2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 19:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
Если считать, что масса второй частицы отрицательна, то формально выполнены и второй и третий законы Ньютона и импульс сохраняется - равен 0. Но как-то я не склонен это считать классической механикой.
myhand
Выпишите, пожалуйста, какой этому гамильтониану соответствует лагранжиан? Может тут дело в том что должен именно минимум действия достигаться? Ну да, в ЛЛ именно из этого соображения положительность массы и выводится.

Что касается вычисления для $n=2$. Я пока пришел вот к чему, из инвариантности относительно операторов $T$, $P_\alpha$, $X_\alpha$ следует, что уравнения должны иметь такой вид
$$
\left\{ \begin{array}{l}
x_1''= F_1(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
y_1'' = F_2(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
z_1'' = F_3(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
x_2''=  G_1(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
y_2'' = G_2(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
z_2'' = G_3(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2,x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')\\
\end{array} \right.
$$
Остаются операторы пространственных вращений, вот на них я застрял, т.к. в индексных обозначениях запутался :-) . Буду тогда в развернутом виде делать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 19:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304084 писал(а):
Выпишите, пожалуйста, какой этому гамильтониану соответствует лагранжиан?


Мог напутать со знаками масс (просто одна положительная должна быть - другая отрицательна). Где-то так: $L={\dot x_1}^2 /2 - {\dot x_2}^2 /2 - (x_1 - x_2)^2 / 2$.

Padawan в сообщении #304084 писал(а):
Может тут дело в том что должен именно минимум действия достигаться? Ну да, в ЛЛ именно из этого соображения положительность массы и выводится.


Да. Там используется именно условия - локальный минимум для действия.

Padawan в сообщении #304084 писал(а):
Остаются операторы пространственных вращений, вот на них я застрял, т.к. в индексных обозначениях запутался :-) . Буду тогда в развернутом виде делать...


Я бы предложил использовать векторные обозначения либо исследовать ситуацию вовсе без вращений (одно пространственно измерение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 19:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
myhand в сообщении #304066 писал(а):
PPS: Вот "наивный" ответ для $n=2$:
$$\ddot x_{1,2} = F_{1,2}(|x_1 - x_2|,|(x_1 - x_2)\cdot (\dot x_1 - \dot x_2)|,|\dot x_1 - \dot x_2|)$$.

А как, например, задается вектор $F_1$? Он не только от модулей разностей зависеть, но и от их направлений, например сонаправлен с $\dot x_1-\dot x_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 20:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304096 писал(а):
А как, например, задается вектор $F_1$? Он не только от модулей разностей зависеть, но и от их направлений, например сонаправлен с $\dot x_1-\dot x_2$


Да, это я не пояснил. Из соображений симметрии - подходящими являются следующие вектора: $x_{12}=x_1 - x_2$ и $v_{12}=\dot x_1 - \dot x_2$. Плюс один аксиальный вектор: $x_{12} \times v_{12}$. Так что подходящим выражением будет:
$$F_1 = x_{12} f_1 + v_{12} g_1 + x_{12} \times v_{12} s_1$$

Где $f_1$ и $g_1$ - скалярные функции (от $|x_{12}|$, $|v_12|$ и $|x_{12}\cdot v_{12}|$). Аналогично - $s_1$ - псевдоскаляр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 20:50 
Заслуженный участник


13/12/05
4043
Да, похоже это и есть наиболее общее инвариантное векторное выражение. И $s_1$ тоже функцией может быть от $|x_{12}|$, $|v_{12}|$, $x_{12}\cdot v_{12}$ ( просто скалярное произведение, зачем модуль)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 21:20 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Padawan в сообщении #304138 писал(а):
И $s_1$ тоже функцией может быть от $|x_{12}|$, $|v_{12}|$, $x_{12}\cdot v_{12}$ ( просто скалярное произведение, зачем модуль)?


Да, совершенно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 21:23 


15/10/09
1344
У меня свое мнение есть, но я с ним не согласен. Шутка.

А предварительный результат у меня совпадает с Вашим. Вот только из чего мы псевдоскаляр построим - векторов всего ведь два?

Плюс из симметрии $1 \leftrightarrow 2$ следует, что $F_1 = -F_2$. Прямо фермионы какие-то.

Но все буду проверять на свежую голову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 21:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #304163 писал(а):
Плюс из симметрии $1 \leftrightarrow 2$ следует, что $F_1 = -F_2$. Прямо фермионы какие-то.


Вообще-то нет, не следует. Для $F_2$ у Вас будут _свои_ скалярные функции $f_2$, $g_2$ и т.д.

