Так правильно считаем работу?

[Red_Herring]

Что такое "интеграл по кривой"? Под этим может скрываться как интеграл по длине дуги $\int _L F(\mathbf{x})|d \mathbf{x}|$, так и интеграл по кривой $\int _L \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot d \mathbf{x} $ (интегралы 1го и 2го рода). Я не видел учебников по Calculus II, где бы подынтегральная функция зависела от $\dot{\mathbf{x}}$. Разумеется, и такой интеграл подпадает под определение, но тогда кривая $(t, {\mathbf{x}}(t),\dot{\mathbf{x}}(t))$ лежит в $(2n+1)$-мерном пространстве.

Наверно, в таком случае стоит говорить (чтобы не делать оговорок) об интеграле по траектории.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):

Наверно, в таком случае стоит говорить (чтобы не делать оговорок) об интеграле по траектории.

Траектория, по школьному определению - это именно пространственная кривая, по которой двигалось тело.

[Combat Zone]

Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):

Что такое "интеграл по кривой"? Под этим может скрываться как интеграл по длине дуги $\int _L F(\mathbf{x})|d \mathbf{x}|$, так и интеграл по кривой $\int _L \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot d \mathbf{x} $

Очень часто говорят интеграл по кривой, 1-го или 2-го рода - это как-то видно. Потому говорят без уточнений. Интеграл по траектории тоже попадается. Как и по контуру.

Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):

Я не видел учебников по Calculus II, где бы подынтегральная функция зависела от $\dot{\mathbf{x}}$.

Мне тоже не попадались рабочие примеры, вот, пытаюсь найти. Понятно, что чисто теоретически может зависеть.

[drzewo]

Разобрало меня любопытство. Неужели эти вещи не отмечались ни в одной книжке по механике? Ну нет, конечно, отмечались.
П. Аппель Теор. механика, том 1:
https://ibb.org.ru/1/qSpgJa
Через $\mathscr{T}$ у Аппеля обозначена работа.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1668072 писал(а):

Ну нет, конечно, отмечались.

То, что вы процитировали, это школьная физика, хорошо известная любому грамотному школьнику. Если сила зависит только от положения, то работа силы не зависит от скорости перемещения. Но вы тут доказывали иное: что сама запись интеграла некорректна.

[Combat Zone]

Ссылка на книжку есть, прочитать можно.
https://disk.yandex.ru/i/Z0o5UMTtl3JIcA

[rascas]

Да почему вообще решили, что запись $A = \int\limits_{L}^{} \mathbf{F} d \mathbf{s}$, говорит что сила является только функцией радиус-вектора (положения материальной точки в пространстве)?
Эта запись ничего такого не говорит. Вполне может оказаться что характер зависимости действия силы нам наперёд неизвестен. И по ходу перемещения материальной точки по кривой $L$ определяем силу, и по формуле вычисляем работу этой силы.

[drzewo]

Материальная точка на пружинке находится в линейно-вязкой среде
, которую постепенно нагревают, от чего меняется коэффициент вязкости:

$$\boldsymbol F(t,\boldsymbol r,\boldsymbol {\dot r})=-k(t)\boldsymbol {\dot r}-c\boldsymbol r.$$

[Combat Zone]

rascas в сообщении #1668086 писал(а):

Да почему вообще решили, что запись $A = \int\limits_{L}^{} \mathbf{F} d \mathbf{s}$, говорит что сила является только функцией радиус-вектора (положения материальной точки в пространстве)?

Потому что по кривой. Ей принадлежит только $(x,y,z)$. Ни время и ни скорость.

-- 01.01.2025, 16:51 --

drzewo в сообщении #1668087 писал(а):

Материальная точка на пружинке находится в линейно-вязкой среде

Спасибо.

[rascas]

Combat Zone в сообщении #1668088 писал(а):

Потому что по кривой. Ей принадлежит только $(x,y,z)$. Ни время и ни скорость.

Материальная точка всегда движется по какой-то кривой. И это не значит, что сила, действующая на материальную точку (одна из сил, действующая на материальную точку) является только функцией радиус-вектора (координат) этой материальной точки.

[Combat Zone]

Если писать интеграл именно криволинейный, то аргумент функции там должен меняться на кривой, а тут даже размерность другая.
Ну или это какой-то другой интеграл, тогда надо объяснить - какой.
К аргументам из последнего вашего поста сие обстоятельство никакого отношения не имеет. Я против них не возражаю вообще никак.

[EUgeneUS]

У меня остался один вопрос: кто же всё таки убил Нолестро а как же всё таки обозначать и называть интеграл, которым считается работа (в случае силы, зависящей от времени)?
Надеюсь, возражений, что это именно интеграл нет.

[Утундрий]

Вспоминаю сейчас название одной работы некой в своё время знаменитой в узких кругах мадам. Что-то типа "Колебания упруго вязко релаксирующего стержня в сплошной среде" (возможно там были и дефисы). Ух как внушительно! Но тут же, ниже, было приведено простенькое линейное дифференциальное уравнение в частных производных на функцию двух вещественных переменных. Ещё ниже были выписаны начальные и граничные условия. Я ещё тогда не мог понять, зачем это уравнение пытаться пропеть? Не понимаю этого и сейчас.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1668121 писал(а):

У меня остался один вопрос: кто же всё таки убил Нолестро а как же всё таки обозначать и называть интеграл, которым считается работа

drzewo в сообщении #1667642 писал(а):

работа силы за время $[t_1,t_2]$

$$A=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t,\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)\big),\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt.\qquad(*)$$

(Оффтоп)

спасибо, что напомнили про фильм, качаю:)

[EUgeneUS]

drzewo
Э, нет. Так не пойдет (понятно, что у Вас запись корректная, но хочу по-другому).

Пишем интегральную сумму:

$$ I_\Sigma = \sum\limits_{i=1}^{N} \mathbf{F} (t(\mathbf{r_i}), \mathbf{r_i}) \cdot (\triangle \mathbf{r})_i$$

Далее переходим к интегралу. Под интегралом будет, очевидно, $\mathbf{F} (t(\mathbf{r}), \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}$.
А вот какой значок интеграла нарисовать? И как это всё назвать?