Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Тема открыта в развитие вопроса, возникшего в теме "Два натуральных числа взаимно просты".
Вопрос звучал следующим образом:

Батороев в сообщении #447516 писал(а):

Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.
Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

Не получив определенного ответа, попытался в меру своих сил рассмотреть его самостоятельно.

Итак, имеется примориал $p_{i}\#$.
Число чисел, взаимнопростых этому примориалу (далее - взаимнопростых), расположенных на интервале от $1$ до $p_{i}\#$ равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.

Если поделить $\varphi (p_{i}\#)$ на $p_{i-1}\#$, то получим среднее значение количества взаимнопростых чисел, расположенных в пределах примориала $p_{i}\#$ на интервалах, равных $p_{i}$:

$ n_s= \dfrac{\varphi (p_{i}\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac {(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$

Очевидно, что $n_s$ с ростом $i$ монотонно возрастает (и стремится к бесконечности).
Это, что касается средней плотности взаимнопростых чисел.

Что касается равномерности распределения взаимнопростых чисел внутри примориала $p_{i}\#$, то можно выделить два интервала, на которых количество взаимнопростых чисел минимально.
Это интервалы:
1.1. от $1$ до $p_{i}$;
1.2. от $(p_{i}\#-p_{i})$ до $p_{i}\#$
На этих интервалах количество взаимнопростых чисел равно $1$.

Также можно выделить два интервала, на которых количество взаимнопростых максимально.
Это интервалы:
2.1. от $\left(\dfrac{p_{i}\#}{2}-p_{i}\right)$ до $\dfrac{p_{i}\#}{2}$;
2.2. от $\dfrac{p_{i}\#}{2}$ до $\left(\dfrac{p_{i}\#}{2}-p_{i}\right)$.
Природа такого "максимализма" заключается в том, что на этих интервалах числа, кратные простым до $i$, все имеют четные значения (за исключением самого числа $\dfrac{p_{i}\#}{2}$ ).

На остальных интервалах примориала $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел, как мне представляется, более или менее равномерное.


В примориале $p_{i}\#$ можно выделить интервал -
3.1. от $p_{i+1}^2$ до $p_{i+1}\cdot p_{i+2}$,
который превосходит по величине интервал $2p_{i}$ и в границах которого все взаимнопростые числа являются простыми. Данный интервал при $p_i>p_5=11$ не входит в интервалы 1.1 и 1.2. Поэтому по-видимому, с некоторой степенью приближения можно ожидать на этих участках число простых чисел, соизмеримое с $n_s$.

p.s. Интересно, можно ли на основе данных рассуждений строить доказательство бесконечности простых чисел? Ведь, если даже для какого-либо $p_i$ на интервале 3.1. вдруг (!!! ) не окажется взаимнопростых чисел (т.е. простых чисел), то переходя к следующим простым $p_{i+j}$, обязательно прийдем к области, в которой взаимнопростые (а следовательно, простые) будут.

[Побережный Александр]

Уважаемый Батороев!
Аналогичные вопросы я поднимал в своей теме "Табличные формы простых чисел".
Могу сразу сказать, пункты 1.1 и 1.2 не верны. Проверьте на компьютере до первого миллиона.
В пределе фиксированного праймориала простые числа распределены вполне закономерно. На основе этих закономерностей я нашел простое с 30000 десятичных знаков.

[Батороев]

Уважаемый Побережный Александр!

У меня речь идет о распределении не простых чисел, а чисел, взаимнопростых с примориалом. Это не одно и то же.

[maxal]

Батороев в сообщении #450748 писал(а):

Если поделить $\varphi (p_{i}\#)$ на $p_{i-1}\#$, то получим среднее значение количества взаимнопростых чисел, расположенных в пределах примориала $p_{i}\#$ на интервалах, равных $p_{i}$:

$ n_s= \dfrac{\varphi (p_{i}\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac {(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$

Очевидно, что $n_s$ с ростом $i$ монотонно возрастает (и стремится к бесконечности).

