Великая теорема Ферма

[Андрей вальсов]

Мне прислали сообщение с таким текстом:
ty mastak stebacco, jjosh!

Что бы это значило? Очень похоже на испанский, но я его к сожалению не знаю.

[dm]

Андрей вальсов писал(а):

Говорят есть еще программа - называется Алена или Алевтина, как-то так.

Наверно, Ася?

[dm]

Deleted.

[Андрей вальсов]

Андрей Вальсов
Это не Вам случайно девушка по имени Варя передавала привет? (Прошу прощения, если не по адресу оказалось.)
Не просите меня открыть тайну переписки.

Нет, не Валя.[quote][/quote]

[dm]

Андрей Вальсов
Прошу прощения, обознался...

[Евер]

cepesh писал(а):

Тут человек в гостевой написал

Цитата:

Уважаемые Господа!
Смею заверить вас, что мною найдено авторское доказательство Великой Теоремы Ферма, которое сам Ферма назвал «чудесным».
И в подтверждение этого доказательства утверждаю следующее:
1. Одним из постулатов «чудесного» доказательства является использование свойств производных (изучением которых многие годы занимался Ферма) и, поэтому, практически Великую Теорему следует считать доказанной, доказав её всего лишь для 3-ей степени, а в бумагах Ферма, как известно, нашли доказательство для четвёртой степени.
2. К сожалению сам Ферма сумел доказать свою теорему только для 4-ой степени (некоторые теоремы высшей алгебры в то время ещё не были известны) – поэтому его работа осталась незавершенной, что, возможно, и не позволило ему опубликовать своё доказательство.
3. Возможно к соавторам этой теоремы следует причислить Эйлера, который в 1770 году доказал теорему Ферма для 3-ей степени, однако он не знал главного пути решения, да и само его доказательство довольно сложно!
4. Практически все, существующие на настоящее время доказательства Великой Теоремы Ферма, используют разделы математики, выходящие за рамки знаний математики времени жизни Ферма.
5. Воздержусь от изложения самого доказательства, но отмечу, что для его проведения достаточно объёма знаний, излагаемых в современных учебниках типа «Курс высшей алгебры» для высших учебных заведений с математическим уклоном; и, поэтому, оно доступно не только математикам – профессионалам, но и студентам (я, для справки, пользовался учебником издания 1952 г., информации которого вполне хватило для полного «чудесного» доказательства).

Поскольку «чудесное», по выражению автора, доказательство Великой Теоремы до настоящего времени никем, кроме самого Ферма, не найдено, очевидно его следует считать «математическим раритетом» ; поэтому дальнейшие переговоры об его опубликовании могут вестись исходя из этой позиции.


Ермолов Евгений Александрович
Ул. Революционная 65, кв. 11
71708 г. Токмак, Запорожская обл.
Украина
Тел [phone]

Что думаете?

Цитата:

Разрешите добавить следующее:
Уважаемые господа!
(часть вторая)

На основании найденного мною «чудесного» - авторского доказательства Великой Теоремы Ферма я утверждаю, что для двух чисел левой части уравнения a^n + b^n = c^n существует следующая зависимость:
k a^(n-1) +k`a^(n-2) + k``a^(n-3)+ . . . + k`***`a + 1 = b^n ,
где коэффициенты k, k`,k``, . . . k`***` - соответствуют числам «Треугольника Паскаля» (без крайних единиц) для исследуемой степени (n).
Следовательно, мы имеем: слева – уравнение степени (n-1); справа – кратные корни этого уравнения. Поскольку степень правой части на единицу больше степени левой части, необходимо учесть, что вторая степень ВТФ является исключением из правила, т.е.: для левого уравнения мы имеем следующий набор корней –
b^2*(n-2)b (кратность равна n-2).
Поскольку кратный множитель многочлена является кратным множителем производной этого многочлена, то после выполнения необходимых преобразований следует обратить внимание, что при любом значении степени производных коэффициенты при величине «a» соответствуют соответсвующим значениям «Треугольника Паскаля». Следовательно, за исходную величину нам необходимо доказать ВТФ для третьей степени!
Итак: 3a^2 + 3a + 1 = b^3.
Очевидно, что из двух чисел (a и b) одно число мы имеем право выбрать рациональным (целым или дробным – как Вам будет угодно); выбираем – число « a ».
Следовательно, нам осталось доказать, что “ b “ – всегда иррационально.
Согласно теоремы (см. А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», изд. 1952 г., Москва, Ленинград, стр. 303): «Пусть дан многочлен
f(x) = a(0) x^n + a(1) x^(n-1) + . . . + a(n)
с целыми коэффициентами. Если числа a(0), a(n) и хотя бы одно из чисел f(1), f(-1) нечётны, то многочлен f ( x ) не имеет рациональных (в том числе и целых) корней». (Эта теорема, очевидно, была доказана после жизни Ферма).
Имеем для 3a^2 + 3a + 1:
3, 1, 7 и 1 - все нечётны! Следовательно, Великая Теорема Ферма – ДОКАЗАНА!
Осталось немного: привести главную часть «чудесного» доказательства ВТФ, но это и является как раз математическим раритетом.


