Великая теорема Ферма

[golos]

Евер писал(а):

Уважаемый Golos, я вполне согпасен с Вами в отношении "взаимоотношений". Что же касается моего доказательства ВТФ, то хочу отметить следующее:
1. Почему при доказательстве мы должны иметь ввиду только натуральный ряд чисел? Правильнее, по-моему, рассматривать всю числовую ось на которой имеются "конечные" точки - рациональнные числа; и точки, полученные "плоскостным" или даже "обьёмным" построением - иррациональные числа. Ведь всем иэвестны пифагоров треугольник и "обьёмная" диагональ параллелипипеда. И если продолжать "философствовать", то четвертую степень мы должны "смочь" разбить на четыре числа, пятую - на пять и т. д.
2. Предложенное мною преобразование получает не "конечный" результат, а определитель конечного результата; и , с другой стороны, четко определяет исключение - вторую степень (позволяет не подбирать составляющие, а расчитывать их).
3. В доказательство входит элемент дифференцнрования - как раз то направление в математике, чем очень много занимался Ферма.
Евер.

Уважаемый Евер, в силу отсутствия математической подготовки я не берусь оценивать Ваше доказательство и следствия, которые из него вытекают. Это дело профессионалов. Что касается возможности решения в целых числах суммы четырёх и более квадратов, то такое вполне возможно. Но. Возникает вопрос: а являются ли предложенные решения общими? Охватывают ли они все решения? Это очень серьёзный вопрос. Потому я и задал его для полученного решения Пифагорова треугольника, хотя предложена лемма, прямо утверждающая, что найдено решение для всех чисел натурального числового ряда. Если это будет признано, то можно будет идти дальше. Без чёткого ответа на заданный вопрос дальнейшие рассуждения бессмысленны.
Хотелось бы знать Вашу точку зрения. И всех желающих.

[PAV]

Вообще-то на вопрос о пифагоровых тройках уже был ответ в этом же форуме

dm писал(а):

Известный факт заключается в том, что ВСЕ пифагоровы тройки описываются формулой:
((n^2-m^2)k)^2+(2nmk)^2=((n^2+m^2)k)^2 (*)
при n,m,k, пробегающих целые значения

Это доказано. Нужно только еще добавить условие n>m, чтобы первое число получилось положительным, но это мелочи.

[Leox]

Ув. golos..
Ваши подходы к решению задач можно усовершенствовать бесконечно..например я очень просто могу доказать что уравнение
x^n+y^n=z^n эквивалентно ( в Вашем понимании) такому уравнению -
X^2+Y^2=Z^2 если сделать замены X=(x)^(2/n), Y=(y)^(2/n), Z=(z)^(2/n)..тоесть ВТФ верна всегда..как Вам?

[PAK]

Уважаемые господа!
Хотел бы предложить вам ознакомиться с весьма показательной историей: http://www.svoboda.org/hotnews/2005/08/ ... 0%F3%EA%E0. Сей вариант доказательства ВТФ предложил не простой смертный, а академик

[golos]

PAV писал(а):

Вообще-то на вопрос о пифагоровых тройках уже был ответ в этом же форуме

dm писал(а):

Известный факт заключается в том, что ВСЕ пифагоровы тройки описываются формулой:
((n^2-m^2)k)^2+(2nmk)^2=((n^2+m^2)k)^2 (*)
при n,m,k, пробегающих целые значения

Это доказано. Нужно только еще добавить условие n>m, чтобы первое число получилось положительным, но это мелочи.

