\geqslant 3$, то есть $(p_2-2)(p_3-2)...(p_r-2)$; знак $\#\{...\}$ у меня означает количество элементов множества $\{...\}$).

Второе неравенство верное, думаю (если $r$ достаточно большое), а вот откуда берётся первое -- совершенно непонятно.

[Батороев]

vorvalm

Dmitriy40 вам все правильно ответил.

-- 24 мар 2021 19:22 --

Dmitriy40
Я такие раскладки давно мечтал получить, просить стеснялся. Спасибо!

-- 24 мар 2021 19:36 --

Slav-27 в сообщении #1510810 писал(а):

Я почитал! Но без толку вроде бы. По-моему, нам говорят следующее.

Для $n\in\mathbb N$ обозначим $p_n$ $n$-е по порядку простое число.

Зафиксируем $r\in\mathbb N$. Обозначим $s:=\max\{n\in\mathbb N | p_n^2<2\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot p_r\}$. Можно проверить, что $s\geqslant r+1$ (если, скажем, $r\geqslant 4$).

Тогда $\dfrac{(p_{r+1}-2)(p_{r+2}-2)...(p_{s}-2)}{p_{r+1}p_{r+2}...p_{s-1}}>1$.

Утверждается, что отсюда следует $\#\{p\in\mathbb N | p\text{ и }p+2\text{ простые}, p_s<p+2<2\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot p_r\}$ $>\dfrac{(3-2)(5-2)...(p_r-2)}{p_s}>1$.

Второе неравенство верное, думаю (если $r$ достаточно большое), а вот откуда берётся первое -- совершенно непонятно.

Если Вы под первым неравенством подразумеваете то, которое находится в доказательстве между (9) и (10), то в его левой части еще есть множитель $\dfrac {p_{s}}{1} $.

Цепочка (9)..(10) - это преобразования одного и того же неравенства.

[Slav-27]

Под первым неравенством я понимаю $\#\{p\in\mathbb N | p\text{ и }p+2\text{ простые}, p_s<p+2<2\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot p_r\}$ $>\dfrac{(3-2)(5-2)...(p_r-2)}{p_s}$, и мне совершенно непонятно, как вы его доказываете.

-- 24.03.2021, 16:42 --

Это первое неравенство в вашем (11), как я понимаю.

[Батороев]

Slav-27

Я понял что Вы имеете в виду.

В доказательстве я эту часть обосновал фразой:

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

Если в выражении (4) из первой скобки вычесть число, заведомо превышающее "недостоверное число", то оставшаяся часть, хотя и станет меньше числа $L_{2}(p_r\#)$, но будет достоверной.

Но думаю, что для строгости доказательства необходимо еще доказательство леммы, что погрешность числа во второй скобке (которое я назвал "недостоверным"):

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$p_{r}\#\cdot \left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+..+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) $

меньше самого этого числа.

[Dmitriy40]

Иллюстрация точности предсказания формулой (4) количества пар простых близнецов не превышающих $p_r\#$, оба числа в которых взаимно просты с $p_r\#$, $s_m=\varphi_2(p_r\#)-L_2(p_r\#)$ это вся правая скобка из (4) (домноженная на $p_r\#$), т.е. количество пар с хотя бы одним не простым числом, $n_2$ точное количество таких не простых пар, ну и их отношение:
\begin{tabular}{llll} $7\#=210$ & $s_m=4.615385$ & $n_2=1$ & $n_2/s_m=0.216667$ \\ $11\#=2310$ & $s_m=76.08968$ & $n_2=68$ & $n_2/s_m=0.893682$ \\ $13\#=30030$ & $s_m=1028.577$ & $n_2=1019$ & $n_2/s_m=0.990689$ \\ $17\#=510510$ & $s_m=17406.73$ & $n_2=17642$ & $n_2/s_m=1.013516$ \\ $19\#=9699690$ & $s_m=316513.2$ & $n_2=321225$ & $n_2/s_m=1.014887$ \\ $23\#=2.230929\cdot10^{8}$ & $s_m=6.948632\cdot10^{6}$ & $n_2=7056116$ & $n_2/s_m=1.015468$ \\ $29\#=6.469693\cdot10^{9}$ & $s_m=1.936133\cdot10^{8}$ & $n_2=1.962450\cdot10^{8}$ & $n_2/s_m=1.013593$ \\ \end{tabular}
Видно что начиная с $13\#$ ошибка не превышает $1.6\%$ и, похоже, не растёт с увеличением $p_r$.

UPD. Т.е. с такой же относительной ошибкой $L_2(p_r\#)$ предсказывает количество пар простых близнецов в интервале $(1\ldots p_r\#)$, каждое из чисел в которых взаимно простое с $p_r\#$ (потому что из общего количества $\varphi_2(p_r\#)$ вычитается количество не простых пар $s_m(p_r\#)$).
Это лишь иллюстрация, частью обсуждаемого доказательства не является.

[Slav-27]

Батороев в сообщении #1510823 писал(а):

В доказательстве я эту часть обосновал фразой

Это не обоснование, а смутная идея (я совершенно не представляю, как сделать из этого доказательство).


Итого: ничего похожего на доказательство бесконечности количества простых чисел-близнецов тут пока нет.

Зато есть гипотеза, что при достаточно больших $r\in\mathbb N$ (обозначения из моего предыдущего поста)

$$0{,}084\leqslant\dfrac{\#\{n\in\mathbb N|n+2\leqslant p_s, n\text{ и }n+2\text{ не простые}\}}{(3-2)(5-2)...(p_r-2)-\dfrac{(3-2)(5-2)...(p_s-2)}{p_{r+1}p_{r+2}...p_s}}\leqslant 1{,}016$$

(произведения с многоточиями -- по последовательным простым числам), и эта гипотеза подтверждается численными расчётами. Вот и ладно.

UPD: нет, с гипотезой пока тоже непонятно (мне), обращайтесь по этому вопросу к Dmitriy40.

[Dmitriy40]

Чисто техническое замечание:

Slav-27 в сообщении #1510836 писал(а):

$$n\text{ и }n+2\text{ не простые}$$

А разе тут не "или" должно быть вместо "и"? Ведь не простым может быть любое из двух чисел, не обязательно оба.

[Slav-27]

Dmitriy40 в сообщении #1510983 писал(а):

А разе тут не "или" должно быть вместо "и"?

Не знаю, это же вы считали. Вы там подредактировали, кажется.

[Dmitriy40]

Slav-27
Я подредактировал не слишком удачные формулировки (без изменения смысла) и $p_s$ на $p_r\#$ в диапазоне (а тут я сам не понял что именно считал, да и сейчас не слишком понимаю).
Но условие в любом случае или "оба простые" или "любое не простое", условия "оба не простые" никогда не было и не должно быть.
Ну и в числителе у Вас никак не учтен факт взаимной простоты обоих чисел в паре с праймориалом $p_r\#$.