Это неверно: $n_s$ с ростом $i$ стемится к нулю.
Дело в том, что есть известное (со времен Эйлера) произведение, связанное с гармоническим рядом:

$$\prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right)^{-1} = \infty$$

См. http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html

А ваше произведение является к нему обратным:

$$\prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right) = 0.$$

[Батороев]

Уважаемый maxal

Вы не обратили внимание на небольшую разницу. Мое произведение выглядит так:

$$(p_{j+1}-1)\cdot \prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right)= \infty.$$

В моих обозначениях: $i=j+1$.

[Батороев]

Подготовил картинку, на которой показано распределение взаимнопростых чисел в натуральном ряду.
Желтым цветом обозначены нулевые остатки по основаниям простых.
Светло-корчневым - взаимнопростые по основанию примориала из тех простых, среди которых распространяются данные линии.
Розовым цветом обозначены нулевые остатки простых чисел, т.е. чисел, взаимнопростых со всеми простыми, непревосходящими $\sqrt n$.

Рис. 1

Картинка в принципе показывает банальные вещи, но нужна для последующего рассмотрения.

[Батороев]

Теперь предлагаю рассмотреть другой ряд, а именно, последовательный ряд чисел $n^2-1$.
Если провести проверку делимости данных чисел на последовательные простые числа, то получим следующий рисунок:


Рис. 2

Чтобы описать то, что видно на рисунке, введем определения:

Число $n$ назовем "взаимнопростым", если $n^2-1$ взаимнопростое по отношению к примориалу $p_j\#$, где $j$ - натуральное число.
Число $n$ назовем "простым", если $n^2-1$ взаимнопростое по отношению к примориалу $p_i\#$, где $p_i$ - наибольшее простое число, непревосходящее $\sqrt n$.
Число, не являющееся "простым", назовем "составным".

Цветовые обозначения на рис. 2 такие же, что и на рис. 1 (естественно, с учетом кавычек).

Из рис. 2 видно, что каждое "простое" число соответствуют паре простых-близнецов. Действительно, если числа $n+1$ и $n-1$ - простые, то их произведение $(n+1)(n-1)=n^2-1$ будет взаимнопростым по отношению ко всем простым, непревосходящим $\sqrt n$.

Введем еще одно понятие:
Количество чисел $n$, не больших натурального числа $s$ и "взаимнопростых" с ним, назовем "функцией Эйлера" $\phi (s)$.

Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$, т.к. числа, имеющие остаток $n \equiv \pm 1\pmod p$, и только эти числа могут иметь остаток $(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_j\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Тогда среднее количество чисел $n$, "взаимнопростых" с примориалом $p_i\#$ и расположенных на интервалах длиной $p_i$, равно:

$b_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$.

(чтобы избежать недоразумений, обращаю внимание на индексы).

После сокращения чисел в числителе и знаменателе, получим выражение, как произведение дробей: $ b_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$, каждая из которых за исключением первой больше единицы. Т.к. число простых чисел бесконечно, то бесконечно и число таких дробей. Следовательно, $b_s$ стремится к бесконечности.

На интервалах длиной $p_i$ на участке от $p_i$ до $p_{i+1}^2$ все числа, "взаимнопростые" с примориалом $p_i\#$, являются "простыми". Количество таких интервалов с каждым простым $p_i$ увеличивается и также стремится к бесконечности.

Таким образом, показано, что число пар простых-близнецов бесконечно.

p.s. Интересно то, что пары простых-близнецов сами являются своеобразным "тормозом" роста значения $b_s$.