Прошу прощения,PAV, но я говорю совершенно о других формулах, а именно об общем решении суммы двух квадратов. Вот оно в полном виде
x^2+y^2=z^2
z=(2^(2m-1))c^2+d^2+-(2^m)cd
y=(2^(2m-1))c^2+-(2^m)cd
x=d^2+-(2^m)cd
Полагаю, что область определения этих формул суть вся числовая ось. Не исключено, что я ошибаюсь. Но, поскольку вместо параметров можно подставить любые числа, то считаю, что это именно так. Прошу обратить внимание на параметр m. Его нет в указанных DM формулах. В случае натуральных значений всех параметров его роль нейтральна-для суммы двух квадратов. Но если мы хотим найти общее решение суммы трёх и более квадратов, без него не обойтись, ибо в этом случае отыскиваются не все решения. Полагаю, это достаточно важное его свойство.
Далее. А если нас интересуют все комплексные решения суммы двух квадратов? Вы не полагаете, что без параметра m будут найдены далеко не все комплексные решения? Я полагаю, что дело обстоит именно так.
Весьма интересно было бы знать Ваше мнение по этому вопросу. Дело в том, что предложенное-весьма малая часть из того, на что я наткнулся, забавляясь с ВТФ. Например, найдено общее решение общего квадратного уравнения вида
Ax^2+By^2+Cz^2+.........+F=0
На мой взгляд, найденное несколько важнее доказательства ВТФ, поскольку оно уже найдено и...
Гм. Согласитесь, что говорить далее можно только в случае нормальных ответов. Быть может,несколько неожиданно будет знать, что человек я весьма мирный, отнюдь не склонный к злобной "клоунаде". Потому и оставил без внимания реплику dm.
Вообще предлагаю всем в дальнейшем избегать насмешек и прочих ненужностей. Хотя бы потому, что нет в них толку.
Был бы весьма рад Вашему ответу.

[PAV]

golos писал(а):

Прошу прощения,PAV, но я говорю совершенно о других формулах, а именно об общем решении суммы двух квадратов. Вот оно в полном виде
x^2+y^2=z^2
z=(2^(2m-1))c^2+d^2+-(2^m)cd
y=(2^(2m-1))c^2+-(2^m)cd
x=d^2+-(2^m)cd

Я, видимо, не понимаю, что вы подразумеваете под словами общее решение суммы двух квадратов. Я имел в виду, что если нам нужны ВСЕ целочисленные тройки (x,y,z), удовлетворяющие указанному уравнению, то они ВСЕ описываются формулой (*). Это общее решение в целых числах, т.е. любое решение представяется в таком виде.

Если же вы хотите отказаться от условия целочисленности, рассматривая произвольные вещесетвенные (или комплексные) решения, то никакой параметрической формулы существовать не может. Точнее, в качестве такой формулы выступает само уравнение x^2+y^2=z^2. Любые две переменные из трех объявляете параметрами (задаете произвольно), третья вычисляется извлечением корня из соответствующей суммы или разности квадратов. Если рассматриваем комплексные решения, то вообще никаких условий накладывать не надо, если вещественные - то нужно только очевидным образом позаботиться о том, чтобы не возникало корня из отрицательного числа.

[golos]

[
Я, видимо, не понимаю, что вы подразумеваете под словами общее решение суммы двух квадратов. квадратов.

Вот именно по этому пункту я и хочу придти к согласию. Общее решение я понимаю как возможность вместо полученных параметров подставлять всё, что подставить возможно. Например, в предложенном мною решении вместо параметров можно подставить взаимнопростые числа натурального ряда. В этом случае получаем решения пифагорова треугольника не кратные некоторому целому числу. В случае кратности чисел пифагорова треугольника численные значения параметров могут быть иррациональными. Более ого. Они могут быть комплексными. Они в общем случае могут быть комплексными функциями.Полагаю, что ограничений нет вообще. Можно просто неограниченно приближаться к требуему условию, которое изначально не известно.
Простите, я увлёкся. Вполне возможно, что Вы не совсем понимаете, что я имею в виду. Увы, такое случается со мною гораздо чаще, чем мне это хотелось бы/просто обрыдло, если грубо и откровенно/.
Дальнейший диалог возможен? Я в нём совершенно искренне заинтересован. О степени собственной математической "подготовки" иллюзий не имею. Как и обо всём прочем.
Полагаю, просто есть вещи, о которых говорить стоит.
Ваше мнение?