Ермолов Евгений Александрович
Ул. Революционная 65, кв. 11
71708 г. Токмак, Запорожской обл.
Украина
Тел [phone]

[dikun]

dm писал(а):

Вот мне интересно, может, это кто-то зарегился по-новой под этим ником и теперь веселится вовсю?...

Возможно - такие приколы бывают

[dikun]

Андрей вальсов писал(а):

Мое доказательство разрушит аналы математики, физики и астрологии, потому что оно совершенно новое и необычное.

Ну, я даже не предполагаю, где там у математики "аналы" находятся:), но вот с уверенностью могу сказать, что Вы Избранный!

Но, т.к. "много званых, а мало избранных" ((с)Евангелие от Матфея, глава 20, стих 16), то я решил (естественно, из зависти!) составить

Тест "Избранный ли Вы?" (по мотивам легендарной кинотрилогии "Матрица"):

1. Вы сутками напролёт не выключаете компьютер? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
2. Вы ведёте двойную жизнь (днём, например, Вы дворник, а ночью - в поиске доказательства ВТФ)? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
3. Ваш компьютер разговаривает с Вами странными шпионскими полунамёками? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
4. Вы постоянно опаздываете на работу (и получаете выговоры от начальства)? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
5. Вас ищет какой-то лысый негр? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
6. На дискотеках к Вам пристаёт ультрамодная красотка в чёрном, рассказывая Вам о том, как она хакнула базу, к которой нет доступа через Сеть? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
7. Вам кажется, что "мир не в порядке, и эта мысль как заноза в мозгу - она сводит с ума"? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
8. Вас интересует, что такое Матрица? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
9. "Вы уже ничему не удивляетесь, считая происходящее сном"? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
10. Вы не верите в судьбу ("Неприятно думать, что Вами кто-то манипулирует")? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]
11. Вы точно знаете, что Вы избранный ("Это как влюбиться. Кто знает, что Вы влюблены? Только Вы сами - чувствуете это всей кожей.")? [Да -1 балл, нет - 0 баллов]

А теперь подсчитаем сумму баллов:

1. 0-3. У Вас совершенно отсутствует чувство юмора!
2. 4-7. Ах, Вы наглый обманщик и пройдоха (!) - ну-ка тестироваться по новой!
3. 8-11. Вы Избранный! Срочно примите красную таблетку. Не перепутайте - красную! Приняли? Ну, вот и ладненько, вот и хорошо... Теперь Вы узнаете, "насколько глубока кроличья нора":)

Андрей вальсов писал(а):

Удивительно, что старик Ферма не смог до него догадаться, хоть его и считают гением.

Да, бросьте Вы: Ферма был непробудным тупицей! Его просто раскрутили. А работы за него писали Вы! Как, не помните?!

Андрей вальсов писал(а):

Я не буду рассказывать мое доказательство, потому что это страшная тайна.

И грантом не поделитесь?:(

Андрей вальсов писал(а):

МОй опыт общения с "профессионалами-математиками показываетЮ. что они отрицают мое доказательство потому что завидуют.

И вправду, что с этих ламеров да неудачников взять...

Андрей вальсов писал(а):

Я нашел на этом форуме поддержку, уже почти отчаявшись.