Вот что получилось более развернуто:
$$\left\{\begin{array}{l}\dot v_1 = x_{12} f_1 + v_{12} g_1 \\
\dot v_2 = x_{12} f_2 + v_{12} g_2\end{array}\right.
$$

Где $f_{1,2}$, $g_{1,2}$ - четыре скалярные функции от $|x_{12}|=|x_1 - x_2|$, $|v_{12}|=|v_1 - v_2|$ и $x_{12} \cdot v_{12}$.

PS: А слагаемое с псевдовектором надо-ть выкинуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 22:14 


15/10/09
1344
И все-таки. Если частицы одинаковые, то вид уравнений должен сохраняться при перестановке нумерации частиц. Отсюда $$f_2=-f_1,$$ $$g_2=-g_1.$$ Или я что-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 22:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Да :) Но какие-ж это фермионы? Ну третий закон Ньютона, не более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 22:36 


15/10/09
1344
Ну спасибо, а то я уж правда решил, что у нас фермионы. Хотя, если честно, мне первый раз в жизни пришлось в разговоре о классической механике аппелировать к тождественности частиц.

А если серьезно, то что ж получается? Похоже, что для $n=2$ мы все получили исходя только из инвариантности + требование тождественности частиц?

Хотя я ж сказал, что буду проверять на свежую голову. А тут вот невтерпеж: нет, нет, мы хотим сегодня, нет, нет, мы хотим сейчас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 22:49 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #304233 писал(а):
Ну спасибо, а то я уж правда решил, что у нас фермионы. Хотя, если честно, мне первый раз в жизни пришлось в разговоре о классической механике аппелировать к тождественности частиц.


Я Вам значительно раньше предлагал это сделать в треде. Как раз для получения третьего закона Ньютона, после того, как Вы ограничились парным взаимодействием.

vek88 в сообщении #304233 писал(а):
А если серьезно, то что ж получается? Похоже, что для $n=2$ мы все получили исходя только из инвариантности + требование тождественности частиц?


Что в Вашем понимании - "все"? Понятие массы пока не возникло. Не факт, что полученные уравнения можно вывести из принципа наименьшего действия и переписать в лагранжевом/гамильтоновом виде. Даже если учесть дополнительное требование "тождественности" частиц (def = симметрия по отношению к перестановкам).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 23:08 


15/10/09
1344
Раньше получать третий закон Ньютона (и второй тоже) в моем формализме не имело смысла по простой причине - для двухчастичного потенциала, которым я и ограничился, это очевидно (причем, устно).

Что касается массы, у меня она есть - после проверки своих выкладок покажу все с массой.

А остальное посмотрим - после проверки и аккуратного изложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение29.03.2010, 23:20 


04/07/09
174

(Оффтоп)

Scholium в сообщении #303954 писал(а):
Скажем, в последнее время, все больше ходит в умах идея о программируемой реальности, матрице реальности, голографичности или виртуальности реальности и т.д. и т.п. Причем не только среди обывателей (фильм «Матрица»), но и среди профессиональных физиков и математиков (Мичио Каку, Роджер Пенроуз и др.). Так вот с этой идеей вполне стыкуется высказанная уже мысль об одновременном исчезновении материальной частицы в одной точке пространства и возникновения ее в другой точке. А что это есть с точки зрения матрицы реальности? Правильно, наш физический мир это типа вселенского экрана монитора, движение на котором создается внешним образом, активизацией («возникновением») одних точек пространства и деактивизацией («исчезновением») других.

видите, как дружно игнорируют подобные взгляды. Никто не взялся прокомметировать такую необычную модель, хотя она весьма перспективна. Например, в рамках рассмотрения этой концепции логично и непринужденно можно объяснить такое явление, как туннельный эффект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение30.03.2010, 08:55 


15/10/09
1344

(Оффтоп)

Вскрытие показало, что покойник умер от вскрытия.

Все оказалось значительно хуже - дело в пробелах в моем образовании. Я думал, что скобки Пуассона - это частный случай линейных дифференциальных операторов. Фигушки - это не так.

Пример. Если пользуемся скобками Пуассона, то $$[X_\alpha, P_\beta]=M\delta_\alpha_\beta.$$ Именно этим соотношением и вводится оператор массы в расширенной алгебре Галилея.

А если я ищу генераторы $X_\alpha, P_\beta$ в виде линейных дифференциальных операторов общего вида, то не могу представить этот коммутатор, а только $$[X_\alpha, P_\beta] =0. $$ Так что в скобках Пуассона есть что-то такое, из-за чего от них нельзя отказываться. Во всяком случае без них я не могу получить представление расширенной (оператором Казимира $M$) алгебры Галилея.

Кто-нибудь может объяснить the moral of this?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group