[Евер]

Извините, но мы подразумеваем разные вещи. Трёхчленность уравнения Ферма и трехчленность пифагоровых троек - имеют только внешнее сходство. Я ранее отмечал, что поскольку мы имеем целочисленные зависимости a^2 + b^2 = c^2, a^3 + b^3 + c^3 = d^3, то, возможно, должны существовать и целочисленные зависимости типа a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4, a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 = f^5 и т. д., до бесконечности.
Привязывая решение ВТФ к пифагоровым тройкам мы пытаемся заменить алгебру геометрией, что методологически неверно. Вся сложность нашего мышления заключается во внутреннем невоспринимании точки как субъекта, не имеющего размера. Мы проводим линию и называем её «осью координат», т. е. субъектом материальным. Но ведь «ось» состоящая из точек, не имеющих размеров, так же не должна иметь размеров? Следовательно – ось x, на которой мы выполняем привычные нам расчёты, является материальным отображением рассматриваемых алгебраических понятий. А если «в тени» этой оси находится бесконечное количество осей – рациональных, иррациональных, комплексных и других, ещё неизвестных нам?
А геометрия предполагает собой изучение материальных субъектов (на плоскости или в пространстве).
Поэтому, на мой взгляд, решение алгебраических задач должно быть доказуемо только алгебраическими методами.
Евер.

[Almir]

Доказательству теоремы Ферма академиком А. Ильиным предпослана первая фраза:
(1) xⁿ + yⁿ = zⁿ, при n > 2 не имеет целых положительных решений.
В ней условие и заключение теоремы Ферма выражены в одной общей форме и не выражены в отдельности в своей особенной форме. В общей форме не выражается, что «дано» и принимается за необходимое условие теоремы Ферма до начала её доказательства, и что «требуется доказать», является её заключением, и принимается после завершения её доказательства.
«Необходимое условие для выполнения какого-либо верного утверждения (предложения, суждения) – всякое условие, без осуществления которого данное утверждение заведомо неверно» / О. В. Мансуров и другие «Толковый словарь математических терминов», М., 1965/.
Если (1) принять за необходимое условие теоремы Ферма, то будет отсутствовать её заключение, если (1) принять за заключение, то будет отсутствовать необходимое условие, а если (1) принять разом за необходимое условие и заключение теоремы Ферма, то (1) будет не математическим предложением, не теоремой, не логическим суждением, а тавтологией.
Обсуждать тавтологию, искать в ней ошибку - не имеет смысла.
До начала первого обсуждения доказательства великой теоремы Ферма, предложенного омским учёным академиком Александром Ильиным, ему совершенно необходимо показать условие и заключение доказываемой им теоремы, которые были бы выраженными в отдельности в своей особенной форме.

[Someone]

golos писал(а):

Вот именно по этому пункту я и хочу придти к согласию. Общее решение я понимаю как возможность вместо полученных параметров подставлять всё, что подставить возможно.

Стандартно под общим решением уравнения (или системы уравнений) понимается набор формул, которые при подстановке в них всевозможных допустимых значений параметров дают все решения. Поэтому Ваше понимание этого термина вызывает у читателей недоумение.
Пифагоровы тройки чисел по определению состоят из целых положительных чисел, поэтому применение термина "пифагорова тройка" к чему-то другому также не вызывает ничего, кроме недоумения. Ради Бога, можете не ограничиваться целыми или даже действительными числами, или даже числами вообще, но только не называйте это пифагоровыми тройками.