Так Вы просто не по адресу обращались - Вам сюда

Андрей вальсов писал(а):

Даже удивительно, что до этого никто не догадался.

Точно, подпадает под "Признаки чокнутой теории"

[dm]

dikun
Мне показалось, что человек просто прикалывается "по мотивам..." (и у него удачно получалось).

[Андрей вальсов]

Цитата:

Так Вы просто не по адресу обращались - Вам сюда

Наградой за доказательство ни с кем не поделюсь - не заслужили.
На деньги от награды куплю путевку в Испанию, а то Анапа поднадоела.


Очень интересная ссылка, спасибо большое. Я хотел написать им письмо со словами поддержки, но у меня не получилось потому что программа с красивым названием которое переводится на русский как "Крохотный мягкий взгляд наружу по-быстрому" запросила у меня три каких-то "сервера", а у меня ни одного из них нет.
К сожалению у меня нет телепатических способностей, мне наверно не дадут милион долларов.

[dikun]

Андрей вальсов писал(а):

Наградой за доказательство ни с кем не поделюсь - не заслужили.

Так, а зачем Вы вообще рассказываете, что доказали ВТФ? Лично я Вам даже позавидовать не могу, т.к. совершенно не знаю, действительно ли это так. Да и (чтоб Вы знали) никогда нельзя даже намекать на принцип док-ва: идеи летают в воздухе, - так что спешите: кто-то уже прочёл Ваш пост и строчит статью:)

Андрей вальсов писал(а):

На деньги от награды куплю путевку в Испанию, а то Анапа поднадоела.

Вы хотя бы знаете, какая у Вас на руках сумма будет?

Андрей вальсов писал(а):

К сожалению у меня нет телепатических способностей, мне наверно не дадут милион долларов.

Собственно, прикол в том, что ещё никто не получил этих денег (раньше учредитель предлагал $10 000). Не на какие мысли не наводит?

ЗЫ: У меня есть приятель. У него такое хобби. Он, встречаясь с очередным ферманьяком или "колебателем аналов" - предлагает ему пари (условия договорные, юридически фиксируются) на тему ошибочности доказательства или контрпримера. Обычно отказываются (:)), но иногда соглашаются (у моего друга уже целая методика выработалась, как уговаривать таких людей). Теперь мой приятель достаточно обеспеченный человек. Даже если он когда-нибудь и проиграет, то уж его "производство" и в этом случае останется рентабельным. Не хотите "обанкротить" человека (лишние деньги к гранту не помешают?)?

[haderach]

иду на голос
посылка 1: nod(x,y)=1 где x,y натуральные (1,2,3,.... n,n+1,... .)
бандеролька 2: пусть N такое что y^3=(N^2) *x
контейнер с пожитками 3:из едиствености представления
числа из натурального ряда в виде упорядоченого произведение ненулевых степеней простых чисел(respect PAV) следует N^2 не целое
вывод по дискусии
у PAV'а есть умение не толко утверждать что опонент не прав но и помоч опоненту повысить уровень понимания обсуждаемого вопроса
PAV'у: если не срастётся нынешная карьера спокойно идите в педагоги , обучаемым будет польза.
Остальные опоненты голоса лиш показали насколко по сравнению
с той куклой для битья которую изобразил голос,
у них в математике длинее .....
PS. (далее офтоп показывающий до какой степени
дествительно возможно сущестнование доказательста
x^n+y^n<>z^n для всяких натуральных x,y,z,n-2
инстументами которыми мог обладать Ферма(сам не ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК и лиш юрист при солидной должности ) на примере другого математического курьёза)

реальный случай: при поверхностном ознакомлении с Конкретной математикой Кнута заинтересовался формулой
суммы k-степеней первых n натуральных чисел в замкнутом виде
и у кнута и у двайта приведён без вывода соответствующий полином
стенени k+1 и использованием коэф Бернулли.
а так как я НЕ ПРОФФЕССИОНАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК а лиш прикладной(то биш программист по современному) то мне показалось
чтo меня обманули в лучших чувствах и вместо простого полинома с коэф непосредственно зависящими от n и k "преумножили" до тех пор мне неизвестную (а стех пор мало применяемую мною, но не отрицаю фундаментальной полезности) сущьность: числа Бернули