[vorvalm]

Батороев
Вынужден вас огорчить.
Ваше доказательство мягко говоря шито "цветными" нитками. Если перевести ваши новации (в ковычках) в обозначении простых чисел и особенно функции Эйлера на нормальный язык теории чисел, то последняя ваша формула должна быть такой:
$b_s=\frac {p_i}{2}\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$, где $\frac 1 2\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$ - средняя плотность близнецов, взаимно простых с праймориалом.
$b_s$ - число близнецов, приходящееся на интервал $p_i$, хотя этот интервл можно расширить до $p^2_{i+1}$
Даже если взять интервал от $p_{i+1}$ до $p^2_{i+1}$, то при $p_i\rightarrow\infty$ этот интерал $\rightarrow 0$ по отношению к праймориалу, и вполне допустимо, что все близнецы будут не простые, но взаимно простые с праймориалом, т.е. вне интервала простых чисел.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #463921 писал(а):

Батороев
Вынужден вас огорчить.
Ваше доказательство мягко говоря шито "цветными" нитками. Если перевести ваши новации (в ковычках) в обозначении простых чисел и особенно функции Эйлера на нормальный язык теории чисел, то последняя ваша формула должна быть такой:
$b_s=\frac {p_i}{2}\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$, где $\frac 1 2\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$ - средняя плотность близнецов, взаимно простых с праймориалом.
$b_s$ - число близнецов, приходящееся на интервал $p_i$, хотя этот интервл можно расширить до $p^2_{i+1}$
Даже если взять интервал от $p_{i+1}$ до $p^2_{i+1}$, то при $p_i\rightarrow\infty$ этот интерал $\rightarrow 0$ по отношению к праймориалу, и вполне допустимо, что все близнецы будут не простые, но взаимно простые с праймориалом, т.е. вне интервала простых чисел.

Чем же Вы могли меня огорчить?!
Тем, что не можете признать простыми числа, меньшие $p_{i+1}^2$, взаимнопростые с примориалом $p_i\#$ (по-другому, это можно сформулировать так: числа, взаимнопростые ко всем простым, не превышающим корень из этого числа")?!

p.s. Хорошие вещи в отличие от плохих, сшитых одними белыми нитками, так и шьют - цветными. :)

[vorvalm]

Батороев
Простые числа в этом интервале трудно не признавать, но вот с простыми близнецами в этом интервале - большой вопрос? Из вашего доказательства это не следует.

[Батороев]

Батороев в сообщении #463661 писал(а):

Из рис. 2 видно, что каждое "простое" число соответствуют паре простых-близнецов. Действительно, если числа $n+1$ и $n-1$ - простые, то их произведение $(n+1)(n-1)=n^2-1$ будет взаимнопростым по отношению ко всем простым, непревосходящим $\sqrt n$.

[vorvalm]

Батороев
Разберитесь с вашим понятием "функции Эйлера". В одном случае она равна $\varphi(p_i)=p_i-1$, в другом $\varphi(p_i)=p_i-2$.

[Батороев]

Спасибо за указание неточности в написании.
Сам расписал, как считать. Сам написал, как не надо считать! Во всем виновата жара!!! :)

Батороев в сообщении #463661 писал(а):

"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_j\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Правильно должно быть:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)$

[vorvalm]

Батороев
К чему такие сложности в определении вашей функции.
Это каждый раз надо огаваривать, что "функция Эйлера" в ковычках не функция Эйлера. Кстати, эту же функцию использовал В.Бруно в своей теореме о близнецах. Может обозначите ее $\beta(p_i)$ по первой букве Бруно, да и ваша фамилия подходит.
Только довольно странно, когда в функции присутствует элемент из другой функции (2-1). Это не этично.

[Батороев]

Да, почему ж не этично? Если это оговорено:

Батороев в сообщении #463661 писал(а):

Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$, т.к. числа, имеющие остаток $n \equiv \pm 1\pmod p$, и только эти числа могут иметь остаток $(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.

Буква $\beta$, сто пудов, в математике уже занята. А чем Вам не нравится фи-маленькая? Вродь, функция Эйлера, но в то же время, не она! :))