[Someone]

Almir писал(а):

Доказательству теоремы Ферма академиком А. Ильиным предпослана первая фраза:
(1) xⁿ + yⁿ = zⁿ, при n > 2 не имеет целых положительных решений.
В ней условие и заключение теоремы Ферма выражены в одной общей форме и не выражены в отдельности в своей особенной форме. В общей форме не выражается, что «дано» и принимается за необходимое условие теоремы Ферма до начала её доказательства, и что «требуется доказать», является её заключением, и принимается после завершения её доказательства.
«Необходимое условие для выполнения какого-либо верного утверждения (предложения, суждения) – всякое условие, без осуществления которого данное утверждение заведомо неверно» / О. В. Мансуров и другие «Толковый словарь математических терминов», М., 1965/.
Если (1) принять за необходимое условие теоремы Ферма, то будет отсутствовать её заключение, если (1) принять за заключение, то будет отсутствовать необходимое условие, а если (1) принять разом за необходимое условие и заключение теоремы Ферма, то (1) будет не математическим предложением, не теоремой, не логическим суждением, а тавтологией.
Обсуждать тавтологию, искать в ней ошибку - не имеет смысла.
До начала первого обсуждения доказательства великой теоремы Ферма, предложенного омским учёным академиком Александром Ильиным, ему совершенно необходимо показать условие и заключение доказываемой им теоремы, которые были бы выраженными в отдельности в своей особенной форме.

О, боже! Ну надо же такого понаписать.

Никто не требует формулировать теоремы непременно в виде

Дано:...
Доказать:...

Допускаются гораздо более свободные формулировки. В частности, из формулировки (1) совершенно ясно, что имеется в виду следующее:

Дано: x, y, z, n - целые положительные числа, n>2.
Доказать: равенство xⁿ + yⁿ = zⁿ невозможно.

Ошибка в доказательстве объясняется здесь:
http://www.svoboda.org/hotnews/2005/08/ ... 0%F3%EA%E0
Кроме того, это доказательство (с тем же результатом) обсуждалось в fido7.ru.math.

[golos]

Someone писал(а):

golos писал(а):

Вот именно по этому пункту я и хочу придти к согласию. Общее решение я понимаю как возможность вместо полученных параметров подставлять всё, что подставить возможно.

Стандартно под общим решением уравнения (или системы уравнений) понимается набор формул, которые при подстановке в них всевозможных допустимых значений параметров дают все решения. Поэтому Ваше понимание этого термина вызывает у читателей недоумение.
Пифагоровы тройки чисел по определению состоят из целых положительных чисел, поэтому применение термина "пифагорова тройка" к чему-то другому также не вызывает ничего, кроме недоумения. Ради Бога, можете не ограничиваться целыми или даже действительными числами, или даже числами вообще, но только не называйте это пифагоровыми тройками.

Благодарю за ответ. Суть в том, что я имею в виду тригонометрические равенствa
sin(fi)=((d^2+-(2^m)cd)/((2^(2m-1)c^2+d^2+- (2^m)cd))
cos(fi)=((2^2m-1)+-(2^m)cd))/((2^(2m-1)c^2+d^2+-(2^m)cd))

Видно, что при целых параметрах m,c,d тригонометрические функции синус и косинус являются вовсе не трансцендентными, а обыкновенными рациональными фунциями. Ну, а каковыми они становятся при комплексных значениях параметров и как их в таких случаях называть-вот что мне хотелось бы понять. Тем более, если параметры сами являются комплексными функциями.

[golos]

PAV писал(а):

golos писал(а):

Прошу прощения,PAV, но я говорю совершенно о других формулах, а именно об общем решении суммы двух квадратов. Вот оно в полном виде
x^2+y^2=z^2
z=(2^(2m-1))c^2+d^2+-(2^m)cd
y=(2^(2m-1))c^2+-(2^m)cd
x=d^2+-(2^m)cd

Я, видимо, не понимаю, что вы подразумеваете под словами общее решение суммы двух квадратов. Я имел в виду, что если нам нужны ВСЕ целочисленные тройки (x,y,z), удовлетворяющие указанному уравнению, то они ВСЕ описываются формулой (*). Это общее решение в целых числах, т.е. любое решение представяется в таком виде.