Обратите внимание в различных учебниках при обьяснение мат индукции часто просят показать что
сумма(i=1..n,i^1)=n(n+1)/2
часто также приводится байка про Гауса(как правило в вульгаризированной форме низводящей его учителя до уровня дауна)
с иным доказательстом(сумма(i=1..n,i)+сумма(i=1..n,n+1-i)=n*(n+1))
также при обьяснении мат индукции просят по индукции доказать что
сумма(i=1..n,i^2)=n*(n+1)*(2*n+1)/6
Примечательно что не указывается с помощью какого ГОЛОСА божьего была получена для квадратов замкнутаю форма(т.е считается что обучаемых интересовать должны лиш те направления урока которые заявлены в теме)
изредко(следует читать как правило ) для самостоятельного доказательста читателю оставляют доказательсто
сумма(i=1..n,i^3)=[n*(n+1)/2]^2, и в очередной раз оставляют источник формульного всеведенья неназваным.
А ведь всё казалось бы очевидно(==красная тряпка, ремарка для людей с особо длиными...., здесь пора крутым опонентам включать режим FLAME в положение ON), теперь пора выключать
ибо смотреть всем на http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
А вот дальше загадка: дальнейшее настолько элементарно что удивительно почуму этого нет и на верно не будет в школьном курсе математики :
(n+1)^k=(n+1)^k
применая бином(единственый кто мне известен Ньютон ,а если полонез то Огинский) к правой части везде где встретим (n+1)^i
а затем ко всём остальным степеням последовательно n^j,(n-1)^l и в плоть до (1+1)^...
получим
(n+1)^k= ... получим... ещё чуть индексы подвиним и вот без всяких
Бернулли :

(1+n)^(k+1)==1+sum_(i==0)^k(k+1; i)S_i(n)


У тех у кого есть доступ к буржуйским интернет мат архивом(для простых крестьян он ого ого платный) просьба выложить статью
приведёную на PowerSum.html в библиографии:
Guo, S.-L. and Qi, F. "Recursion Formulae for (здесь картинка)." J. Anal. Appl. 18, 1123-1130, 1999
в открытый доступ очень интересно сравнить (просто любопытно).
удивительно что почти 300 лет ни кому нафиг не нужно было знать
такую форму (решенние через числа Бернулли устаривало всех на все 100%) а в конце90 (судя по библиографии (те кто прочитал всего Эйлера может быть поправят)(публикуй а то проиграеш)
первыми кто опубликовал subj были Guo и Qi ) почти одновременно и китайцам и Не ломоносову из уральской глуши понадобилось ...
или конкурс : показать хронологически первое упоминание(а ещё лучше вывод)
(1+n)^(k+1)==1+sum_(i==0)^k(k+1; i)S_i(n)
т.е Сумму k степеней от 1 до n как некоторое выражение от сумм от 1 до n чисел cтепеней от k-1 до 0
END КУРЬЁЗУ КОНЕЦ

[Евер]

Евер писал(а):

cepesh писал(а):

Тут человек в гостевой написал

Цитата:

Уважаемые Господа!
Смею заверить вас, что мною найдено авторское доказательство Великой Теоремы Ферма, которое сам Ферма назвал «чудесным».
И в подтверждение этого доказательства утверждаю следующее:
1. Одним из постулатов «чудесного» доказательства является использование свойств производных (изучением которых многие годы занимался Ферма) и, поэтому, практически Великую Теорему следует считать доказанной, доказав её всего лишь для 3-ей степени, а в бумагах Ферма, как известно, нашли доказательство для четвёртой степени.
2. К сожалению сам Ферма сумел доказать свою теорему только для 4-ой степени (некоторые теоремы высшей алгебры в то время ещё не были известны) – поэтому его работа осталась незавершенной, что, возможно, и не позволило ему опубликовать своё доказательство.
3. Возможно к соавторам этой теоремы следует причислить Эйлера, который в 1770 году доказал теорему Ферма для 3-ей степени, однако он не знал главного пути решения, да и само его доказательство довольно сложно!
4. Практически все, существующие на настоящее время доказательства Великой Теоремы Ферма, используют разделы математики, выходящие за рамки знаний математики времени жизни Ферма.
5. Воздержусь от изложения самого доказательства, но отмечу, что для его проведения достаточно объёма знаний, излагаемых в современных учебниках типа «Курс высшей алгебры» для высших учебных заведений с математическим уклоном; и, поэтому, оно доступно не только математикам – профессионалам, но и студентам (я, для справки, пользовался учебником издания 1952 г., информации которого вполне хватило для полного «чудесного» доказательства).