Если же вы хотите отказаться от условия целочисленности, рассматривая произвольные вещесетвенные (или комплексные) решения, то никакой параметрической формулы существовать не может. Точнее, в качестве такой формулы выступает само уравнение x^2+y^2=z^2. Любые две переменные из трех объявляете параметрами (задаете произвольно), третья вычисляется извлечением корня из соответствующей суммы или разности квадратов. Если рассматриваем комплексные решения, то вообще никаких условий накладывать не надо, если вещественные - то нужно только очевидным образом позаботиться о том, чтобы не возникало корня из отрицательного числа.

Извините,PAV,такое впечатление, что модераторы убрали мой последний пост на эту тему.Жаль. На всякий случай повторю суть.
Если уравнение
x^2+y^2=z^2
разделить на z^2 получим
x^2/z^2+y^2/z^2=1
то есть попросту сумму квадратов синуса и косинуса. Если вместо x, y,z подставить предложенные мною решения, то видно, что в случае целочисленных значений параметров m,c,d тригонометрические функции синус и косинус являются рациональными. В случае их иррациональных значений они могут быть обычными трансцендентными синусом и косинусом. В случае комплексных значений параметров они могут быть гиперболическими. Вопрос: как их назвать в случае, если параметры являются комплексными функциями? Либо функциями, вид которых зависит от поставленной цели,которая, в свою очередь, зависит от параметров? Например, если параметры представляют собой некие эллиптические функции?
Ещё раз сожалею, что модератотры выбрали столь эффективный способо борьбы с неудобными вопросами. Искренние им поздравления с находкой.

[golos]

golos писал(а):

PAV писал(а):

golos писал(а):

Ещё раз сожалею, что модератотры выбрали столь эффективный способо борьбы с неудобными вопросами. Искренние им поздравления с находкой.

Поскольку налицо предыдущий пост, приношу извинения модераторам. Видимо, произошёл сбой в компьтере.
Извините ещё раз.

[PAV]

golos писал(а):

x^2+y^2=z^2
z=(2^(2m-1))c^2+d^2+-(2^m)cd
y=(2^(2m-1))c^2+-(2^m)cd
x=d^2+-(2^m)cd

Если уравнение
x^2+y^2=z^2
разделить на z^2 получим
x^2/z^2+y^2/z^2=1
то есть попросту сумму квадратов синуса и косинуса. Если вместо x, y,z подставить предложенные мною решения, то видно, что в случае целочисленных значений параметров m,c,d тригонометрические функции синус и косинус являются рациональными. В случае их иррациональных значений они могут быть обычными трансцендентными синусом и косинусом. В случае комплексных значений параметров они могут быть гиперболическими. Вопрос: как их назвать в случае, если параметры являются комплексными функциями?

Ответ: никак их не назвать. Вы написали некоторую параметрическую серию решений уравнения xx+yy=zz в целых числах. Разделили обе части на zz - получили две функции, которые в случае вещественных параметров представляют собой синус и косинус некоторого угла. Можем подставить комплексные числа и что-то при этом получим.

Ну а если бы мы взяли другую серию решений исходного уравнения в целых числах? Получили бы другие функции с теми же свойствами. Возьмем третью серию - получим третье семейство. И что, для каждого свое название придумывать?

Названия дают функциям, которые либо обладают некоторыми уникальными замечательными свойствами (чем отличаются от других функций), либо же имеют важные применения, чем и заслуживают право быть названными. Ничем таким Ваши функции на первый взгляд не отличаются.

Что значит, кстати, "могут быть" (трансцендентными функциями, гиперболическими и т.д.)? Такого рода утверждения в математике на приняты, потому что они бессмысленны. Ну могут быть, а могут и не быть. Уж если хотите указать некоторое свойство своих функций, то пишите определеннее: при таких-то условиях данные функции обладают такими-то свойствами.