Поскольку «чудесное», по выражению автора, доказательство Великой Теоремы до настоящего времени никем, кроме самого Ферма, не найдено, очевидно его следует считать «математическим раритетом» ; поэтому дальнейшие переговоры об его опубликовании могут вестись исходя из этой позиции.


Ермолов Евгений Александрович
Ул. Революционная 65, кв. 11
71708 г. Токмак, Запорожская обл.
Украина
Тел [phone]

Что думаете?

Цитата:

Разрешите добавить следующее:
Уважаемые господа!
(часть вторая)

На основании найденного мною «чудесного» - авторского доказательства Великой Теоремы Ферма я утверждаю, что для двух чисел левой части уравнения a^n + b^n = c^n существует следующая зависимость:
k a^(n-1) +k`a^(n-2) + k``a^(n-3)+ . . . + k`***`a + 1 = b^n ,
где коэффициенты k, k`,k``, . . . k`***` - соответствуют числам «Треугольника Паскаля» (без крайних единиц) для исследуемой степени (n).
Следовательно, мы имеем: слева – уравнение степени (n-1); справа – кратные корни этого уравнения. Поскольку степень правой части на единицу больше степени левой части, необходимо учесть, что вторая степень ВТФ является исключением из правила, т.е.: для левого уравнения мы имеем следующий набор корней –
b^2*(n-2)b (кратность равна n-2).
Поскольку кратный множитель многочлена является кратным множителем производной этого многочлена, то после выполнения необходимых преобразований следует обратить внимание, что при любом значении степени производных коэффициенты при величине «a» соответствуют соответсвующим значениям «Треугольника Паскаля». Следовательно, за исходную величину нам необходимо доказать ВТФ для третьей степени!
Итак: 3a^2 + 3a + 1 = b^3.
Очевидно, что из двух чисел (a и b) одно число мы имеем право выбрать рациональным (целым или дробным – как Вам будет угодно); выбираем – число « a ».
Следовательно, нам осталось доказать, что “ b “ – всегда иррационально.
Согласно теоремы (см. А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», изд. 1952 г., Москва, Ленинград, стр. 303): «Пусть дан многочлен
f(x) = a(0) x^n + a(1) x^(n-1) + . . . + a(n)
с целыми коэффициентами. Если числа a(0), a(n) и хотя бы одно из чисел f(1), f(-1) нечётны, то многочлен f ( x ) не имеет рациональных (в том числе и целых) корней». (Эта теорема, очевидно, была доказана после жизни Ферма).
Имеем для 3a^2 + 3a + 1:
3, 1, 7 и 1 - все нечётны! Следовательно, Великая Теорема Ферма – ДОКАЗАНА!
Осталось немного: привести главную часть «чудесного» доказательства ВТФ, но это и является как раз математическим раритетом.


Ермолов Евгений Александрович
Ул. Революционная 65, кв. 11
71708 г. Токмак, Запорожской обл.
Украина
Тел [phone]

Цитата:

Уважаемые Господа!
(часть третья – главная)

На мои первые два заявления я получил десятки ничего не значащих посланий.
Итак:

«ЧУДЕСНОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Великой Теоремы Ферма
(Как доказал его я и, уверен, сам Ферма)

Ферма утверждал, что:
«Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем», т.е.:
c^n = a^n + b^n,
где (после раздумий и поисков) я утверждаю:
с – число рациональное;
a – принимаем как любое рациональное число, меньшее числа c;
b – мы не знаем его статуса, его требуется определить и доказать: что оно – всегда число иррациональное.
Перенесём рациональные числа в левую сторону и разделим всё выражение на рациональное число (c – a)^n. Имеем:
[с/(c-a)]^n – [a/(c-a)]^n = [b/(c-a)]^n.
Заменим в первом числителе число c на равное ему число c = c – a + a , тогда получим следующее выражение исследуемого уравнения:
[(c-a+a)/(c-a)]^n – [a/(c-a)]^n = [b/(c-a)]^n
или
[1+a/(c-a)]^n – [a/(c-a)]^n = [b/(c-a)]^n
В принципе – «чудесная» часть доказательства ВТФ, имеющая четырёхвековую историю, - завершена! Далее следует несложное доказательство уравнения с одним (!) неизвестным; для чего произведём следующее:
Примем a/(c-a) = x, b/(c-a) = z.
Имеем следующую зависимость (x+1)^n – x^n = z^n, у которой число x – рационально, а требуется доказать, что число z для всех степеней больше 2 – иррационально, т.е. требуется доказать, что многочлен
kx^(n-1) + k`x^(n-2) + . . . +k`***`x + 1
с биноминальными коэффициентами не имеет рациональных кратных множителей (корней).
Во-первых, о кратности множителей (корней). Поскольку степень правой части найденной зависимости на единицу больше степени левой части, обратим внимание, что вторая степень для ВТФ является исключением из правила. Для найденной нами зависимости имеет место: одиночный корень равный z^2 (для второй степени – исключения) и (n-2) кратных корней равных z.
Во-вторых, кратный множитель многочлена всегда будет кратным множителем и производной этого многочлена, а свойство биноминальных коэффициентов таково, что при вычислении производных они всегда равны величинам соответствующей степени «треугольника Паскаля», умноженным на общий множитель, не влияющий на процесс дифференцирования.
Поэтому для доказательства всех степеней ВТФ необходимо и достаточно доказать теорему всего лишь для третьей степени: т.е.: доказать, что для третьей степени число Z полученной выше зависимости не может быть числом рациональным.
Доказываем. Для третьей степени полученная зависимость имеет вид:
3x^2 + 3x + 1 = z^3
Согласно теоремы (см. А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», изд. 1952 г., Москва, Ленинград, стр. 303): «Пусть дан многочлен
f(x) = k(0) x^n + k(1) x^(n-1) + . . . + k(n)
с целыми коэффициентами. Если числа k(0), k(n) и хотя бы одно из чисел f(1), f(-1) нечётны, то многочлен f (x) не имеет рациональных (в том числе и целых) корней». (Эта теорема, очевидно, была доказана после жизни Ферма).
Для нашего случая: k(0) = 3 – нечётно, k(n) = 1 – нечётно, f(1) = 3+3+1 = 7 – нечётно, f(-1) = 3-3+1 = 1 – нечётно. Следовательно: Z - число иррациональное.
Поскольку z = b / (c – a), а числа а и с - рациональны, число b - является числом иррациональным. Что и требовалось доказать.

14 августа 2005 года
Ермолов Евгений Александрович
Ул. Революционная 65, кв. 11
71708 г. Токмак, Запорожской обл.
Украина
Тел [phone]

P.S. Разве это не раритет?

[dikun]

2 haderach: И в чём курьёз?

[Dan_Te]

До некоторого момента все нормально (потому что идут преобразования) А вот дальше начинается не то бред, не то серьезные косяки с терминологией.

Цитата:

Имеем следующую зависимость (x+1)^n – x^n = z^n, у которой число x – рационально, а требуется доказать, что число z для всех степеней больше 2 – иррационально, т.е. требуется доказать, что многочлен
kx^(n-1) + k`x^(n-2) + . . . +k`***`x + 1
с биноминальными коэффициентами не имеет рациональных кратных множителей (корней).

Что это еще за "т.е."???
Вы формулируете два утверждения, одно из них про равенство вида P(x)=z^n, а другое про корни многочлена P(x). Эти утверждения в общем случае не равносильны.
Так что тут произошла подмена одной задачи другой, в доказательстве дырка.

Ну и на закуску:

Цитата:

Во-вторых, кратный множитель многочлена всегда будет кратным множителем и производной этого многочлена,

Да ну?
Я не знаю, что вы имеете в виду под выражением "кратный множитель". Это может быть просто множитель; или множитель, входящий в многочлен в степени не меньшей 2, вы не потрудились уточнить. В любом из этих двух случаев процитированное утверждение неверно.